高數(shù)期中試題及解答

1、名師整理 優(yōu)秀資源 武漢大學電信學院20092010學年第二學期 高等數(shù)學期中考試試卷 x+1y-1z垂直相交的直線分）求過點（6且與直線1=3),M(2,1 32-1 方程。相與二次曲面2（6分）給出平面2221=+AxCz+Byp=my+nzlx+ 切的條件并說明理由。1?10),(0,y)yarctan,(x? ?22問在原點分）設(shè)函數(shù)，3（12y+x=)f(x,y0)(0,?0),=(0,(0,x,y)?處： （1）偏導數(shù)是否存在？（2）偏導數(shù)是否連續(xù)？（3）是否可微？均說明理由。 y，試證明：，其中為可微函數(shù)，且（6分）設(shè)4F)(uz=xy+xF=u xz抖z 。xy+y=zx y抖

2、x?z5（6。 分）設(shè)方程確定可微函數(shù)，求)y(xyz),z=zz+xy=f(xz, ?x6（9分）設(shè)函數(shù)滿足且，20u-u=x)=(x,2xux=u(x,y)(ux,2x)yyxxx求，。 )x(x,2u(xx),2u)x,2u(xxxyyxy7（8分）已知點與，在平面上求一點12=+z2)2x-yP(1,0,-1)Q(3,1,M，使得最小。 MQPM+ 8（6分）設(shè)是矩形域：，計算二重積分px0py0D。 蝌yxdsinxsinydmaxx,yDdxdydz，其中9（6分）計算積分是由平面?蝌=IW 3)x(1+yzW名師整理 優(yōu)秀資源 與三個坐標面所圍成的空間區(qū)域。 1z=x+y+，。1

3、0（6分）設(shè)空間區(qū)域，求 2?蝌222dxdydzz)(x+0z31W:xz+y?+W4xyxy驏，其中11（6分）計算是由曲線在第?蝌+=yxyI=dxdD ? 桫623D一象限中所圍成的區(qū)域。 12（6分）設(shè)為連續(xù)函數(shù),且，證明： ),(yxx,y,f(xy)=ff(1x1x。 蝌蝌dy-y)f(1)f(x,ydy=dx-dxx,10000x-1yz繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，（8分）求直線13=y 21-1并求該曲面與所包圍的立體的體積。 2y=y=0,14（6分）設(shè)一球面的方程為，從原點向球面上2224=(zx+y1)+QPQ在球面上變?nèi)我稽c，當點處的切平面作垂線，垂足為點PSS所圍

4、成的的軌跡形成一封閉曲面求此封閉曲面，動時，點立體的體積。 W15（3分）設(shè)在上有連續(xù)的二階導數(shù)，)1,+?1(1)f=0x)=f(1)f(22z抖z在滿足且二元函數(shù) ，求2222)+)(z=x+yf(xy)(fx0+= 22y抖x的最大值。 )?1,+ 名師整理 優(yōu)秀資源 x+1y-1z垂直的平面方與已知直線1、解：過已知點=3)(2,1M, 32-1 程為：3x?2y?z?5?0 2133?MN即為所 求出已知直線與該平面的交點為，直線?,N,? 777? 求，其方程為：31z?x?2y? .? 42?1 ?lx?my?nz?p000?2、解：設(shè)平面與曲面相切的切點為，則有，2221nz?

5、my?Ax?),(x,yz?000000?AxByCz?000? mnl?222nlm，當分母為零時，分消去得所求條件為：2+=p+z,x,y 000ABC子相應也為零。 f(x,0)-f(0,0)0；3、解： （1）0=lim=lim0)f(0, xxx 0x0xf(0,y)-f(0,0)1p。 =lim0)(0,f=lim=arctan yy|y2| 0y0y 優(yōu)秀資源 名師整理 xy ）當時， （20)(x,y)1(0,-=f(x,y) x2222y1)x+(xy+2y1 -arctan.(fx,y)= y222222yx+y+1)x+y(x+1 因為，所以 ?y),(0,0)(x0井揪

6、揪x,y)| 0 |f( x221y+x+ 0)(0,y)=flimf(xxx?(0,0)y)(x, 同理 yy1?-limarctanf(x,y)=limlim y22yx+1+2222y+xyx+(0,0)(x,y(,y)(0,0)x,y)(0,0)(x pp-0=f =(0,0) y22所以兩個偏導數(shù)均連續(xù). (3)因為的兩個偏導數(shù)在點均連續(xù)，所以在點 0)y)0)(0,f(x)f(x,y,(0,可微. 抖zyz1y驏 4、解：?+?=?+=+=+-.xxyxFfFFyF，xF ? 桫2xyxxx抖抖zz 則 .xy=z+yF=xyxFx+xy+y=xy+xF-yF+xy+ 抖xy 5、

7、方程兩邊微分得： dz+ydx+xdy=f(zdx+xdz)+f(zdy+ydz)， 21(zf-y)dx+(zf-x)dy21dz=，整理得： 1-xf-yf21?zzfy1=. 所以 ?x1xf-yf21 名師整理 優(yōu)秀資源 xx=,2x)u(xu(x,2x)+2u(x,2x)=1, 6、在兩邊對 求導得：yx2x-12=),2xu(xxxu(x,2)= 代入上式得：， 將條件 xy22xx=x)u(x,2求導得：兩邊對在 xu(x,2x)+2u(x,2x)=2x (1) xyxx2x1-x=x)(x,2u求導得：兩邊對在 y2u(x,2x)+2u(x,2x)=-x (2) yyyxu=u

