一致收斂性質(zhì).PPT

1、2021/2/11,1,13.2 一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì),一、一致收斂函數(shù)列的性質(zhì),二、一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì),2021/2/11,2,定理13.8,即,證,因?yàn)?一、一致收斂函數(shù)列的性質(zhì),1.極限交換定理,2021/2/11,3,特別,2021/2/11,4,證畢,2021/2/11,5,立變量 x 與 n 的極限可以交換次序,上一致收斂, 且,存在, 則有,2021/2/11,6,特別，如果,即f(x)在x0也連續(xù)。即有,定理13.9 若,2.連續(xù)性,2021/2/11,7,定理13.9的逆否命題,若fn(x)的極限函數(shù)f(x)在I上不連續(xù)，則,如,在x=1不連續(xù),所以,202

2、1/2/11,8,定理13.9 若,推論,2021/2/11,9,定理13.10 若,證,即極限號(hào)與積分號(hào)可交換,由連續(xù)性，f(x)在a,b上也連續(xù),故 fn , f 均可積,由,3.可積性,2021/2/11,10,證畢,注：定理中的連續(xù)條件改為可積，結(jié)論仍然成立,2021/2/11,11,注：定理13.9、13.10的條件只是充分的,即定理13.9、13.10的條件不滿足，但結(jié)論也可能成立,2021/2/11,12,其圖象如圖136所示,連續(xù)函數(shù)列, 且對(duì)任意,例1 設(shè)函數(shù),2021/2/11,13,收斂于 0 的充要條件是,2021/2/11,14,當(dāng)且僅當(dāng),但定理10的結(jié)論成立,不收斂

3、于,定理10的結(jié)論不成立,說(shuō)明定理10的條件是充分但不必要的,當(dāng)且僅當(dāng),2021/2/11,15,定理13.11（可微性,設(shè) fn(x) 為定義在a,b上的函數(shù)列，若,即極限號(hào)與求導(dǎo)符號(hào)可交換,注：在本定理?xiàng)l件下，可推出,4. 可微性,2021/2/11,16,證,A,2021/2/11,17,在本定理?xiàng)l件下，推出,證,2021/2/11,18,由,即,證畢,2021/2/11,19,定理11的條件只是充分的,例2,即定理11的條件不滿足，但結(jié)論也可能成立,2021/2/11,20,定理13. 12 (連續(xù)性,二、一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì),2021/2/11,21,例3,1,證明,2,解,所以

4、,從而,2021/2/11,22,例4.（內(nèi)閉一致收斂,證明,2021/2/11,23,定理13.13 (逐項(xiàng)求積,基本要求,一致收斂+可積,可逐項(xiàng)積分,定理13.13的連續(xù)條件改為可積，結(jié)論仍然成立,注,2021/2/11,24,例5,解,2021/2/11,25,定理13.14 (逐項(xiàng)求導(dǎo),2021/2/11,26,注意:級(jí)數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo),例如，級(jí)數(shù),逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級(jí)數(shù),所以原級(jí)數(shù)不可以逐項(xiàng)求導(dǎo),2021/2/11,27,例6,解,則由M判別法知,2021/2/11,28,例7 設(shè),故有,2021/2/11,29,因此級(jí)數(shù),續(xù)且可積. 又由,2021/2/11,30,2021/2/11,31,例8,證明,所以不能直接用定理13.14,2021/2