(完整版)三角函數(shù)分類匯編.,推薦文檔

1、一 選擇題：三角函數(shù)分類匯編131. 為得到函數(shù) y = cos 2x + 的圖像，只需將函數(shù) y = sin 2x 的圖像（ a）3a. 向左平移 5 個長度單位b向右平移 5 個長度單位1212c向左平移 5 個長度單位d向右平移 5 個長度單位662. 若動直線 x = a 與函數(shù) f (x) = sin x 和 g(x) = cos x 的圖像分別交于m，n 兩點，則mn 的最大值為（ b）23a.1 bcd23. (tan x + cot x)cos2 x = ( d )（） tan xcot x（） sin x（）cos x（）4.若0 a 2a,sina3 cosa，則a的取值范

2、圍是：( c )a a（）a aa 4a（）（） , ,（） ,a 3a , 32 3 2 3 33 a5. 把函數(shù) y = sin x （ x r ）的圖象上所有點向左平行移動 個單位長度，再把所得31圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)2是 c（a） y = sin(2x - a ， x r（b） y = sin( x + a ， x r)326（c） y = sin(2x + a )， x r3（d） y = sin(2x + 2a ) ， x r35a2a2a6. 設(shè)a = sin， b = cos， c = tan，則 d777a（a） a b

3、c（b） a c b（c） b c a（d） b a 0)在區(qū)間0， 2的圖像如下：那么 =（b ）a. 1b. 2c. 1/2d. 1/33 - sin 70016.=（c ）2 - cos2 100c. 2a. 12d.3 2b. 2二 填空題：1. 函數(shù) f(x)p3sin x +sin(2+x)的最大值是22. 已知 a，b，c 為abc 的三個內(nèi)角 a，b，c 的對邊，向量 m（n（cosa,sina）.若 mn，且 acosb+bcosa=csinc，則角 b3,-1 ）， .63. f (x)= cosax-a的最小正周期為a，其中a0 ，則a=106 54.已知函數(shù) f (x)

4、 = (sin x - cos x) sin x ， x r ，則 f (x) 的最小正周期是a5.已知 f (x) = sin ax + p (a 0)，f p = f p ，且 f (x) 在區(qū)間 p p 3 6 3 ， 有最小值， 6 3 14無最大值，則a3三 解答題：1.（本小題滿分 10 分）設(shè)abc 的內(nèi)角 a，bc 所對的邊長分別為 a， c ，且 a cos b - b cos a =（）求tan a cot b 的值；（）求tan( a - b) 的最大值3 c 5解析：（）在abc 中，由正弦定理及 a cos b - b cos a = 3 c53333可得sin a

5、cos b - sin b cos a =sin c =sin( a + b) =sin a cos b +cos asin b5555即sin a cos b = 4 cos asin b ，則tan a cot b = 4 ；（）由 tan a cot b = 4 得 tan a = 4 tan b 0tan( a - b) = tan a - tan b1+ tan a tan b=3tan b1+ 4 tan2 b1=3 3cot b + 4 tan b4當(dāng)且僅當(dāng)4 tan b = cot b, tan b =1, tan a = 2 時，等號成立，23故當(dāng)tan a = 2, tan

6、 b =時， tan( a - b) 的最大值為 .242（本小題滿分 10 分） 在abc 中， cos b = - 5 ， cos c = 4 135（）求sin a 的值；（）設(shè)abc 的面積 sabc =解：33，求 bc 的長2512（）由cos b = -，得sin b =，131343由cos c =，得sin c =5533所以sin a = sin(b + c) = sin b cos c + cos b sin c = 5 分6533133（）由 s abc =得 ab ac sin a =，222=33由（）知sin a，65故 ab ac = 65 ，8 分ab sin

7、 b20又 ac =sin c13ab ，故 20 ab2 = 65 ， ab = 13 132ab sin a11所以 bc =10 分sin c23（本小題共 13 分）已知函數(shù) f (x) = sin2 ax+3 sinax sin ax + （a 0 ）的最小正周期為 2（）求a的值； ， （）求函數(shù) f (x) 在區(qū)間0 2 上的取值范圍3 + 解：（） f (x) =1- cos 2ax3 sin 2ax=3 sin 2ax - 1 cos 2ax + 122= sin 2ax - + 1 62222因為函數(shù) f (x) 的最小正周期為 ，且a 0 ，2所以= ，解得a= 1 2a

8、（）由（）得 f (x) = sin 2x - + 1 622因為0 x ，3所以- 2x - 7 ，666所以- 1 sin 2x - 1， 26因此0 sin 2x - + 13 ，即 f (x) 的取值范圍為0 3 6 22， 4（本小題滿分 12 分）2求函數(shù) y = 7 - 4 sin x cos x + 4 cos2 x - 4 cos4 x 的最大值與最小值?！窘狻浚?y = 7 - 4 sin x cos x + 4 cos2 x - 4 cos4 x= 7 - 2 sin 2x + 4 cos2 x (1- cos2 x)= 7 - 2 sin 2x + 4 cos2 x s

