(完整版)全等三角形輔助線系列之三--截長補短類輔助線作法大全,推薦文檔

1、全等三角形輔助線系列之三與截長補短有關(guān)的輔助線作法大全一、截長補短法構(gòu)造全等三角形截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補短”，就是將一個已知的較短的線段延長至與另一個已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系有的是采取截長補短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進行求解截長補短法作輔助線，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目典型例題精講【例 1】 如圖，在dabc 中， bac = 6

2、0 ， ad 是bac 的平分線，且 ac = ab + bd ，求abc 的度數(shù)abdc【解析】法一：如圖所示，延長 ab 至 e 使 be = bd ，連接 ed 、 ec 由 ac = ab + bd 知 ae = ac ，而bac = 60 ，則daec 為等邊三角形注意到ead = cad ， ad = ad ， ae = ac ， daed dacd .從而有 de = dc ， dec = dce ，bed = bde = dce + dec = 2dec .所以dec = dce = 20 ， abc = bec + bce = 60 + 20 = 80 .法二：在 ac 上取

3、點 e ，使得 ae = ab ，則由題意可知ce = bd . 在dabd 和daed 中， ab = ae ， bad = ead ， ad = ad ， 則dabd daed ，從而 bd = de ，進而有 de = ce ， ecd = edc ，aed = ecd + edc = 2ecd .注意到abd = aed ，則：abc + acb = abc + 1 abc = 3 abc = 180 - bac = 120 ，22abc = 80 .【答案】見解析11 / 11abdaecebdc【例 2】 已知dabc 中， a = 60 ， bd 、ce 分別平分abc 和.ac

4、b ， bd 、ce 交于點o ，試判斷 be 、cd 、 bc 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明eodabc【解析】 be + cd = bc ，理由是：在 bc 上截取 bf = be ，連結(jié)of ， 利用 sas 證得dbeo dbfo ， 1 = 2 ， a = 60 ， boc = 90 + 1 a = 120 ， doe = 120 ，2 a + doe = 180 ， aeo + ado = 180 ， 1 + 3 = 180 ， 2 + 4 = 180 ， 1 = 2 ， 3 = 4 ， 利用 aas 證得dcdo dcfo ， cd = cf ， bc = bf + cf = be +

5、 cd 【答案】見解析e1od42 3abfc【例 3】 如圖，已知在abc 內(nèi)， bac = 60 ， c = 40 ，p、q 分別在 bc、ca 上，并且 ap、bq分別是bac、abc 的角平分線，求證： bq + aq = ab + bp apbqc【解析】延長 ab 至 d，使 bd = bp ，連 dp 在等腰bpd 中，可得bdp = 40 ， 從而bdp = 40 = acp ，adpacp（asa， ad = ac又qbc = 40 = qcb ，故 bq = qc ， bd = bp 從而 bq + aq = ab + bp 【答案】見解析【例 4】 如圖，在四邊形 abc

6、d 中， bc ba ， ad = cd ，bd 平分abc，求證：ada + c = 180 bc【解析】延長 ba 至 f，使 bf = bc ，連 fdbdfbdc（sas），dfb = dcb ， fd = dc又 ad = cd ，在等腰bfd 中， dfb = daf有bad + bcd = 180【答案】見解析【例 5】 點 m ， n 在等邊三角形 abc 的 ab 邊上運動， bd = dc ， bdc = 120 ， mdn = 60 ， 求證： mn = mb + nc nmabcd【解析】延長 nc 至 e ，使得ce = mb dbdc 是等腰三角形，且bdc = 1

7、20 ， dbc = dcb = 30 dabc 是等邊三角形 abc = acb = bac = 60 mbd = abc + dbc = acb + dcb = dcn = dce = 90在ddbm 和ddce 中， bd = dc ， mb = ce ， ddbm ddce . de = dm , 1 = 2 .又 1 + ndc = 60 ， 2+ndc = end = 60 .在dmdn 與dedn 中，nd = nd ， mdn = edn = 60 ，de = dm dmnddend mn = en = nc + mb【答案】見解析nmc12abde【例 6】 如圖在abc 中

8、， ab ac ， 1 = 2 ，p 為 ad 上任意一點，求證： ab - ac pb - pc 1 2pabdc【解析】延長 ac 至 f，使 af = ab ，連 pdabpafp（sas） bp = pf由三角形性質(zhì)知pb - pc = pf - pc cf = af - ac = ab - ac【答案】見解析【例 7】 如圖，四邊形 abcd 中，abdc，be、ce 分別平分abc、bcd，且點 e 在 ad 上求證： bc = ab + dc aebcd【解析】在 bc 上截取 bf = ab ，連接 efbe 平分abc， abe = fbe又 be = be ，abefbe（

9、sas）， a = bfe ab/cd， a + d = 180 bfe + cfe = 180 ， d = cfe又 dce = fce ，ce 平分bcd， ce = cedcefce（aas）， cd = cf bc = bf + cf = ab + cd【答案】見解析【例 8】 如圖，點 m 為正方形 abcd 的邊 ab 上任意一點， mn dm 且與abc 外角的平分線交于點 n ， md 與 mn 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？nndcdcambeambe【解析】猜測 dm = mn .在 ad 上截取 ag = am ， dg = mb ，agm = 45gm =mbn = 135 ，dm

