知識(shí)講解-直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-基礎(chǔ)

1、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 【學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.掌握解方程組的方法，求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo). 2.掌握兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離. 【要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理】 【高清課堂：兩直線的交點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離高清課堂：兩直線的交點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離 知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn) 1】 要點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)要點(diǎn)一：直線的交點(diǎn) 求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求 111111 0(0)A xB yCA BC 222222 0(0)A xB yCA B C 兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個(gè) 111 222 0 0 A xB yC A xB yC 1

2、11 222 ABC ABC 解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程 111 222 ABC ABC 11 22 AB AB 組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo). 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： 求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù). 要點(diǎn)二：要點(diǎn)二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程 一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中 除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)由于參數(shù)取法不同，從, x y 而得到不同的直線系 過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過兩

3、直線，交點(diǎn)的直 1111 :0lAxB yC 2222 :0lA xB yC 線方程為，其中是待定系數(shù)在這個(gè)方程中，無論取什么實(shí) 111222 ()0AxB yCA xB yC 數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線 222 0A xB yC 2 l 要點(diǎn)三：兩點(diǎn)間的距離公式要點(diǎn)三：兩點(diǎn)間的距離公式 兩點(diǎn)間的距離公式為 111222 ()()P xyP xy， . 22 122121 ()()PPxxyy 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： 此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩 平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決.另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直

4、線與圓、 圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握. 要點(diǎn)四：點(diǎn)到直線的距離公式要點(diǎn)四：點(diǎn)到直線的距離公式 點(diǎn)到直線的距離為. 00 ()P xy，0AxByC 00 22 AxByC d AB 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： （1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離； 00 ()P xy，0AxByCP （2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等. 要點(diǎn)五：要點(diǎn)五：兩平行線間的距離兩平行線間的距離 本類問題常見的有兩種解法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一

5、條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一 條直線的距離即為兩直線之間的距離；距離公式：直線與直線的 1 0AxByC 2 0AxByC 距離為. 21 22 CC d AB 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： (1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn) 一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離； (2)利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條 22 21 | BA CC d 直線中 x，y 的系數(shù)分別是相同的，才能使用此公式. 【典型例題典型例題】 類型一、判斷兩直線的位置關(guān)系類型一、判斷兩直線的位置關(guān)系

6、例 1判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，求出相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)： （1）；（2）；（3） 5420 220 xy xy 2630 11 32 xy yx 260 11 32 xy yx 【答案】 （1）；（2）重合；（3）平行 10 14 , 33 【解析】 （1）解方程組得該方程組有唯一解，所以兩直線相交，且交點(diǎn) 5420 220 xy xy 10 3 14 3 x y 坐標(biāo)為 10 14 , 33 （2）解方程組 2630 11 32 xy yx 6 得 2x6y+3=0， 因此和可以化成同一個(gè)方程，即方程組有無數(shù)組解，所以兩直線重合 （3）解方程組 260 11 32 xy yx 6得

7、3=0，矛盾，方程組無解，所以兩直線無公共點(diǎn)，所以兩直線平行 【總結(jié)升華】判斷兩直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況 舉一反三：舉一反三： 【變式 1】判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)： （1） 1：2x+y+3=0，2：x2y1=0； ll （2） 1：x+y+2=0，2：2x+2y+3=0； ll （3） 1：xy+1=0；2：2x2y+2=0 ll 【答案】 （1）直線 1與2相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1） ll （2）直線 1與2無公共點(diǎn)，即12 llll （3）兩直線重合 類型二、過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程類型二、過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程 例 2求

8、經(jīng)過兩直線 2x3y3=0 和 x+y+2=0 的交點(diǎn)且與直線 3x+y1=0 平行的直線方程 【答案】15x+5y+16=0 【解析】 可先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出所要求的直線方程；也可利用直線系（平行系或 過定點(diǎn)系）求直線方程 解法一：設(shè)所求的直線為 ，由方程組得直線 和直線 3x+y1=0 平l 2330 20 xy xy 3 5 7 5 x y l 行， 直線 的斜率 k=3l 根據(jù)點(diǎn)斜式有， 73 3 55 yx 即所求直線方程為 15x+5y+16=0 解法二：直線 過兩直線 2x3y3=0 和 x+y+2=0 的交點(diǎn)，l 設(shè)直線 的方程為 2x3y3+(x+y+2)=0，l

