(完整版)【人教版】八年級下數(shù)學《勾股定理》單元訓練(含答案),推薦文檔

1、勾股定理 專項訓練專訓 1.巧用勾股定理求最短路徑的長名師點金：求最短距離的問題，第一種是通過計算比較解最短問題；第二種是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對稱)進行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)用計算法求平面中最短問題1. 如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人從 a 走到 b，為了避免拐角c 走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了步路(假設(shè) 2 步為 1 m)，卻踩傷了花草(第 1 題)2. 小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計了如下

2、問題：如圖，以往從黃石 a 坐客車到武昌客運站 b，現(xiàn)在可以在黃石 a 坐“武黃城際列車”到武漢青ft站 c，再從青ft站 c 坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站 b.設(shè) ab80 km，bc20 km，abc120.請你幫助小明解決以下問題：(1) 求 a，c 之間的距離(參考數(shù)據(jù) 214.6)(2) 若客車的平均速度是 60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為 40 km/h，“武黃城際列車”的平均速度為 180 km/h，為了在最短時間內(nèi)到達武昌客運站，小明應選擇哪種乘車方案？請說明理由(不計候車時間)(第 2 題)用平移法求平面中最短問題3. 如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別是

3、50cm，30 cm，10 cm，a 和 b 是這個臺階的兩個相對的端點，a 點上有一只壁虎，它想到b 點去吃可口的食物，請你想一想，這只壁虎從 a 點出發(fā)，沿著臺階面爬到 b 點，至少需爬()a13 cm b40 cm c130 cm d169 cm(第 3 題)(第 4 題)4如圖，已知bcde90，且abcd3，bc4，deef2，則 af 的長是用對稱法求平面中最短問題5. 如圖，在正方形 abcd 中，ab 邊上有一點 e，ae3，eb1，在 ac 上有一點 p，使 epbp 最短，求 epbp 的最短長度(第 5 題)6. 高速公路的同一側(cè)有 a、b 兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所

4、在直線 mn 的距離分別為 aa2 km，bb4 km，ab8 km.要在高速公路上a、b之間建一個出口 p，使 a、b 兩城鎮(zhèn)到 p 的距離之和最小求這個最短距離(第 6 題)用展開法求立體圖形中最短問題類型 1圓柱中的最短問題(第 7 題)27. 如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為 2，ab，cd 分別是兩底面的直徑若一只小蟲從 a 點出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到 c 點，則小蟲爬行的最短路線的長度是(結(jié)果保留根號)類型 2圓錐中的最短問題 8已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題： (1)此圖形的名稱為(2) 請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿 as 剪開，鋪在桌面上， 則它的側(cè)面展開圖是

5、一個(3) 如果點 c 是 sa 的中點，在 a 處有一只蝸牛，在 c 處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿 ac 爬到 c 處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4) sa 的長為 10，側(cè)面展開圖的圓心角為 90，請你求出蝸牛爬行的最短路程(第 8 題)類型 3正方體中的最短問題9. 如圖，一個正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角 a 處沿著木柜表面爬到柜角 c1 處(1) 請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；(2) 當正方體木柜的棱長為 4 時，求螞蟻爬過的最短路徑的長(第 9 題)類

6、型 4長方體中的最短問題10. 如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是 12 cm，8 cm，30 cm，在 ab的中點 c 處有一滴蜜糖，一只小蟲從 e 處沿盒子表面爬到 c 處去吃，求小蟲爬行的最短路程(第 10 題)名師點金：專訓 2.巧用勾股定理解折疊問題折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個圖形繞著折線翻折能夠完全重合， 解答折疊問題就是巧用軸對稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：(1)運用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角； (2)在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長為 x，將此直角三角形的三邊長用數(shù)或含有 x 的代數(shù)式表示出來；(3)利用勾

7、股定理列方程求出x；(4)進行相關(guān)計算解決問題巧用全等法求折疊中線段的長1(中考泰安)如圖是一直角三角形紙片，a30，bc4 cm，將其折疊，使點 c 落在斜邊上的點 c處，折痕為 bd，如圖，再將圖沿 de 折疊，使點 a 落在 dc的延長線上的點 a處，如圖，則折痕 de 的長為()38a.3 cmb2cm(第 1 題)c2 2 cmd3 cm巧用對稱法求折疊中圖形的面積2. 如圖所示，將長方形 abcd 沿直線 bd 折疊，使點 c 落在點 c處，bc 交 ad 于e，ad8，ab4，求bed 的面積(第 2 題)巧用方程思想求折疊中線段的長3. 如圖，在邊長為 6 的正方形 abcd

8、中，e 是邊 cd 的中點，將ade 沿 ae對折至afe，延長 ef 交 bc 于點 g，連接 ag. (1)求證：abgafg；(2)求 bg 的長(第 3 題)巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4. 如圖，將長方形 abcd 沿直線 ef 折疊，使點 c 與點 a 重合，折痕交 ad于點 e，交 bc 于點 f，連接 ce. (1)求證：aeafcecf；(2)設(shè) aea，edb，dcc，請寫出一個 a，b，c 三者之間的數(shù)量關(guān)系式(第 4 題)名師點金：專訓 3.利用勾股定理解題的 7 種常見題型勾股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，應用勾股定理可以解與直角三角形有關(guān)的計算問題，證明含