10、 =nmb ， ddgm dmbn ， dm = mn 【答案】見解析【例 9】 已知：如圖， abcd 是正方形， fad = fae ，求證： be + df = ae a dadffb ecm【解析】延長cb 至 m ，使得 bm = df ，連接 am . ab = ad ， adcd ， abbm ， bm = df dabm dadf afd = amb ， daf = bam abcd afd = baf = eaf + bae = bae + bam = eam amb = eam ， ae = em = be + bm = be + df【答案】見解析bec【例 10】如圖所

11、示，已知正方形 abcd 中，m 為 cd 的中點，e 為 mc 上一點，且bae = 2dam 求證： ae = bc + ce a dmeb c【解析】分析證明一條線段等于兩條線段和的基本方法有兩種：(1) 通過添輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，再證所構(gòu)造的線段與求證中那一條線段相等(2) 通過添輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，再證明截剩的部分與線段中的另一段相等我們用(1)法來證明【答案】延長 ab 到 f ，使 bf = ce ，則由正方形性質(zhì)知 af = ab + bf = bc + ce下面我們利用全等三角形來證明 ae = af 為此，連

12、接 ef 交邊 bc 于g 由于對頂角bgf = cge ，所以rtbgf dcge (aas )，從而 bg = gc = 1 bc ，fg = eg ， bg = dm2于是rtabg rtadm (sas )，所以bag = dam = 1 bae = eag ， ag 是eaf 的平分線2gha dm eb cf【例 11】五邊形 abcde 中， ab = ae ， bc + de = cd ， abc + aed = 180 ，求證：ad 平分cdeabecd【解析】延長 de 至 f，使得 ef = bc ，連接 ac. abc + aed = 180 ， aef + aed =

13、 180 ， abc = aef ab = ae ， bc = ef ，abcaef ef = bc ， ac = af bc + de = cd ， cd = de + ef = dfadcadf， adc = adf即 ad 平分cde.【答案】見解析eafbcd【例 12】若 p 為dabc 所在平面上一點，且apb = bpc = cpa = 120 ，則點 p 叫做dabc 的費馬點（1） 若點 p 為銳角dabc 的費馬點，且abc = 60 ， pa = 3，pc = 4 ，則 pb 的值為 ；（2） 如圖，在銳角dabc 外側(cè)作等邊dacb ，連結(jié) bb 求證： bb 過dab

14、c 的費馬點 p ，且 bb = pa + pb + pc cabb23【解析】（1）（2）證明：在 bb 上取點 p ，使bpc = 120 ，連結(jié) ap ，再在 pb 上截取 pe = pc ，連結(jié)ce bpc = 120 ， epc = 60 ， dpce 為正三角形， pc = ce ， pce = 60 ， ceb = 120 ， dacb 為正三角形， ac = bc ， acb = 60 ， pca + ace = ace + ecb = 60 ， pca = ecb ， dacp dbce ， apc = bce = 120 ， pa = eb ， apb = apc = bp

15、c = 120 ， p 為dabc 的費馬點， bb 過dabc 的費馬點 p ，且 bb= eb + pb + pe = pa + pb + pc 【答案】見解析epcabb課后復(fù)習(xí)【作業(yè) 1】已知，ad 平分bac， ac = ab + bd ，求證： b = 2c abdc【解析】延長 ab 至點 e，使 ae = ac ，連接 dead 平分bac， ead = cad ae = ac ， ad = ad ，aedacd（sas， e = c ac = ab + bd ， ae = ab + bd ae = ab + be ， bd = be ， bde = e abc = e + b

16、de ， abc = 2e ， abc = 2c 【答案】見解析bdace【作業(yè) 2】如圖，abc 中， ab = 2 ac ，ad 平分bac，且 ad = bd ，求證：cdacacbd【解析】在 ab 上取中點 f，連接 fd則adb 是等腰三角形，f 是底 ab 的中點，由三線合一知dfab，afd = 90adfadc（sas）acd = afd = 90 ，即：cdac【答案】見解析【作業(yè) 3】如圖所示， dabc 是邊長為1 的正三角形， dbdc 是頂角為120 的等腰三角形，以 d 為頂點作一個60 的mdn ，點 m 、 n 分別在 ab 、 ac 上，求damn 的周長n

17、mabcd【解析】如圖所示，延長 ac 到 e 使ce = bm .在dbdm 與dcde 中，因為 bd = cd ， mbd = ecd = 90 ， bm = ce ， 所以dbdm dcde ， md = ed .因為bdc = 120 ， mdn = 60o ，所以bdm + ndc = 60 .又因為bdm = cde ，所以mdn = edn = 60 .在dmnd 與dend 中， dn = dn ， mdn = edn = 60 ， dm = de ， 所以dmnd dend ，則 ne = mn ，所以damn 的周長為2 .【答案】見解析anmcbed【作業(yè) 4】已知：a

18、c 平分bad，ceab， b + d = 180 ，求證： ae = ad + be cdaeb【解析】在 ae 上取 f，使 ef = eb ，連接 cfceab ceb = cef = 90 eb = ef ， ce = ce ，cebcef b = cfe bd = 180 ， cfe + cfa = 180 d = cfaac 平分bad dac = fac ac = acadcafc（sas） ad = af ae = af + fe = ad + be【答案】見解析“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very hap