14-3梅涅勞斯定理和塞瓦定理.題庫學(xué)生版

1、梅涅勞斯定理和塞瓦定理中考要求知識(shí)點(diǎn)A要求B要求C要求比例及 定理熟知定理內(nèi)容掌握平行線分線段成比例定理的內(nèi)容以及其推論，同時(shí)會(huì)運(yùn) 用定理解決問題會(huì)運(yùn)用定理及其推論的內(nèi)容來解 決相似的問題gum 知識(shí)點(diǎn)睛、比例的基本性質(zhì)a c1）ad二be,這一性質(zhì)稱為比例的基本性質(zhì)，由它可推出許多比例形式b d2）- =- b =.-（反比定理）;b d a e3)旦=2= -=b(或d仝)(更比定理); b d e d b aaea b4)bdbaea -b5)bdbaea b6)bda be亠d二（合比定理）;de -dd（分比定理）;de亠d=-d （合分比定理）;e -d二 m (b d 梟n =0

2、) u n（等比定理）.二、平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理AR如下圖，如果li / I2 / I3，貝yDEBCACDFACEFDFAB ACDE DFliI 21 32.平行線分線段成比例定理的推論:如圖，在三角形中,如果 DE / BC ,AEDEAB AC BC,反之如果有AD AE DEAB AC BC,那么 DE / BCAEB三、梅涅勞斯定理梅內(nèi)勞斯(Menelaus，公元98年左右)，是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家.梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理.梅涅勞斯定理： X、Y、Z分別是 ABC三邊所在直線 BC、CA、AB上的點(diǎn).貝U X、Y、Z共線 的充分必要條件是：

3、BZ AY=1 .XB ZA YC根據(jù)命題的條件可以畫出如圖所示的兩個(gè)圖形：或X、Y、Z三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在三角形邊的延長(zhǎng)線上，而其它兩點(diǎn)在三角形的邊上；或 X、Y、Z三點(diǎn)分別都在三角形三邊的延長(zhǎng)線上.證明：(1)必要性，即若X、Y、Z三點(diǎn)共線，則空醫(yī)1 .XB ZA YC設(shè)A、B、C到直線XYZ的距離分別為a、b、c 則CXc BZ b, 、AY_ a，三式相乘即得CXBZ AY c b a .1XBb ZA aYCcXBZA YC b a c(2)充分性，即若CXBZAY竺=1，則X、Y、Z三點(diǎn)共線.XBZAYC設(shè)直線XZ交AC于Y，由已證必要性得：AY 1XB ZA Y C又因?yàn)槎?1，所以

4、XB ZA YCAYYC AYYC因?yàn)閅 和 Y或同在AC線段上，或同在 AC邊的延長(zhǎng)線上，并且能分得比值相等，所以Y和Y比重合為一點(diǎn)，也就是 X、Y、Z三點(diǎn)共線.空、旦乙、空 三個(gè)比中，已知其中兩個(gè)可以求XB ZA YC梅涅勞斯定理的應(yīng)用，一是求共線線段的筆，即在得第三個(gè)二是證明三點(diǎn)共線.四、塞瓦定理連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊上一點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形的一條塞瓦線塞瓦(G Gevo1647-1734 )是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師他在1678年發(fā)表了一個(gè)著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理.塞瓦定理：從 ABC的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作一條塞瓦線AX , BY , CZ .則AX , BY ,C

5、Z共點(diǎn)的充分必要條件是BX CY AZXC YA ZB充分性命題：設(shè) ABC的三條塞瓦線 AX , BY , CZ共點(diǎn)，則必有 胚 CY =1 .XC YA ZB必要性命題：設(shè) ABC中，AX , BY , CZ是三條塞瓦線，如果CY1，則AX , BY ,CZ 三XC YA ZB線共點(diǎn).我們先證明充分性命題.如圖，設(shè)AX , BY , CZ相交于P點(diǎn)，過A作BC邊的平行線，分別交 BY , CZ的延長(zhǎng)線于B , C .由平行截割定理，得BX AB CYXC AC YABCAZZB ACBC上面三式兩邊分別相乘得:BX CY AZXC YA ZB我們?cè)僮C明必要性命題.X假設(shè)AX與BY這兩條塞瓦

