2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試

1、學(xué)而思教育學(xué)習(xí)改變命運 思考成就未來！ 高考網(wǎng)2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準說明：1評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準，填空題只設(shè)7分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中至少4分為一個檔次，不要增加其他中間檔次一、填空（共8小題，每小題7分，共56分）1 若函數(shù)且，則 【答案】【解析】 ，故2 已知直線和圓，點在直線上，為圓上兩點，在中，過圓心，則點橫坐標范圍為 【答案】【解析】 設(shè)，則圓心到

2、直線的距離，由直線與圓相交，得解得3 在坐標平面上有兩個區(qū)域和，為，是隨變化的區(qū)域，它由不等式所確定，的取值范圍是，則和的公共面積是函數(shù) 【答案】【解析】 由題意知 4 使不等式對一切正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)的值為 【答案】【解析】 設(shè)顯然單調(diào)遞減，則由的最大值，可得5 橢圓上任意兩點，若，則乘積的最小值為 【答案】【解析】 設(shè)，由，在橢圓上，有 得于是當時，達到最小值6 若方程僅有一個實根，那么的取值范圍是 【答案】 或【解析】當且僅當對由求根公式得， 或()當時，由得所以，同為負根又由知所以原方程有一個解()當時，原方程有一個解()當時，由得所以，同為正根，且，不合題意，舍去綜上可得或為所

3、求7 一個由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個數(shù)之和，最后一行僅有一個數(shù)，第一行是前個正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是 （可以用指數(shù)表示）【答案】【解析】 易知：()該數(shù)表共有100行；()每一行構(gòu)成一個等差數(shù)列，且公差依次為，()為所求 設(shè)第行的第一個數(shù)為，則 故8 某車站每天，都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間是相互獨立的，其規(guī)律為到站時刻概率一旅客到車站，則它候車時間的數(shù)學(xué)期望為 （精確到分）【答案】 27【解析】 旅客候車的分布列為候車時間（分）1030507090概率候車時間的數(shù)學(xué)期望為二、解答題1 （本小題滿分14分）

4、設(shè)直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由【解析】 由消去化簡整理得設(shè)，則 4分由消去化簡整理得設(shè)，則 8分因為，所以，此時由得所以或由上式解得或當時，由和得因是整數(shù)，所以的值為，當，由和得因是整數(shù)，所以，于是滿足條件的直線共有9條14分2 （本小題15分）已知，是實數(shù)，方程有兩個實根，數(shù)列滿足，()求數(shù)列的通項公式（用，表示）；()若，求的前項和【解析】 方法一：()由韋達定理知，又，所以，整理得令，則所以是公比為的等比數(shù)列數(shù)列的首項為：所以，即所以當時，變?yōu)檎淼?，所以，?shù)列成公差為的等差數(shù)列，其首項為所以于是數(shù)列的通項公式為；5分當時， 整理得，所以，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，其首項為所以于是數(shù)列的通項公式為10分()若，則，此時由第()步的結(jié)果得，數(shù)列的通項公式為，所以，的前項和為以上兩式相減，整理得所以15分方法二：()由韋達定理知，又，所以，特征方程的兩個根為，當時，通項由，得 解得故 5分當時，通項由，得 解得，故 10分()同方法一3 （本小題滿分15分）求函數(shù)的最大和最小值【解析】 函數(shù)