數(shù)學(xué)分析第十三章課件冪級(jí)數(shù)

1、第十三章 冪級(jí)數(shù),形如,的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),稱(chēng)為冪級(jí)數(shù),時(shí)為,主要討論后者,1.收斂域？ 2.一致收斂域？ 3.和函數(shù)的性質(zhì)？ 4.函數(shù)展成冪函數(shù) ,特別,13.1 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域,問(wèn)題,阿貝爾第一定理,在點(diǎn) 收斂,則對(duì)滿足不等式,的一切點(diǎn)x,冪級(jí)數(shù) 都絕對(duì)收斂,定理13.1,i) 若冪級(jí)數(shù),在點(diǎn) 發(fā)散,則對(duì)滿足不等式,的一切點(diǎn)x,冪級(jí)數(shù) 都發(fā)散,ii) 若冪級(jí)數(shù),定理中的r稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。收斂區(qū)間為,對(duì)任意給定的冪級(jí)數(shù)，必存在唯一的r（r滿 足,定理13.2,考察冪級(jí)數(shù),1）收斂半徑都是1,3） (1)在x,2,3,總之：對(duì)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)，都存在一收斂半徑r，使得級(jí)數(shù)在,內(nèi)絕對(duì)收斂。

2、但在兩個(gè)端點(diǎn)的收斂性要做專(zhuān)門(mén)的討論,2）都在（-1，1）絕對(duì)收斂,例1,的收斂半徑,均發(fā)散,故(1)的收斂域?yàn)?-1,1,若冪級(jí)數(shù),則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 r,求 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域,解 : 由,例2,定理13.2,求,的收斂半徑與收斂域,不能用定理13.3計(jì)算收斂半徑,因此當(dāng),即,故級(jí)數(shù)發(fā)散。于是，級(jí)數(shù)收斂半徑為,收斂域?yàn)?解： 這個(gè)冪級(jí)數(shù)的偶次冪的系數(shù),但可以用達(dá)朗貝爾判別法直接求收斂區(qū)域,例3,則對(duì)任意b,冪級(jí)數(shù)在,2)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,且冪級(jí)數(shù)在,3)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,一致收斂,冪級(jí)數(shù)在什么地方一致收斂,定理13.4（阿貝爾第二定理,1)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,一致收斂,冪級(jí)數(shù)

3、在,一致收斂,且冪級(jí)數(shù)在,收斂，則,則冪級(jí)數(shù)在,收斂,13.2 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),而,收斂，根據(jù)一致收斂的M判別法，知冪級(jí)數(shù),在,一致收斂,其中,對(duì)任意,根據(jù)一致收斂的阿貝爾判別法知,在,一致收斂,證明 （1）由于,2）已知,收斂，而,關(guān)于 n 單調(diào)下降，且,推論1 若冪級(jí)數(shù),的收斂半徑為,則它的和,證明,由定理13.4知，冪級(jí)數(shù)在,一致收斂，而,在,連續(xù)，因此和函數(shù)在,連續(xù)，由,的任意性，知和,連續(xù),函數(shù)在,連續(xù),連續(xù),特別地在,函數(shù)在,推論2 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,且冪級(jí)數(shù)在 r 收斂，則,連續(xù)。特別地,它的和函數(shù)在,若冪級(jí)數(shù),的收斂半徑為 r，和函數(shù)為S(x)，即,則冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)域區(qū)間內(nèi)部

4、可以逐項(xiàng)微商與逐項(xiàng)積分，即,且（2)，(3) 中的冪級(jí)數(shù)收斂半徑仍然是 r,3,1,2,定理13.5,任意次可微,的收斂半徑為,則其和函數(shù),在,內(nèi)任意次可微，且,等于,逐項(xiàng)微商次所得的冪級(jí)數(shù),若冪級(jí)數(shù),定理13.6,冪級(jí)數(shù) 在收斂區(qū)間內(nèi)部可以逐項(xiàng)微商與逐項(xiàng)積分的,對(duì)每個(gè)冪級(jí)數(shù)，都存在收斂半徑,總結(jié),冪級(jí)數(shù) 在(-r,+r)內(nèi)絕對(duì)收斂，在 發(fā)散,但在要具體分析,i,ii,iii,且收斂半徑不變,冪級(jí)數(shù) 在收斂區(qū)間內(nèi)部所表示的函數(shù)是任意次可微的,前面的討論，都是從冪級(jí)數(shù)出發(fā)，看它所表示的函數(shù)（和函數(shù)）具有什么性質(zhì)。本節(jié)從函數(shù)出發(fā)看它能否用冪級(jí)數(shù)表示。從而用冪級(jí)數(shù)這個(gè)工具研究函數(shù),1.滿足什么條件,

5、就可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),2.若可以展開(kāi)的話，展開(kāi)式是什么形式,13.3函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi),定義,問(wèn)題,即,則稱(chēng),在,可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),如果,唯一性,在,那么必有,ii）如果函數(shù),在,可以展開(kāi)成,i）如果函數(shù),可以展開(kāi),成冪級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性,定理13.7,冪級(jí)數(shù),為,的麥克勞林級(jí)數(shù)，稱(chēng),為,在,的泰勒級(jí)數(shù),Taloy級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù),通常稱(chēng),若,一致有界，即存在,使,則,在,可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),定理13.8,的各階微商在,證明：用拉格朗日余項(xiàng),初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi),i） e x 的展開(kāi)式,ii）sin x 和 con x 的展開(kāi)式,iii）冪函數(shù) 的展開(kāi)式,iv）對(duì)數(shù)函數(shù) ln ( 1 + x

6、 ) 的展開(kāi)式,已知,根據(jù)逐項(xiàng)微分定理，得,例3,兩邊乘以,得,再逐項(xiàng)微商，有,這樣，通過(guò)逐項(xiàng)微分，我們可以得到許多新的級(jí)數(shù)展開(kāi),得,還可以計(jì)算很多特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和,在上面兩個(gè)級(jí)數(shù)中，令,二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法,標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù): 先求收斂半徑 R,再討論,非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù),通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性,內(nèi)容小結(jié),求部分和式極限,三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法,求和,映射變換法,逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分,對(duì)和式積分或求導(dǎo),直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和, 再代值,求部分和等,初等變換法: 分解、套用公式,在收斂區(qū)間內(nèi),數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和,四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和付式級(jí)數(shù)展

7、開(kāi)法,直接展開(kāi)法,間接展開(kāi)法,練習(xí),1. 將函數(shù),展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù),利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì),利用泰勒公式,解,1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法,習(xí)題,證,則由題設(shè),收斂,收斂,收斂,例2. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),和,也收斂,提示: 因,存在 N 0,又因,利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確,都收斂, 證明級(jí)數(shù),當(dāng)n N 時(shí),例3. 設(shè)級(jí)數(shù),收斂 , 且,是否也收斂？說(shuō)明理由,但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂,問(wèn)級(jí)數(shù),提示: 對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知,級(jí)數(shù),收斂,收斂,級(jí)數(shù),發(fā)散,例如, 取,例4. 求冪級(jí)數(shù),法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?例5,解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù),極限不存在,原級(jí)數(shù),其收斂半徑,注意,補(bǔ)充題,例1.設(shè),將 f (x)展開(kāi)成,x 的冪級(jí)數(shù),的和. ( 01考研,解,于是