9、有平方關(guān)系的幾何問題，作長為 n(n 為正整數(shù))的線段，解決實際應用問題及專訓一、專訓二中的最短問題、折疊問題等， 在解決過程中往往利用勾股定理列方程(組)，有時需要通過作輔助線來構(gòu)造直角三角形，化斜為直來解決問題利用勾股定理求線段長1. 如圖所示，在等腰直角三角形 abc 中，abc90，點 d 為 ac 邊的中點，過 d 點作 dedf，交 ab 于e，交 bc 于f，若 ae4，fc3，求 ef 的長利用勾股定理作長為 n的線段 (第 1 題)2. 已知線段 a，作長為 13a 的線段時，只要分別以長為和的線段為直角邊作直角三角形，則這個直角三角形的斜邊長就為利用勾股定理證明線段相等13

10、a.3. 如圖，在四邊形 abfc 中，abc90，cdad，ad22ab2cd2.求證：abbc.(第 3 題)利用勾股定理證明線段之間的平方關(guān)系 4如圖，c90，amcm，mpab 于點 p. 求證：bp2bc2ap2.(第 4 題)利用勾股定理解非直角三角形問題5如圖，在abc 中，c60，ab14，ac10.求 bc 的長(第 5 題)利用勾股定理解實際生活中的應用6. 在某段限速公路 bc 上(公路視為直線)，交通管理部門規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過 60 km/h(即 35m0/s)，并在離該公路 100 m 處設(shè)置了一個監(jiān)測點 a.在如圖的平面直角坐標系中，點 a 位于 y 軸

11、上，測速路段 bc 在x 軸上， 點b 在點 a 的北偏西 60方向上，點 c 在點 a 的北偏東 45方向上另外一條公路在 y 軸上，ao 為其中的一段(1) 求點 b 和點 c 的坐標；(2) 一輛汽車從點 b 勻速行駛到點 c 所用的時間是 15s，通過計算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速(參考數(shù)據(jù)： 31.7)(第 6 題)利用勾股定理探究動點問題7. 如圖，在 rtabc 中，acb90，ab5 cm，ac3 cm，動點 p 從點 b 出發(fā)沿射線 bc 以 1 cm/s 的速度移動，設(shè)運動的時間為 t 秒(1) 求 bc 邊的長；(2) 當abp 為直角三角形時，借助圖求 t 的值

12、；(3) 當abp 為等腰三角形時，借助圖求 t 的值(第 7 題)答案專訓 1 14(第 2 題)2解：(1)如圖，過點 c 作 ab 的垂線，交 ab 的延長線于點 e.abc120，bce30. 在 rtcbe 中，bc20 km，be10 km.3由勾股定理可得 ce10km.在 rtace 中，ac2ae2ce2(abbe)2ce28 1003008 400，ac20 21204.692(km)801(2) 選擇乘“武黃城際列車”理由如下：乘客車需時間 t16013(h)，92 201乘“武黃城際列車”需時間 t218040190(h) 1 113190，選擇乘“武黃城際列車”(第

13、3 題)3c 點撥：將臺階面展開，連接 ab，如圖，線段 ab 即為壁虎所爬的最短路線因為 bc303103120(cm)，ac50 cm，在 rtabc 中，根據(jù)勾股定理，得 ab2ac2bc216 900，所以 ab130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.4105. 解：如圖，連接 bd 交 ac 于o，連接 ed 與 ac 交于點 p，連接 bp.(第 5 題)易知 bdac，且 bood，bppd，則 bpeped，此時最短ae3，ad134，由勾股定理得ed2ae2ad232422552，edbpep5.6. 解：如圖，作點 b 關(guān)于 mn 的對稱點 c，連接 ac 交 mn 于

14、點 p，則點 p 即為所建的出口此時 a、b 兩城鎮(zhèn)到出口 p 的距離之和最小，最短距離為 ac 的長作 adbb于點 d，在 rtadc 中，adab8 km，dc6 km.ac ad2dc210 km，這個最短距離為 10 km.72 2(第 6 題)點撥：將圓柱體的側(cè)面沿 ad 剪開并鋪平得長方形 aadd，連接 ac，如圖線段 ac 就是小蟲爬行的最短路線根據(jù)題意得21ab222.在 rtabc 中，由勾股定理，得ac2ab2bc222228，ac8解：(1)圓錐 (2)扇形82 2.(第 7 題)(3) 把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，ac 為蝸牛爬行的最短路線(4)在 rtasc

15、 中，由勾股定理，得 ac210252125，ac 1255 5.故蝸牛爬行的最短路程為 5 5. (第 8 題) (第 9 題)9. 解：(1)螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的 ac1 和 ac1. (2)如圖，ac1 42（44）24 5.ac1 （44）2424 5. 所以螞蟻爬過的最短路徑的長是 4 5.10. 解：分為三種情況：(1) 如圖，連接 ec，1在 rtebc 中，eb12820(cm)，bc23015(cm)673由勾股定理，得 ec (2)如圖，連接 ec.20215225(cm)根據(jù)勾股定理同理可求 cecm25 cm. (3)如圖，連接 ec.根據(jù)勾股定理同

