高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值 文 北師大版

1、3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、 極值、最值,考綱要求:1.了解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次,1.導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 (1)如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi),都有函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)是增函數(shù); (2)如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi),都有函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)0,則在這個(gè)區(qū)間上,函數(shù)y=f(x)是減函數(shù). 2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (

2、1)函數(shù)的極大值點(diǎn)和極大值:在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都小于或等于x0點(diǎn)的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值. (2)函數(shù)的極小值點(diǎn)和極小值:在包含x0的一個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都大于x0點(diǎn)的函數(shù)值,稱點(diǎn)x0為函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值. (3)極值和極值點(diǎn):函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn),4)求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)的步驟: 確定函數(shù)f(x)的定義域,并求出導(dǎo)數(shù)f(x). 解方程f(x)=0. 對(duì)于方程f

3、(x)=0的每一個(gè)解x0,分析f(x)在x0左、右兩側(cè)的符號(hào)(即f(x)的單調(diào)性),確定極值點(diǎn): ()若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左正右負(fù)”,則x0為極大值點(diǎn); ()若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左負(fù)右正”,則x0為極小值點(diǎn); ()若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同,則x0不是極值點(diǎn),1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充要條件. () (2)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的. () (3)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(x0)=0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件. () (4)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.

4、 () (5)函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值. (,1,2,3,4,5,2.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像,則下面判斷正確的是() A.在區(qū)間(-2,1)上f(x)是增函數(shù) B.在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數(shù) C.在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數(shù) D.在區(qū)間(2,3)上f(x)不是單調(diào)函數(shù),答案,解析,1,2,3,4,5,3.函數(shù)f(x)= x2-ln x的最小值是() A.0B. C.1D.不存在,答案,解析,1,2,3,4,5,4.如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像,則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為,答案,解析,1,2,3,4,5,5.若函數(shù)f(

5、x)=x3+ax-2在(1,+)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是,答案,解析,1,2,3,4,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上遞增,則f(x)0,“f(x)0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件. 2.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f(x0)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.如函數(shù)y=x3在x=0處導(dǎo)數(shù)為零,但x=0不是函數(shù)y=x3的極值點(diǎn). 3.求最值時(shí),應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系,關(guān)系不確定時(shí),需要分類討論,不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值. 4.函數(shù)最值是“整體”概念,而函數(shù)極值是“局部”概念,極大值與極小值之間沒有必然

6、的大小關(guān)系,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 例1(2015重慶,文19)已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(aR)在 處取得極值. (1)確定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性. 思考:如何利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 當(dāng)x0,故g(x)為增函數(shù); 當(dāng)-10時(shí),g(x)0,故g(x)為增函數(shù). 綜上知,g(x)在(-,-4)和(-1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(-4,-1)和(0,+)內(nèi)為增函數(shù),考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,

7、思考:如何利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性? 解題心得:1.導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般流程: 求定義域求導(dǎo)數(shù)f(x)求f(x)=0在定義域內(nèi)的根用求得的根劃分定義區(qū)間確定f(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)得相應(yīng)開區(qū)間上的單調(diào)性. 2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào),當(dāng)f(x)不含參數(shù)時(shí),解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間;當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí),需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論. 3.若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上遞增(減),求參數(shù)范圍問題,可轉(zhuǎn)化為f(x)0(或f(x)0)恒成立問題,從而構(gòu)建不等式,要注意“=”是否可以取到,考點(diǎn)1,考點(diǎn)

8、2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2015浙江嘉興質(zhì)檢)已知函數(shù) (1)當(dāng) 時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若函數(shù)f(x)在-1,1上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍,令f(x)=0,得ex=1或ex=2, 即x=0或x=ln 2; 令f(x)0,則xln 2; 令f(x)0,則0 xln 2. f(x)的遞增區(qū)間是(-,0),(ln 2,+);遞減區(qū)間是(0,ln 2,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 例2(2015天津模擬)已知函數(shù)f(x)=ln x-a2x2+ax(aR). (1)求f(x)

9、的單調(diào)區(qū)間與極值. (2)若函數(shù)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值有怎樣的關(guān)系? 解題心得:1.可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)=0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號(hào)不同. 2.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么y=f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值. 3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的一般流程,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考

10、點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),則f(x)在R上不變號(hào),結(jié)合與條件a0,知1+ax2-2ax0在R上恒成立,即=4a2-4a=4a(a-1)0,由此并結(jié)合a0,知0a1.所以a的取值范圍為a|0a1,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:求函數(shù)的最值可劃分為哪幾步? 解題心得:求函數(shù)f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟: (1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值. (2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a

11、),f(b). (3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=x3-12x+8在區(qū)間-3,3上的最大值與最小值分別為M,m,則M-m,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),f(x)在(a,b)上任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零,則f(x)0f(x)在(a,b)上為增函數(shù);f(x)0f(x)在(a,b)上為減函數(shù). 2.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟

12、: (1)求f(x);(2)求f(x)=0的根;(3)判定根兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào);(4)下結(jié)論. 3.求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值時(shí),首先求出各極值及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值;然后比較其大小,得結(jié)論(最大的就是最大值,最小的就是最小值,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.注意定義域優(yōu)先的原則,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行. 2.求函數(shù)最值時(shí),不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論. 3.一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)最值是唯一的,可以在區(qū)間的端點(diǎn)取得. 4.解題時(shí),要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題,處理好當(dāng)f(x)=0時(shí)的情況,正確區(qū)分極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),高頻小考點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)的方法求參數(shù)的取值范圍 典例1已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x00,則a的取值范圍是() A.(2,+)B.(1,+) C.(-,-2)D.(-,-1) 答案:C 解析:當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-3x2+1存在兩個(gè)零點(diǎn),不合題意,典例2函數(shù)f(x)=ax3-3x在(-1,1)上為單調(diào)減函數(shù),則a的取值范圍是,答案:(-,1,解析:f(x)=3ax2-3,f(x