數(shù)學中的各種美

1、數(shù)學中的各種美 熟悉數(shù)學的人都體會到在數(shù)學中充滿著辯證法。如果說各門科學都包含著豐富的辯證思想，那么，數(shù)學則有自己特殊的表現(xiàn)方式，即用數(shù)學的符號語言以及簡明的數(shù)學公式能明確地表達出各種辯證的關系和轉化。 例如：初等數(shù)學中：點與坐標的對應；曲線與方程之間的關系；概率論和數(shù)理統(tǒng)計所揭示出的事物的必然性與偶然性的內在聯(lián)系等。以及高三數(shù)學里所涉及的：極限概念，特別是現(xiàn)代的極限語言，很好地體現(xiàn)了有限與無限，近似和精確的辯證關系；牛頓萊布尼茨公式描述了微分和積分兩種運算方式之間的聯(lián)系和相互轉化等等 這類事例在數(shù)學中比比皆是。當然，要真正掌握好“數(shù)學美”，僅僅知道一些數(shù)學知識還是遠遠不夠的，還必須善于發(fā)現(xiàn)各

2、種數(shù)學結構、數(shù)學運算之間的關系，建立和運用它們之間的聯(lián)系和轉化。唯其如此，才能發(fā)揮出蘊藏在數(shù)學中的辯證思維的力量。數(shù)學中許多計算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往就是綜合利用了各種關系并對他們進行過適宜的轉化而成的 掌握了“兩優(yōu)擇其重，兩劣擇其輕”這一辯證的比較思想，我們就掌握了解這類題目的鑰匙。其實，全部數(shù)學無處不在貫徹“兩優(yōu)擇其重，兩劣擇其輕”這一原則。數(shù)學無處不體現(xiàn)著辯證法，數(shù)學家們無時不在用辯證的眼光看問題。陳省身教授80年代在北大講學時說：“人們常說，三角形內角和等于180，但是，這是不對的！”“說三角形內角和為180不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對。應該

3、說三角形外角和是360！把眼光盯住內角，只能看到：三角形內角和是180；四邊形內角和是360；五邊形內角和是540n邊形內角和是（n-2）*180，雖然找到了一個計算內角和的公式，但公式里包含邊數(shù)n。如果看外角呢？三角形外角和是360，四邊形外角和是360，五邊形外角和是360，n邊形外角和是360。 數(shù)學的簡潔美 愛因期坦說過：“美，本質上終究是簡單性?！彼€認為，只有借助數(shù)學，才能達到簡單性的美學準則。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。 歐拉給出的公式：ve+f=2，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數(shù)v、棱數(shù)e、面數(shù)f

4、，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？ 在數(shù)學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：c=2r 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 正弦定理：abc的外接圓半徑r，則數(shù)學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數(shù)學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過：“數(shù)學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著”。 龐加萊指出：“在解中，在證明中，給我們以美感的東西是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對稱，是它們的巧妙、平衡” 數(shù)學的類比美 解析

5、幾何中的代數(shù)語言具有意想不到的作用，因為它不需要從幾何考慮也行?？紤]方程我們知道，它是一個圓。圓的完美形狀，對稱性，無終點等都存在在哪里呢？在方程之中！例如，與對稱，等等。代數(shù)取代了幾何，思想取代了眼睛！在這個代數(shù)方程的性質中，我們能夠找出幾何中圓的所有性質。這個事實使得數(shù)學家們通過幾何圖形的代數(shù)表示，能夠探索出更深層次的概念。那就是四維幾何。我們?yōu)槭裁床荒芸紤]下述方程呢？以及形如的方程呢？這是一個偉大的進步。僅僅靠類比，就從三維空間進入高維空間，從有形進入無形，從現(xiàn)實世界走向虛擬世界。這是何等奇妙的事情??！用宋代著名哲學家程顥的詩句可以準確地描述這一過程：道通天地有形外，思入風云變態(tài)中 數(shù)學

6、的對稱美 在古代“對稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”。畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對稱圓形?圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形?任何一條直徑都是它的對稱軸 梯形的面積公式：s=（上底+下底?h2，等差數(shù)列的前n項和公式： 其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a；1是首項，an是第n項，這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的。h與n是對稱的。 對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數(shù)學家獨自欣賞的，人們對于對稱美的追求是自然的、樸素的。如我們喜愛的對數(shù)螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對

7、稱的研究而發(fā)現(xiàn)了宇稱不守恒定律。從中我們體會到了對稱的美與成功。 數(shù)學的奇異美 全世界有很大影響的兩份雜志曾聯(lián)合邀請全世界的數(shù)學家們評選“近50年的最佳數(shù)學問題”，其中有一道相當簡單的問題：有哪些分數(shù)，不合理地把b約去得到，結果卻是對的？ 經(jīng)過一種簡單計算，可以找到四個分數(shù)：。這個問題涉及到“運算謬誤，結果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現(xiàn)一種奇異美嗎 還有一些“歪打正著等式”，比如人造衛(wèi)星、行星、彗星等由于運動的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，這幾種曲線的定義如下：到定點距離與它到定直線的距離之比是常數(shù)e的點的軌跡，當e1時，形成的是橢圓當e1時，形成的是雙曲線當e

8、=1時，形成的是拋物線 常數(shù)e由0.999變?yōu)?、變?yōu)?.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質完全不同的曲線。而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。 橢圓與正弦曲線會有什么聯(lián)系嗎？做一個實驗，把厚紙卷幾次，做成一個圓筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那么截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線。這其中的玄妙是不是很奇異、很美 語言美 數(shù)學有著自身特有的語言數(shù)學語言，其中包括 1數(shù)的語言符號語言 關于“”，九章算術如斯說：“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”；面對“2”這一差點被無理的行為淹沒的無理數(shù)，我們一直難以忘懷那位因發(fā)現(xiàn)“邊長為1的正方形，其對角線長不能表示成整數(shù)之比”這一“數(shù)學悖論”而被拋進大海的希帕索斯（公元前五世紀畢達哥拉斯學派成員）。還有sin8706;、等等，一個又一個數(shù)的語言，無不將數(shù)的完美與精致表現(xiàn)得淋漓盡致 2形的語言視角語言 從形的角度來看對稱性（“中心對稱”、“軸對稱”演繹了多少遙相呼應的纏綿故事）；比例性（美麗的“黃金分割法”分出的又豈止身材的絕妙配置？）；和諧性（如對數(shù)中：對數(shù)記號、底數(shù)以及真數(shù)