高考達標檢測(二十五)數(shù)列求和的3種方法—分組轉(zhuǎn)化、裂項相消和錯位相減

1、高考達標檢測（二十五）數(shù)列求和的3種方法分組轉(zhuǎn)化、裂項相消和錯位相減一、選擇題1. （2018揚州調(diào)研）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，并滿足:an+2= 2a“+1 an,4-a3,貝V S7=（）A. 7B. 12C. 14D. 21解析：選C 由a + 2= 2an + 1 an知數(shù)列an為等差數(shù)列，由a5= 4 a3 得 a5+ a3= 4 = a1 + a7,所以 S7 = 72= 14.2. (2018安徽江南十校聯(lián)考)在數(shù)列an中，an+1 an = 2, Sn為何的前n項和.若S10 =50,則數(shù)列an+ an+1的前10項和為()A. 100B. 110C. 120D. 130

2、解析：選 C an+ an+1的前 10 項和為 a1+ a?+ a?+ 83+ a1+ an = 2(at+ a?+ a10)+ an a1 = 2S10 + 10X 2 = 120.故選 C.3 . (2018安溪質(zhì)檢)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知Sn= 1 2+ 3 4 + ( 1) 1 n, 則 S17 =()D . 16C . 17解析：選 A S17= 1 2+ 3 4+ 5 6+- + 15 16+ 17= 1 + ( 2+ 3) + ( 4+ 5)+ ( 6 + 7) + + ( 14 + 15)+ ( 16+ 17) = 1+ 1+ 1 + + 1 = 9.14.已知等差數(shù)

3、列an的前n項和為Sn, a5= 5, S5= 15,則數(shù)列二的前100項和3nan+1A.1001019910199101100D.100解析：選A 設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d.-a5 = 5,S5 = 15,a1+ 4d= 5,d= 15,5a1 +a1 =1,d= 1, an = a1+ (n 1)d= n.anan+1數(shù)列=anan+1的前100項和為l- 1 + g 3丿+盤命卜1丄=JOO101 101.ai= 2,仙的“差5.對于數(shù)列an，定義數(shù)列an+1 an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若 數(shù)列”的通項公式為 2n,則數(shù)列an的前2 016項和S2 016 =()A. 2

4、2 017 2B. 22 017 1C. 22 017解析：選 A 由題意知 a*+1 an= 2n，貝U an an-1 = 2n 1, an-1 a*-2= 2n 2,，a3 n 1a2= 22, a2 a1= 2,累加求和得 an a1= 2n 1+ 2n 2+ 22+ 2= 2 - )= 2n 2, n 2,2 016= 22 017- 2,故選 A.1 2又ai = 2,所以an= 2n,則數(shù)列an的前2 016項和S2 016=j n6.已知數(shù)列an滿足 an+2 a +1 = an+1 an, n N ,且 a5 =-，若函數(shù) f(x)= sin 2x + 2cos2，記yn =

5、 f(an),則數(shù)列yn的前9項和為()A. 0B. 9C. 9D . 1解析：選C 由已知可得，數(shù)列an為等差數(shù)列，f(x) = sin 2x+ cos x + 1,二f專=1./ f( x)= sin(2 2x) + cos( x) + 1= sin 2x cos x+ 1, f( n x) + f(x) = 2,v a1 + a9 =a2 + a8=2a5= n f(a“ + + f(ae)= 2x 4+ 1= 9,即數(shù)列yn的前 9 項和為 9.二、填空題7. (2018 陜西一檢)已知數(shù)列an中，a1= 2, a2n= a“+ 1, a?n+1= n a“，則a“的前 100 項和為

6、.解析：由 a1= 2, a2n= an + 1, a2n+1= n an,得 a2n + a2n+1= n+ 1, a1+ (a2 + a3)+ (a4+ a5) + + (a98 + a99) = 2 + 2+ 3 + + 50= 1 276, /a100= 1 + a50= 1 + (1 + a25) = 2 + (12 a12) =14 (1 + a6)= 13 (1 + a3)= 12 (1 aj= 13,二罰 + a?+ a10= 1 276 + 13= 1 289.答案：1 2898. 1 + 2x+ 3x2+ nxn1=(x豐0 且 x豐 1).解析：設(shè) Sn = 1 + 2x

7、 + 3x2+ + nxn 1，貝U xSn = x+ 2x2 + 3x3+ nxn，一得：(1 x)Sn= 1 + x+ x2+ + xn_1 nxnnxnS _ 1 xn nxnSn=7P 1X答案：nn1 xnx2 一1 X1 X9.已知數(shù)列an中，ai= 1 , an+ 1= ( 1)n(an+ 1),記 Sn 為an的前 n項和，貝U S2 017 =解析：由 d= 1, an+ 1= ( 1)n(an + 1)可得，a2= 2, a3= 1, a4= 0, a5= 1, a6= 2, a?= 1,，故該數(shù)列為周期是 4的數(shù)列，所以 S2 017= 504(a1 + a2+ a3+

8、a4)+ a1=504X ( 2) + 1 = 1 007.答案：1 007三、解答題10. (2018西安八校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a5= 3, $。= 40.(1)求數(shù)列an的通項公式；若從數(shù)列an中依次取出第2,4,8,，2n,項，按原來的順序排成一個新數(shù)列bn,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1) / a5= a1+ 4d= 3,S10= 10a1 + 45d= 40 ,解得 a1= 5, d= 2.an = 2n+ 7.依題意，bn= a2n= 2 X 2n+ 7 = 21 + 7, 故 Tn= (22 + 23+ 2n+1) + 7n22 2n+ 1X 21 2

9、+ 7n=4+ 7n 2n+2.11.已知遞增的等比數(shù)列an的前n項和為Sn, a6 = 64,且a4, a的等差中項為3a?.(1)求數(shù)列an的通項公式；設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn. a2n 1解: (1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0),a1q5= 64,由題意，得342a1q + a1q = 6ag ,a1= 2,解得Tq= 2,所以an= 2n.因為 bn = Z2n1 ,a2nT2V 234n所以 Tn= 2 + 2+h+ + 22，1123n 1 n4Tn=2+25+27+ + n1+2，3_11111 n所以 4Tn= 2+ 23+ 25 + 27+ + pn1 1 124 + 3n=3 3 x 22n+1，丄一 816+ 12n84+ 3n故 Tn= 9 9x22n+1=99X盯.12. (2018云南統(tǒng)檢)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，已知a1 = 2,對任意n N*,都有2Sn =(n+ 1)an.(1)求數(shù)列an的通項公式；4、1若數(shù)列an(an+ 2的前n項和為Tn,求證：Tn 2 時，2Sn-1= nan-1,兩式相減，得 2an= (n + 1)an nan-1,即(n 1)an = nan-1,所以當n2時,anan1n n 1所以號=譽2，即an= 2n(n 2).因為a1= 2也符合上式，所以 an = 2