排列組合專題復(fù)習(xí)及經(jīng)典例題詳解

1、排列組合專題復(fù)習(xí)及經(jīng)典例題詳解1. 學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握排列、組合問題的解題策略2. 重點(diǎn)(1) 特殊元素優(yōu)先安排的策略：(2 )合理分類與準(zhǔn)確分步的策略；(3) 排列、組合混合問題先選后排的策略；(4 )正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略；(5)相鄰問題捆綁處理的策略；(6 )不相鄰問題插空處理的策略.3. 難點(diǎn)綜合運(yùn)用解題策略解決問題.4. 學(xué)習(xí)過程：(1)知識梳理1 分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)：完成一件事，有幾類辦法，在第一類辦法中有m,種不同的方法，在第2類辦法中有 m2種不同的方法在第 n類型辦法中有 mn種不同的方法， 那么完成這件事共有 N mj m2 . mn種不同的方法.2 分步計(jì)數(shù)原理(乘法原

2、理)：完成一件事，需要分成 n個步驟，做第1步有mj種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第 n步有mn種不同的方法；那么完成這件事共有N 葉 m2. mn種不同的方法.特別提醒:分類計(jì)數(shù)原理與“分類”有關(guān)，要注意“類”與“類”之間所具有的獨(dú)立性和并列性；分步計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)，要注意“步”與“步”之間具有的相依性和連續(xù)性，應(yīng)用這兩個原理進(jìn)行正確地分類、分步，做到不重復(fù)、不遺漏.3排列：從n個不同元素中，任取 m(mc n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個 排列，m n時叫做選排列，m n時叫做全排列.4. 排列數(shù)：從n個不同元素中，取出 m(

3、mc n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n個不同 元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號 Pnm表示.n I5排列數(shù)公式：Pnm n(n 1)(n 2).(n m 1)丄一 (m n,n、m N )(n m)!排列數(shù)具有的性質(zhì)：Pnm1Pnm mPnm 1特別提醒：規(guī)定0!=16. 組合：從n個不同的元素中，任取 m（mc n）個不同元素，組成一組，叫做從 n個不同元素中取m個不同元素的一個組合.7. 組合數(shù)：從n個不同元素中取 m（mc n）個不同元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 n個不同元素中取出m個不同元素的組合數(shù)，用符號 Cnm表示.& 組合數(shù)公式：Cnm 蘭 n（n 1）（n 2）.（n

4、m。nP1m!m! （n m）!組合數(shù)的兩個性質(zhì)：w cnm :cm, cm cm1特別提醒：排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者 無順序關(guān)系典型例題考點(diǎn)一：排列問題例1.六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：（1）方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有p4種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列有P55種站法，根據(jù)分

5、步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：P4P；480（種）方法二：由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余 5個人中選2個人站，有P52種站法，然后中間4人有P44種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：P52P44 480（種）6c方法三：若對甲沒有限制條件共有P6種站法，甲在兩端共有 2P5種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：P66 2P55 480（種）（2 ）方法一：先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，和其余4人進(jìn)行全排列有 P；種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有P22種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有P55P22 240（禾申） 方法二：先把甲、乙以外的4個人作全排列，有 P44種

6、站法，再在5個空檔中選出一個供甲、 乙放入，有P5種方法，最后讓甲、乙全排列，有P2種方法，共有P4 P5P2240（種）（3）因?yàn)榧?、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4 個人站隊(duì)，有P4種站法；第二步再將甲、乙排在 4人形成的5個空檔（含兩端）中，有 P52種站 法，故共有站法為 P44 P52480（種）此外，也可用“間接法”，6個人全排列有P6種站法，由（2）知甲、乙相鄰有P55 P22 240 種站法，所以不相鄰的站法有 P66 P55 P22 720 240 480（種） .（4）方法一：先將甲、乙以外的4個人作全排列，有P44種，然后將甲、乙按條件插入站

7、隊(duì)， 有 3P22 種，故共有 P44 （3 P22） 144（種）站法 .方法二：先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有 P42種,然后把甲、乙及中間2人看作一個“大”元素與余下2人作全排列有F33種方法，最后對甲、乙進(jìn)行排列，有P22種方法，故共有P42P33P22 144（種）站法（5） 方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有P；種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有P：種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有P22P44 48（種）站法.2方法二：首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有P2種站法，然后考慮中間 4個位置，由剩下的4人去站，有P44種站法，由分步乘法計(jì)