8、，u=u解得： （2）兩式并注意到 聯(lián)立（1）yxxxxyyy5x4xu(x,2x)=，u(x,2x)=u(x,2x)=-. yxyxx33u(x,y)具有連續(xù)的二階偏導數(shù). 說明： 此題應該加上條件： x-2y+z-12QP，計算出結(jié)果均的坐標代入7、解：首先將點P，Q0P且與平面垂直的過點小于位于平面的同側(cè)，所以點. 直線方程為 x-1yz+1= ， 1-21(3,-4,1)P關(guān)于 該直線與已知平面的交點為，由中點公式可求出點uuur9,12,QP-=P(5,-8,3)已知平面的對稱點為，從而過，于是x-3y-1z-2QP=，此直線與平面和點的直線方程為點 2-91272017M(,-,)

9、M即為所求，點. 的交點為 777 名師整理 優(yōu)秀資源 D，Dxy=兩部分，其中將積分區(qū)域分成 8、作直線21D=(x,y):0yx,0xp. 1蝌蝌ysinxsinxsinydxdy+ydxdyxsin = 原式 DD12蝌xsinxsin=2ydxdy （用到輪換對稱性） D1pxp?蝌dxx)x(1-sinydy=2cosxsinxdx=2xsin 0005ppp蝌xsin2=2xsinxdx-xdx=. 200 111-x1-x-y?蝌dyI=dxdz 9、解： 3)z+y+(1+x000y1-x-輊1x1-1犏蝌-dy=dx 犏2)zx+y+2(1+00臌0輊1111x1-犏蝌-dy

10、=dx- 犏24(1+x+2y)00臌1-x輊1y11犏+dx=- 犏)y(1+x+240臌 0驏3x1ln2151?-dx-=-.=? 桫441+2x2160 xxz2yoz 為奇函數(shù)，故關(guān)于平面對稱，、解：注意積分區(qū)域關(guān)于10 優(yōu)秀資源 名師整理 222蝌蝌蝌dxdydz=+z)(x dxdydz(x+z)WW22蝌蝌蝌dxdydzx+=zdxdydzWW1122蝌蝌蝌dxdyzdydz=+dzxdx 10-DDxyyzp112222蝌dzzpz)=(1x(1-x-)dx+ 210-422.=p+p=p 151515 22qsin3rcosqy=x=2r ，則曲線方程為：11、解：令，?0

11、,qqcossinqr=qp ，于是，的范圍為 2p?(x,y)qcosqsin 蝌 26rI=cosdqqsinqdr?(r,q)00pcosqsinq 222蝌 2drdq6rcosqsinq =1200pp 22555蝌 22qdq=qsin4sindqsinq =46sin(1-6q)cos00 6 =. 15 12、證明： 右邊 蝌1xx,00x,y):yD=xf(1-,1-y)dxdy =(D?1x=u?x1-u-10 ?)x,y(?，則令，即，記 1= ?-=-=1v1y0vy-1?)u,v(?,?，1u0,uv0:)v,u(=D，1u0,1vu:)v,u(=D名師整理 優(yōu)秀資源

12、 蝌蝌f(v,dudv=u)=dudvf(u,v)（輪換對稱性） 右邊DD蝌蝌f(x,y)dxdy=f(u,v)=dudv=左邊 . DD M(x,y,z)為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點，它由直線上的點13、設(shè)點 ?=yy?0?2222)zx,y,(=x+zxzy軸旋轉(zhuǎn)得到，則有繞， 00000?x-1yz?000=? 1-12?x,y,z得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：消去 000222+4y+z1.=5xy+ （用切片法計算所求體積:) 70222?蝌蝌蝌.=pdy4ydxdz =p+1)(5dxdydzV=y+dy 300DWxz P(x,y,z)Q(x,y,z)為球面上任一點，點設(shè)點14、為曲面上任一點，0

13、00則有： 222=4 (1)z+1)x+y+( 000rn=x,y,z,QP 切在切平面上，即：點的法向量為球面在點 000Qx(x-x)+y(y-y)+(z+1)(z-z)=0 (2) 000000uuurOP垂直于切平面有： 由xyz= (3) xyz1+000名師整理 優(yōu)秀資源 x,y,z得曲面方程為：）消去 1）（2）（3聯(lián)立（0002222222)+)+zy=(x4(+yx+zz r=2-cosj，從而體積為：該曲面的球面方程為 40j-cospp222蝌蝌蝌pdrV=dxdydz=djdqrsinj. 3000W ?z3222)f+xy=2xf(fx+y(2)鬃fx2x=2x?，

14、 15、解： ?x2?z22232x鬃fx+2xy)fx+(6x+2y)+(22=f+2x鬃f2 2?x ?22222fy(x2y)f+4x =2f+(10x+2?z?22222fx)+x)f+4yy(=2f+(10y+2 同理可得： 2?y22抖zz+=0整理得：代入條件 22抖xy?22222222222)=+fyx(+yx)+(x+f(xy+y)+3(xy+0)f)(22=r+yx，上式寫為：記 ?2(r)+r=frff(r)+30 (1)(r)， rf(r)為未知函數(shù)的歐拉方程為自變量，這是一個以. dt1dfdt1dft=),f(r=er=r=lnt ，令，則 dtdrrrdtdr驏2驏驏dffddfdt1dd1df驏1df1?鼢瓏?-+=-)(rf ?鼢鼢?瓏 ?桫桫桫222dtdrdtrrrdtdtdtdrrdt桫代入歐拉方程得： 2fddf+2+f=0 (2) 2dtdt名師整理 優(yōu)秀資源 t)(eft為自變量，. 這是一個以為未知函數(shù)的二階常系數(shù)線性齊次微分2+2l+1=l0l=l=-1，從而，特征根為其特征方程為：21t-tf(e)=(C+Ct)e,變量代會得到（1）的通解為