16、理可求 ce 122（30815）2 2 953(cm)25 cm.綜上可知，小蟲爬行的最短路程是 25 cm.(第 10 題)專訓 2 1a2解：由題意易知 adbc，23.bcd 與bcd 關(guān)于直線 bd 對稱，12.13.ebed.設(shè) ebx，則 edx，aeaded8x.在 rtabe 中，ab2ae2be2，42(8x)2x2.x5.11de5.sbed2deab25410.解題策略：解決此題的關(guān)鍵是證得 edeb，然后在 rtabe 中，由be2ab2ae2，利用勾股定理列出方程即可求解3(1)證明：在正方形 abcd 中，adab，db90.將ade 沿 ae 對折至afe，ad

17、af，deef，dafe90.abaf，bafg90.又agag，rtabgrtafg(hl)(2) 解：abgafg，bgfg.設(shè) bgfgx，則 gc6x，e 為 cd 的中點，cedeef3，eg3x.在 rtceg 中，32(6x)2(3x)2，解得 x2.bg2.4(1)證明：由題意知，afcf，aece，afecfe，又四邊形 abcd是長方形，故 adbc，aefcfe.afeaef.aeafeccf.(2)解：由題意知，aeeca，edb，dcc，由d90知， ed2dc2ce2，即 b2c2a2.專訓 31解：如圖，連接 bd.(第 1 題)等腰直角三角形 abc 中，點 d

18、 為 ac 邊的中點，bdac，bd 平分abc(等腰三角形三線合一)，abdcbd45， 又易知c45，abdcbdc.bdcd.dedf，bdac，fdcbdfedbbdf.fdcedb.在edb 與fdc 中，)ebdc，bdcd，edbfdc，edbfdc(asa)，befc3.ab7，則 bc7.bf4.在 rtebf 中，ef2be2bf2324225，ef5.22a；3a3. 證明：cdad，adc90，即adc 是直角三角形 由勾股定理，得 ad2cd2ac2.又ad22ab2cd2，ad2cd22ab2.ac22ab2.abc90，abc 是直角三角形 由勾股定理，得 ab2

19、bc2ac2，ab2bc22ab2，故 bc2ab2，即 abbc.方法總結(jié)：當已知條件中有線段的平方關(guān)系時，應選擇用勾股定理證明， 應用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟：找出圖中證明結(jié)論所要用到的直角三角形；根據(jù)勾股定理寫出三邊長的平方關(guān)系；聯(lián)系已知，等量代換， 求之即可(第 4 題)4. 證明：如圖，連接 bm.pmab，bmp 和amp 均為直角三角形bp2pm2bm2，ap2pm2am2.同理可得 bc2cm2bm2.bp2pm2bc2cm2.又cmam，cm2am2ap2pm2.bp2pm2bc2ap2pm2.bp2bc2ap2.(第 5 題)5. 思路導引：過點 a 作 adbc

20、 于 d，圖中出現(xiàn)兩個直角三角形rt acd 和 rtabd，這兩個直角三角形有一條公共邊 ad，借助這條公共邊可建立起兩個直角三角形之間的聯(lián)系解：如圖，過點 a 作 adbc 于點 d.adc90.又c60，1cad90c30，cd2ac5.在 rtacd 中，ad ac2cd2 102525 3.在 rtabd 中，bd ab2ad211.bcbdcd11516.方法總結(jié)：利用勾股定理求非直角三角形中線段的長的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合條件，采用推理或列方程的方法解決問題6. 思路導引：(1)要求點 b 和點 c 的坐標，只要分別求出 ob

21、和 oc 的長即可(2)由(1)可知 bc 的長度，進而利用速度公式求得汽車在這段限速路上的速50度，并與 3 比較即可解：(1)在 rtaob 中，bao60，1abo30，oa2ab.oa100 m，ab200 m.由勾股定理，得 ob ab2oa2 20021002100 3(m) 在 rtaoc 中，cao45，ocaoac45.ocoa100 mb(100 3，0)，c(100，0)(2)bcboco(100這輛汽車超速了50100 31003100)m，1518 3 ，7解：(1)在 rtabc 中，bc2ab2ac2523216，bc4 cm.(2) 由題意知 bpt cm，如圖

22、，當apb 為直角時，點 p 與點 c 重合，bpbc4cm，即t4；如圖，當bap 為直角時，bpt cm，cp(t4)cm，ac3 cm， 在 rtacp 中，ap232(t4)2，在 rtbap 中 ， ab2ap2bp2， 即5232(t4)2t2，25解得 t 4 .25故當abp 為直角三角形時，t4 或t 4 .(第 7 題(2)(3) 如圖，當 bpab 時，t5；如圖，當 abap 時，bp2bc8 cm，t8；(第 7 題(3)如圖，當 bpap 時，apbpt cm，cp|t4|cm，ac3 cm，25在 rtacp 中，ap2ac2cp2，所以 t232(t4)2，解得 t 8 .25綜上所述