8、數(shù)原理共有 P22 P44 48（禾申）站法.（6）方法一：甲在左端的站法有 P55種，乙在右端的站法有 P55種，甲在左端而且乙在右端的站法有P44種，故甲不站左端、乙不站右端共有P66-2 P55 + P44 =504 （種）站法.方法二：以元素甲分類可分為兩類：甲站右端有R5種站法，甲在中間 4個位置之一，1 1 451 1 4而乙又不在右端有 P4 P4 P4種，故共有 Ps + P4 P4 Pl =504 （種）站法考點(diǎn)二 : 組合問題例2.男運(yùn)動員6名，女運(yùn)動員4名，其中男女隊(duì)長各1人選派5人外出比賽 在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運(yùn)動員 3名，女運(yùn)動員 2名；（2）至少

9、有 1 名女運(yùn)動員；（3）隊(duì)長中至少有 1 人參加；（4）既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動員 .【解析】：（ 1）選法為 C63C42120（種）.（2）方法一：至少 1名女運(yùn)動員包括以下幾種情況： 1女 4男，2女 3男，3女 2男，4女 1男.由分類計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為 C41C64 C42C63 C43C62 C44C61 246（種）. 方法二：因“至少 1 名女運(yùn)動員”的反面為“全是男運(yùn)動員”，故可用間接法求解.從io人中任選5人有C；。種選法，其中全是男運(yùn)動員的選法有 c6種.所以“至少有 1 名女運(yùn)動員”的選法 C150 C65 246（種）.（3）方法一：可分類求解：“只有男隊(duì)長”的

10、選法為 c8 ； “只有女隊(duì)長”的選法為 c8 ； “男、女隊(duì)長都入選”的選法為C3 ;所以共有2C；+C；=196 （種）選法.方法二：間接法：從io人中任選5人有c5種選法.其中不選隊(duì)長的方法有 c8種.所以“至少1名隊(duì)長”的選法為 C5o- Cs=196種.（4）當(dāng)有女隊(duì)長時，其他人任意選，共有 C94 種選法；不選女隊(duì)長時， 必選男隊(duì)長， 共有 C8 種選法， 而且其中不含女運(yùn)動員的選法有 C5 種，所以不選女隊(duì)長時的選法共有 c8 c4種選法.所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動員的選法共有 C94 （c； C54） i9i種.考點(diǎn)三 : 綜合問題例 3.4 個不同的球， 4 個不同的盒子，把球全

11、部放入盒內(nèi) .（1）恰有i個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有 i 個盒內(nèi)有 2 個球，共有幾種放法？（3）恰有 2 個盒不放球，共有幾種放法？【解析】：（i）為保證“恰有i個盒不放球”，先從 4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn) 化為“4個球， 3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4 個球分成 2， i，i 的三組，然后再從 3個盒子中選 i 個放 2個球，其余 2個球放在另外 2個盒子內(nèi)，由分步 乘法計(jì)數(shù)原理，共有 C4C：C3P22i44種；（2）“恰有 i 個盒內(nèi)有 2 個球”，即另外 3個盒子放 2個球，每個盒子至多放 i 個球，也 就是說另外 3 個盒子中恰有一個空盒，

12、因此， “恰有 i 個盒內(nèi)有 2 個球”與“恰有 i 個盒不 放球”是同一件事，所以共有 i44種放法.（3）確定2個空盒有C：種方法；4個球放進(jìn)2個盒子可分成（3，i ）、（ 2，2）兩類：第一類有序不均勻分組有 C43CiiP228 種方法；第二類有序均勻分組有c4c2P2p26種方法.故共有 c(c43c11p22c2cP22P22)84 種.當(dāng)堂測試1. 從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊(duì)， 要求其中男、女醫(yī)生都有, 則不同的組隊(duì)方案共有（）A.70 種B.80 種C.100 種D.140 種【解析】：分為2男i女，和i男2女兩大類，共有 c；c： c；c： 70種

13、.解題策略：合理分類與準(zhǔn)確分步的策略.2. 2020年北京奧運(yùn)會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分 別從事司機(jī)、導(dǎo)游、翻譯、禮儀四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其 余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有（）A.48 種B.12 種C.18 種D.36 種【解析】：合理分類，通過分析分為（1）小張和小趙恰有1人入選，先從兩人中選 1人，然后把這個人在前兩項(xiàng)工作中安排一個，最后剩余的三人進(jìn)行全排列有c；c2b324種選法.（2）小張和小趙都入選，首先安排這兩個人做前兩項(xiàng)工作有F22 2種方法，然后在剩余的3人中選2人做后兩項(xiàng)工作，有P33 6種方

