大學(xué)線性代數(shù)必過(guò)復(fù)習(xí)資料

1、復(fù)習(xí)重點(diǎn)：第一部分 行列式1 排列的逆序數(shù)（P.5例4；P.26第2、4題）2 行列式按行（列）展開(kāi)法則（P.21例13；P.28第9題）3 行列式的性質(zhì)及行列式的計(jì)算（P.27第8題）第二部分 矩陣1 矩陣的運(yùn)算性質(zhì)2 矩陣求逆及矩陣方程的求解（P.56第17、18題；P.78第5題）3 伴隨陣的性質(zhì)（P.41例9；P.56第23、24題；P.109第25題）、正交陣的性質(zhì)（P.116）4 矩陣的秩的性質(zhì)（P.69至71；P.100例13、14、15）第三部分 線性方程組1 線性方程組的解的判定（P.71定理3；P.77定理4、5、6、7），帶參數(shù)的方程組的解的判定（P.75例13；P.80

2、第16、17、18題）2 齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）3 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）第四部分 向量組（矩陣、方程組、向量組三者之間可以相互轉(zhuǎn)換）1向量組的線性表示2向量組的線性相關(guān)性3向量組的秩第五部分 方陣的特征值及特征向量1施密特正交化過(guò)程2特征值、特征向量的性質(zhì)及計(jì)算（P.120例8、9、10；P.135第7至13題）3矩陣的相似對(duì)角化，尤其是對(duì)稱陣的相似對(duì)角化（P.135第15、16、19、23題）要注意的知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)1、行列式1. 行列式共有個(gè)元素，展開(kāi)后有項(xiàng)，可分解為行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、和的大小無(wú)關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元

3、素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：4. 行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積；、上、下三角行列式（）：主對(duì)角元素的乘積；、和：副對(duì)角元素的乘積；、拉普拉斯展開(kāi)式：、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值 5. 證明的方法：、；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；、利用秩，證明；、證明0是其特征值；2、矩陣1. 是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價(jià)；可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；的特征值全

4、不為0；是正定矩陣；的行（列）向量組是的一組基；是中某兩組基的過(guò)渡矩陣；2. 對(duì)于階矩陣： 無(wú)條件恒成立；3.4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若，則：、；、；、3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè)矩陣，總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：；等價(jià)類：所有與等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；對(duì)于同型矩陣、，若；2. 行最簡(jiǎn)形矩陣：、只能通過(guò)初等行變換獲得；、每行首個(gè)非0元素必須為1；、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似

5、，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）、 若，則可逆，且；、對(duì)矩陣做初等行變化，當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，就變成，即：；、求解線形方程組：對(duì)于個(gè)未知數(shù)個(gè)方程，如果，則可逆，且；4. 初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)，且，例如：；、倍乘某行或某列，符號(hào)，且，例如：；、倍加某行或某列，符號(hào),且，如：；5. 矩陣秩的基本性質(zhì)：、；、；、若，則；、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、；（）、；（）、；（）、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（）、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的

6、結(jié)論）；、若、均為階方陣，則；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；、型如的矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式、利用特征值和相似對(duì)角化：7. 伴隨矩陣：、伴隨矩陣的秩：；、伴隨矩陣的特征值：；、8. 關(guān)于矩陣秩的描述：、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話）、，中有階子式全部為0；、，中有階子式不為0；9. 線性方程組：，其中為矩陣，則：、與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組有個(gè)方程；、與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組為元方程；10. 線性方程組的求解：、對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自

7、由變量賦初值后求得；11. 由個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線性方程：、；、（向量方程，為矩陣，個(gè)方程，個(gè)未知數(shù)）、（全部按列分塊，其中）；、（線性表出）、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. 個(gè)維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；個(gè)維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2. 、向量組的線性相關(guān)、無(wú)關(guān)有、無(wú)非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示是否有解；（矩陣方程）3. 矩陣與行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)4. ；(例15)5. 維向量線性相關(guān)的幾何意義

8、：、線性相關(guān)；、線性相關(guān)坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、線性相關(guān)共面；6. 線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；若線性無(wú)關(guān)，則必線性無(wú)關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若維向量組的每個(gè)向量上添上個(gè)分量，構(gòu)成維向量組：若線性無(wú)關(guān)，則也線性無(wú)關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定；7. 向量組（個(gè)數(shù)為）能由向量組（個(gè)數(shù)為）線性表示，且線性無(wú)關(guān)，則；向量組能由向量組線性表示，則； 向量組能由向量組線性表示有解；向量組能由向量組等價(jià)8. 方陣可逆存在有限個(gè)初等矩陣，使；、矩陣行等價(jià)：（左乘，可逆）與同解、矩陣列等價(jià)：（右乘，可

9、逆）；、矩陣等價(jià)：（、可逆）；9. 對(duì)于矩陣與：、若與行等價(jià)，則與的行秩相等；、若與行等價(jià)，則與同解，且與的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣的行秩等于列秩；10. 若，則：、的列向量組能由的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；、的行向量組能由的行向量組線性表示，為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）11. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無(wú)需證明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；12. 設(shè)向量組可由向量組線性表示為： （）其中為，且線性無(wú)關(guān)，則組線性無(wú)關(guān)；（與的列向量組具有相同線性相關(guān)性）（必要性：；充分性：反證法）注：當(dāng)時(shí)，為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. 、對(duì)矩陣，存在，、的列向量線性無(wú)關(guān)； 、對(duì)矩陣，存在，、的行向量線性無(wú)關(guān)；14. 線性相關(guān)存在一組不全為0的數(shù)，使得成立；（定義）有非零解，即有非零解；，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15. 設(shè)的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；16. 若為的一個(gè)解，為的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則線性無(wú)關(guān)； 5、相似矩陣1. 正