圓的一般方程教案

1、4.1.2 圓的一般方程（一）教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能（1）在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件.（2）能通過(guò)配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程.（3）培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力.2過(guò)程與方法通過(guò)對(duì)方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力.3情感態(tài)度與價(jià)值觀滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索. （二）教學(xué)重

2、點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用.（三）教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課題引入問(wèn)題：求過(guò)三點(diǎn)A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圓的方程.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問(wèn)題顯然有些麻煩，得用直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性，那么這個(gè)問(wèn)題有沒(méi)有其它的解決方法呢？帶著這個(gè)問(wèn)題我們來(lái)共同研究圓的方程的另一種形式圓的一般方程.讓學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)行思考設(shè)疑激趣導(dǎo)入課題.概念形成與深化請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x a)2 + (y b)2 = r2，圓心(a，b)，半徑r

3、.把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)，并整理：x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 r2=0.取D = 2a，E = 2b，F(xiàn) = a2 + b2 r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0這個(gè)方程是圓的方程.反過(guò)來(lái)給出一個(gè)形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得(配方過(guò)程由學(xué)生去完成)這個(gè)方程是不是表示圓？（1）當(dāng)D2 + E2 4F0時(shí)，方程表示以為圓心，為半徑的圓；（2）當(dāng)D2 + E2 4F = 0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解，即只表示一個(gè)點(diǎn)；（3）當(dāng)D2 + E2 4F0時(shí)，方程沒(méi)有

4、實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形.綜上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲線不一定是圓.只有當(dāng)D2 + E2 4F0時(shí)，它表示的曲線才是圓，我們把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圓的方程稱為圓的一般方程.整個(gè)探索過(guò)程由學(xué)生完成，教師只做引導(dǎo)，得出圓的一般方程后再啟發(fā)學(xué)生歸納.圓的一般方程的特點(diǎn)：（1）x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng).（2）圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了.（3）與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)

5、與半徑大小，幾何特征較明顯.通過(guò)學(xué)生對(duì)圓的一般方程的探究，使學(xué)生親身體會(huì)圓的一般方程的特點(diǎn)，及二元二次方程表示圓所滿足的條件.應(yīng)用舉例例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑.（1）4x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0（2）4x2 + 4y2 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）將原方程變?yōu)閤2 + y2 x + 3y += 0D = 1，E =3，F(xiàn) =.D2 + E2 4F = 10此方程表示圓，圓心（，），半徑r =.（2）將原方程化為x2 + y2 x + 3y += 0D = 1，E =3，F(xiàn) =.D2 + E2 4F = 1

6、0此方程不表示圓.學(xué)生自己分析探求解決途徑：用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式.運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解.但是，要注意對(duì)于（1）4x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0來(lái)說(shuō)，這里的D = 1，E = 3，而不是D = 4，E = 12，F(xiàn) = 9. 通過(guò)例題講解使學(xué)生理解圓的一般方程的代數(shù)特征及與標(biāo)準(zhǔn)方程的相互轉(zhuǎn)化更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問(wèn)題的能力.例2 求過(guò)三點(diǎn)A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).分析：據(jù)已知條件，很難直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先寫(xiě)出圓的一般

7、方程.解：設(shè)所求的圓的方程為：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D、E、F的三元一次方程組：即解此方程組，可得：D= 8，E=6，F(xiàn) = 0所求圓的方程為：x2 + y2 8x + 6y = 0；.得圓心坐標(biāo)為(4，3).或?qū)2 + y2 8x + 6y = 0左邊配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，(x 4)2 + (y + 3)2 = 25，從而求出圓的半徑r = 5，圓心坐標(biāo)為(4，3).例2 講完后學(xué)生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟：1根據(jù)題設(shè)，選擇標(biāo)

8、準(zhǔn)方程或一般方程.2根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；3解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.例3 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)，端點(diǎn)A在圓上(x + 1)2 + y2 = 4運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0)由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)且M是線段AB中重點(diǎn)，所以，于是有x0 = 2x 4，y0 = 2y 3因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x + 1)2 + y2 = 4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x + 1)2 + y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 把代入，得(2x 4 + 1)2 + (

9、2y 3)2 = 4，整理得所以，點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，半徑長(zhǎng)為1的圓.MAxyOB課堂練習(xí)：課堂練習(xí)P130第1、2、3題.教師和學(xué)生一起分析解題思路，再由教師板書(shū).分析：如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程.歸納總結(jié)1圓的一般方程的特征2與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化3用待定系數(shù)法求圓的方程4求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡教師和學(xué)生共同總結(jié)讓學(xué)生更進(jìn)一步（回顧）體會(huì)知識(shí)的形成、發(fā)展、完善的過(guò)程.課后作業(yè)布置作業(yè)：見(jiàn)習(xí)案4.1的第二課時(shí)學(xué)生獨(dú)立完成鞏固深化備選例題例1 下

10、列各方程表示什么圖形？若表示圓，求出圓心和半徑.（1）x2 + y2 + x + 1 = 0；（2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax 2ay = 0 (a0).【解析】（1）因?yàn)镈 1，E 0，F(xiàn) 1，所以D2 + E2 4F0 方程（1）不表示任何圖形；（2）因?yàn)镈 2a，E 0，F(xiàn) a2，所以D2 + E2 4F 4a2 4a2 = 0， 所以方程（2）表示點(diǎn)(a，0)；（3）兩邊同時(shí)除以2，得x2 + y2 + ax ay = 0，所以D = a，E = a，F(xiàn) = 0. 所以D2 + E2 4F0，所以方程（3）表示圓，圓心為

11、，半徑.點(diǎn)評(píng)：也可以先將方程配方再判斷.例2 已知一圓過(guò)P (4，2)、Q(1，3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為，求圓的方程.【分析】涉及與圓的弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，則利用垂徑直徑定理和由半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑所構(gòu)成的三角形解之.【解析】法一：設(shè)圓的方程為：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 將P、Q的坐標(biāo)分別代入得 令x = 0，由，得y2 + Ey + F = 0 由已知|y1 y2| = ，其中y1，y2是方程的兩根.(y1 y2)2 = (y1 + y2) 4y1y2 = E2 4F = 48 解聯(lián)立成的方程組，得故所求方程為：x2 + y2 2x 12 = 0或x2 + y2 10x 8y + 4 = 0.法二：求得PQ的中垂線方程為x y 1 = 0 所求圓的圓心C在直線上，故設(shè)其坐標(biāo)為(a，a 1)，又圓C的半徑 由已知圓C截y軸所得的線段長(zhǎng)為，而圓C到y(tǒng)軸的距離為|a|.代入并將兩端平方，得a2 5a + 5 = 0，解得a1 = 1，a2 = 5.故所求的圓的方程為：(x 1)2 + y2 = 13或(x 5)2 + (y 4)2 = 37.【評(píng)析】(1)在解本題時(shí)，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，要避開(kāi)直接去求圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，否則計(jì)算要復(fù)雜得多.（2）涉及與圓的弦長(zhǎng)有關(guān)問(wèn)題，常用垂徑定理和由