14、法.故共有C2C；P33 P22P33 36種選法.解題策略：特殊元素優(yōu)先安排的策略. .合理分類與準(zhǔn)確分步的策略. .排列、組合混合問題先選后排的策略.3. 從0, 1, 2, 3, 4, 5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位 數(shù)的個數(shù)為（）A.48B.12c.180D.162【解析】：分為兩大類：（1）含有0，分步：從另外兩個偶數(shù)中選一個，有c；種方法，2.從3個奇數(shù)中選兩個，有C3種方法；.給0安排一個位置，只能在個、十、百位上選, 有C3種方法；.其他的3個數(shù)字進(jìn)行全排列，有 P33種排法，根據(jù)乘法原理共有C；C；c3P33 108種方法.（2）不含0,分步：偶

15、數(shù)必然是 2和4 ；奇數(shù)有C；種不 同的選法，然后把 4個元素全排列，共 P44種排法，不含0的排法有C；P44 72種根據(jù)加法原理把兩部分加一塊得108+72=180個4. 甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有 6名男同學(xué)，2名女同學(xué)若從甲、乙兩組中各 選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（）A.150 種 B.180 種 C.300 種 D.345 種 【解析】： 4 人中恰有 1 名女同學(xué)的情況分為兩種，即這 1 名女同學(xué)或來自甲組，或來自乙 組，則所有不同的選法共有 C51C31C62 C52C61C12 345 種選法解題策略： 合理分類與準(zhǔn)確分步的策略5. 甲、

16、乙兩人從 4 門課程中各選修 2門，則甲、乙所選的課程中至少有 1 門不相同的選法共 有( )A.6 B.12 C.30 D.36 【解析】：法一：甲、乙所選的課程中至少有 1 門不相同的選法可以分為兩類：甲、乙所選的課程中 2門均不相同，甲先從 4門中任選2門，乙選取剩下的 2門，有 C42C22 6 種甲、乙所選的課程中有且只有1門相同，分為2步：從4門中先任選一門作為相同的1課程，有C4 4種選法，甲從剩余的3門中任選1門，乙從最后剩余的2門中任選1門，有C3C2 6種選法，由分步計(jì)數(shù)原理此時共有C：C；C2 24種.最后由分類計(jì)數(shù)原理，甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 6+

17、24=30種.故選C.法二：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有C42C42 36種方法，然后再把兩個人全相同的情況去掉，兩個人全相同，可以將甲與乙看成為同一個人，從4門中任選兩門有C2 6種選法，所以至少有一門不相同的選法為C4CJ C： 30種不同的選法.解題策略：正難則反，等價轉(zhuǎn)化的策略.6. 用 0 到 9 這 10 個 數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為 ()A.324B.328C.360D.648【解析】：第一類個位是 0,共P92種不同的排法；第二類個位不是0,共c：c；c8種不同的解法故共有p92+c4c8c8 =328 (個).解題策略： 合理分類與準(zhǔn)確分步的策略 .7.

18、 從 1 0名大學(xué)畢業(yè)生中選 3人擔(dān)任村長助理,則甲、乙至少有 1 人入選,而丙沒有入選的不同選法的總數(shù)為()A.85B.56C.49D.28【解析】：合理分類，甲、乙全被選中，有c；c；種選法，甲、乙有一個被選中，有c；c；種不同的選法，共c；c；+c2c；=49種不同的選法.解題策略： (1)特殊元素優(yōu)先安排的策略；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步的策略 .8. 將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名 學(xué)生不能分到同一個班，則不同分法的總數(shù)為（ ）A.4 B.18 C.24 D.30 【解析】：將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分成三組，則共有C42 種不同的分法，然后三組進(jìn)行全排列共P33種不同的方法；最后再把甲、乙分到同一個班的情況排除掉，共p3種不同的排法所以總的排法為 C42 P33- P33 =30種注意 :這里有一個分組的問題，即四個元素分成三組有幾種不同的分法的問題 解題策略 ：. 正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略. 相鄰問題捆綁處理的策略. 排列、組合混合問題先選后排