9、 即(+2)x+(3)y+23=0 直線 與直線 3x+y1=0 平行，l ，解得 2323 311 11 2 從而所求直線方程為 15x+5y+16=0 【總結(jié)升華】直線系是直線和方程的理論發(fā)展，是數(shù)學(xué)符號(hào)語言中一種有用的工具，是一種很有用 的解題技巧，應(yīng)注意掌握和應(yīng)用 舉一反三：舉一反三： 【變式 1】求證：無論 m 取什么實(shí)數(shù)，直線(2m1)x+(m+3)y(m11)=0 都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出 這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo) 證法一：對(duì)于方程(2m1)x+(m+3)y(m11)=0，令 m=0，得 x3y11=0；令 m=1，得 x+4y+10=0 解方程組，得兩直線的交點(diǎn)為（2，3） 3110 41

10、00 xy xy 將點(diǎn)（2，3）代入已知直線方程左邊，得(2m1)2+(m+3)(3)(m11) =4m23m9m+11=0 這表明不論 m 取什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(diǎn)（2，3） 證法二：將已知方程以 m 為未知數(shù)，整理為(2x+y1)m+(x+3y+11)=0 由于 m 取值的任意性，有，解得 210 3110 xy xy 2 3 x y 所以所給的直線不論 m 取什么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（2，3） 類型三、對(duì)稱問題類型三、對(duì)稱問題 例 3 （2016 秋 北京期中）求點(diǎn) A（3，2）關(guān)于直線 l：2xy1=0 的對(duì)稱點(diǎn) A的坐標(biāo) 【思路點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn) A的坐標(biāo)為（m，n） ，求得 AA 的

11、中點(diǎn) B 的坐標(biāo)并代入直線 l 的方程得到， 再由線段 AA 和直線 l 垂直，斜率之積等于1 得到，解求得 m，n 的值，即得點(diǎn) A的坐標(biāo) 【答案】 13 4 (, ) 55 【解析】設(shè)點(diǎn) A（3，2）關(guān)于直線 l：2xy1=0 的對(duì)稱點(diǎn) A的坐標(biāo)為（m，n） ， 則線段 AA 的中點(diǎn)， 32 (,) 22 mn B 由題意得 B 在直線 l：2xy1=0 上，故 32 210 22 mn 再由線段 AA 和直線 l 垂直，斜率之積等于1 得 ， 22 1 31 n m 解所成的方程組可得： ， 134 , 55 mn 故點(diǎn) A的坐標(biāo)為 13 4 (, ) 55 【總結(jié)升華】本題考查求一個(gè)點(diǎn)

12、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，注意利用垂直及中點(diǎn)在軸上兩個(gè) 條件 例 4求直線 xy2=0 關(guān)于直線 ：3xy+3=0 對(duì)稱的直線方程l 【答案】7x+y+22=0 【解析】 解法一：由，得交點(diǎn)， 20 330 xy xy 59 , 22 P 取直線 xy2=0 上一點(diǎn) A（0，2） ，設(shè)點(diǎn) A 關(guān)于直線 ：3xy+3=0 的對(duì)稱點(diǎn)為 A（x0，y0） ，l 則根據(jù)，且線段 AA的中點(diǎn)在直線 ：3xy+3=0 上，有 1 AAl kk l ，解得 0 0 00 2 31 0 2 320 22 y x xy 0 0 3 1 x y 故所求直線過點(diǎn)與（3，1） 59 , 22 所求直線方程為 95

13、 7 22 xx 即 7x+y+22=0 解法二：設(shè) P（x，y）為所求直線上任意一點(diǎn)，P 關(guān)于直線 ：3xy+3=0 的對(duì)稱點(diǎn)l P（x，y） 根據(jù) PP 且線段 PP的中點(diǎn)在直線 上，可得ll ，解得 31 330 22 yy xx xxyy 8618 10 686 10 xy x xy y 又P（x，y）在直線 xy2=0 上， ，即 7x+y+22=0 8618686 20 1010 xyxy 故所求直線方程為 7x+y+22=0 【總結(jié)升華】 軸對(duì)稱問題一般利用這兩種方法求解，其中解法二是求軌跡方程的常用方法，稱為 代入法 舉一反三：舉一反三： 【變式 1】 （1）求點(diǎn) P（x0，y

14、0）關(guān)于直線 xy+C=0 的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)； （2）求直線 1：Ax+By+C=0 關(guān)于直線2：x+y3=0 的對(duì)稱直線3的方程 lll 【答案】 （1） （y0C，x0+C） ；（2）Bx+Ay3A3BC=0 【高清課堂：兩直線的交點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離高清課堂：兩直線的交點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離 要點(diǎn)（二）中的例要點(diǎn)（二）中的例 1】 【變式 2】 過點(diǎn) M(-2,1)，且與點(diǎn) A(-1,2)，B(3,0)的距離相等，求直線 的方程ll 【答案】 1y 20 xy 【解析】 法一：直線 過 AB 的中點(diǎn)（1，1） ，所以 的方程為ll1y 直線，則設(shè) 的方程為/lABl1(2)yk x 則，所以 的方