6、線相交于 P點(diǎn)，連CP交AB于Z.則CZ 也是一條過P點(diǎn)的 ABC的塞 瓦線根據(jù)已證充分性命題，可得BX CY AZ =仁由因?yàn)锽X CY AZ，進(jìn)而可得AZ二AZ . 所XC YA Z BXC YA ZBZB ZB以A 巴，因此AZ JAZ 所以Z 與 Z重合，從而CZ 和 CZ重合，于是得出 AX , BY , CZ共點(diǎn).AB AB塞瓦定理在平面幾何證題中有著舉足輕重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可證明三線共點(diǎn)問題第二方面，當(dāng)一個(gè)三角形有三條塞瓦線共點(diǎn)時(shí)，依據(jù)塞瓦定理的充分性命題，就可以得出六條線段比例乘積等于1的關(guān)系式利用這個(gè)關(guān)系式可以證明線段之間的比例式或乘積式.:I例題精講、梅

7、涅勞斯定理【例1】 已知 ABC中，D是BC的重點(diǎn)，經(jīng)過 D的直線交 AB與E，交CA的延長(zhǎng)線于 F .求證:FA _ EAFC EB .【例2】 如圖所示， ABC中，/ ABC =90 , AC = BC . AM為BC邊上的中線，CD _ AM于D , CD 的延長(zhǎng)線交AB于E .求AE .EB【例3】 在厶ABC的三邊BC、CA、AB上分別取點(diǎn)D、E、F .使昱=坐=包=丄.若BE與CF ,DC EA FB 2CF與AD , AD與BE的交點(diǎn)分別為 A、Bi、G【例4】 如圖所示， ABC的三條外角平分線 BE、AD、CF ,與對(duì)邊所在直線交于E、D、F三點(diǎn),求證：D、E、F三點(diǎn)共線.

8、D求證：氐 A B61S ABC7【例5】 如圖所示，設(shè)D、E分別在 ABC的邊AC、AB上，BD與CE交于F , AE二EB ,AD 2DC 3abc=40 .求 Saefd【例6】 如圖所示， ABC內(nèi)三個(gè)三角形面積分別為 5, 8, 10.四邊形AEFD的面積為x，求x的值.【例7】 如圖所示， ABC被通過它的三個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)內(nèi)點(diǎn)O的三條直線分為 6個(gè)小三角形，其中三個(gè)小三角形的面積如圖所示，求ABC的面積.C【例8】 ABC中，D , E分別是BC , CA上的點(diǎn)，且BD : DC =m:1 , CE : EA = n:1 . AD與BE交于F , 問厶ABF的面積與 ABC面積的比值

9、是多少？【例9】P是平行四邊形 ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，過P作AD的平行線, 作AB的平行線，分別交 AD于G，交BC于H，又CE，分別交AB于E，交CD于F ；又過P AH相交于Q .求證：D ,P ,Q三點(diǎn)共線.二、塞瓦定理【例10】設(shè)AX , BY , CZ是 ABC的三條中線，求證： AX , BY , CZ共點(diǎn).【例11】若AX , BY , CZ分別為 ABC的三條內(nèi)角平分線.求證： AX , BY , CZ共點(diǎn).AYC【例12】若AX , BY , CZ分別為銳角 ABC的三角高線，求證： AX , BY , CZ共點(diǎn).XC【例13】如圖，設(shè)M為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，BM與AC交于點(diǎn)E , CM與AM交于F ,若AM通過BC的中 點(diǎn) D，求證：EF / BC .【例14】銳角三角形 ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點(diǎn)，BH和CH的延長(zhǎng)線分 別交 AC、AB 于 E、F，求證：.EDH = FDH .【例15】如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分