15、程為： 1 2 k l20 xy 法二：由題意知直線 的斜率存在，設(shè) 的方程為，ll1(2)yk x 則 A、B 兩點(diǎn)到直線 的距離l 22 |1|51| 11 kk kk 解得： 1 0, 2 kk 所以 的方程為：和l1y 20 xy 類型四、兩點(diǎn)間的距離類型四、兩點(diǎn)間的距離 例 5已知點(diǎn) A（1，2） ，B（3，4） ，C（5，0） ，求證：ABC 是等腰三角形 【解析】 先分別求出三邊之長，再比較三邊的長短，最后下結(jié)論 ， 22 |(42)(3 1)8AB ， 22 |(02)(5 1)20AC ， 22 |(53)(04)20BC |AC|=|BC| 又A、B、C 三點(diǎn)不共線，ABC

16、 是等腰三角形 【總結(jié)升華】 利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出兩點(diǎn)間的線段的長度，進(jìn)而可解決相關(guān)問題，在運(yùn)用兩 點(diǎn)間距離公式時(shí)只需將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入公式即可 舉一反三：舉一反三： 【變式 1】以點(diǎn) A（3，0） ，B（3，2） ，C（1，2）為頂點(diǎn)的三角形是（ ） A等腰三角形 B等邊三角形 C直角三角形 D以上都不是 【答案】C 【解析】， 22 ( 33)2364402 10 AB ， 22 ( 1 3)( 22)16 16324 2 BC ， 22 ( 1 3)282 2 AC ， 222 ACBCAB ABC 為直角三角形 故選：C 例 6已知直線 過點(diǎn) P（3，1） ，且被兩平行直線l 1：x

17、+y+1=0，2：x+y+6=0 截得的線段長為 5，求直線 的方程 lll 【答案】y=1 或 x=3 【解析】 設(shè)直線 與直線 1、2分別交于點(diǎn) A（x1，y1） 、B（x2、y2） ，則 ，兩方lll 11 22 10 60 xy xy 程相減，得(x1x2)+(y1y2)=5， 由已知及兩點(diǎn)間距離公式，得(x1x2)2+(y1y2)2=25， 由解得或，又點(diǎn) A（x1，y1） 、B（x2，y2）在直線 上，因此直線 的 12 12 5 0 xx yy 12 12 0 5 xx yy ll 斜率為 0 或不存在，又直線 過點(diǎn) P（3，1） ，所以直線 的方程為 y=1 或 x=3ll 【

18、總結(jié)升華】 從交點(diǎn)坐標(biāo)入手，采用“設(shè)而不求” “整體代入”或“整體消元”的思想方法優(yōu)化了 解題過程這種解題思想方法在解析幾何中經(jīng)常用到，是需要掌握的技能另外，靈活運(yùn) 用圖形中的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱，線段中垂線的性質(zhì)等，同樣是很重要的 舉一反三：舉一反三： 【變式 1】如圖，直線 上有兩點(diǎn) A、B，A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x1，x2，直線l 方程為 y=kx+b，求 A、B 兩點(diǎn)的距離l 【答案】 222 2121 |(1)()1|ABkxxkxx 類型五、點(diǎn)到直線的距離類型五、點(diǎn)到直線的距離 例 7 在ABC 中，A（3，3） ，B（2，2） ，C（7，1） ，求A 的平分線 AD 所在直

19、線的方 程 【答案】yx 【解析】 設(shè) M（x，y）為A 的平分線 AD 上的任意一點(diǎn)，由已知可求得 AC 邊所在直線的方程 為 x5y+12=0，AB 所在直線的方程為 5xy12=0 由角平分線的性質(zhì)得， |512|512| 2626 xyxy x5y+12=5xy12 或 x5y+12=y5x+12，即 y=x+6 或 y=x 但結(jié)合圖形（如圖） ，可知 kACkADkAB，即， 1 5 5 AD k y=x+6 不合題意，故舍去 故所求A 的平分線 AD 所在直線的方程為 y=x 【總結(jié)升華】 本例利用角的平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等這一性質(zhì)，創(chuàng) 設(shè)了運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式的條件，從而得到角的平分線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）所滿足的方程， 化簡即得到所求的直線方程由此可見，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式的關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)出點(diǎn)到直線的距 離這一條件 舉一反三：舉一反三： 【變式 1】求點(diǎn) P0（1，2）到下列直線的距離： （1）2x+y10=0；（2）x+y=2；（3）y1=0 【答案】 （1）（2）（3）12 5 2 2 【解析】 （1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得 22 |2 ( 1)2 1