9、in2 x= 7 - 2 sin 2x + sin2 2x= (1- sin 2x)2 + 6由于函數(shù) z = (u -1)2 + 6 在-1，1中的最大值為maxz= (-1-1)2 + 6 = 10最小值為minz= (1-1)2 + 6 = 6故當(dāng)sin 2x = -1時 y 取得最大值10 ，當(dāng)sin 2x = 1 時 y 取得最小值65.（本小題滿分 12 分）2a已知函數(shù) f (x) = 2 cos（）求a的值；ax+ 2 sinax cosax +1 （ x r,a 0 ）的最小值正周期是 2（）求函數(shù) f (x) 的最大值，并且求使 f (x) 取得最大值的 x 的集合（17）

10、本小題主要考查特殊角三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦、函數(shù)y = asin(ax +a) 的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力滿分 12 分（）解：f (x)= 2 1 + cos 2ax + sin 2ax + 12= sin 2ax + cos 2ax + 2= in 2axcos+ cos2axsin a2s44 + 22 sin 2ax+ a + 2=4 a2aa由題設(shè)，函數(shù) f (x)的最小正周期是 ，可得= ，所以a= 2 22a2（）由（）知， f (x)=+ a + 2 2 sin 4x4 a aa kaa當(dāng)4x +=+ 2ka，即x =+(k z)時，sin 4x

11、+取得最大值 1，所以函數(shù)4 42162f (x)的最大值是2 +2 ，此時 x 的集合為x | x = a + ka162, k z 6（本小題滿分 12 分）已知函數(shù) f (x) = cos(2x -a) + 2 sin(x - a) sin(x +a ) 344（）求函數(shù) f (x) 的最小正周期和圖象的對稱軸方程a a（）求函數(shù) f (x) 在區(qū)間-, 上的值域12 2aaa解：（1）q f (x) = cos(2x -) + 2 sin(x -3) sin(x +) 44= 1 cos 2x +3 sin 2x + (sin x - cos x)(sin x + cos x) 22=

12、 1 cos 2x +3 sin 2x + sin2 x - cos2 x22= 1 cos 2x +3 sin 2x - cos 2x 22)= sin(2x - a6周周t = 2a=aa2aka a由 2x - = ka+ (k z ), 周 x = + (k z ) 6223函數(shù)圖象的對稱軸方程為 x = ka+a (k z )3（2）q x -a,a , 2x- 12 2-6a ,5a 36a ) 在區(qū)間- a,a 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 a,a 上單調(diào)遞減，因為 f (x) = sin(2x - 612 33 2所以當(dāng) x = a 時， f (x) 取最大值 13又 q f (-a3

13、) = -122a1a3 f ( ) =，當(dāng) x = -時， f (x) 取最小值- 221223 ,1a a所以 函數(shù)7.（本小題滿分 12 分）f (x) 在區(qū)間-, 上的值域為- 12 22已知函數(shù) f(x) 3 sin(ax +a)- cos(ax +a)(0 a 0) 為偶函數(shù)，且函數(shù) yf(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為 .2（）美洲 f（ ）的值；8（）將函數(shù) yf(x)的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)舒暢長到原6來的 4 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) yg(x)的圖象，求 g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.3解：（）f(x)sin(ax +a) - cos(ax +a

14、)31 2sin(ax+a)- 22sin(ax+a- )6cos(ax +a)2因為 f(x)為偶函數(shù)，所以 對 xr,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-ax+a-）sin(ax+a-).66即 -sinaxcos(a- )+cosaxsin(a- )=sinaxcos(a- )+cosaxsin(a- ),6666整理得 sinaxcos(a- )=0.因為6a0，且 xr,所以 cos（a- ）0.6又 因 為 0a， 故 a- . 所以f(x)2sin(ax + )=2cosax .2a= 2 a ,由題意得a262所以a22.故f(x)=2cos2x.aa因為f ( ) =

15、2 cos =2.84aa（）將 f(x)的圖象向右平移個 個單位后，得到 f (x -) 的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長66aa到原來的 4 倍，縱坐標(biāo)不變，得到 f (-) 的圖象.所以g(x) =a a46 a a a af (-) = 2 cos 2(-) = 2 cos f (-). 4646 23aa當(dāng)2k2 - 3 2 k+ (kz),2a8a即4kx4k+(kz)時，g(x)單調(diào)遞減.332a8a因此 g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為4ka+,4ka+33 (kz)8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，以ox 軸為始邊做兩個銳角a, a，它們的終邊分別與單位圓相交于 a,b 兩點，已

16、知 a,b 的橫坐標(biāo)分別為（）求 tan(a+ a)的值；（）求a+ 2a的值2 , 2 5 105【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式由條件的cosa=2 , cosa= 2 5，因為a, a為銳角，所以sina=7 2 , sin a= 51051105因此tana= 7, tan a=2a atana+ tana（）tan(+)=1- tanatan a= -3()2 tan a4tana+ tan 2a（） tan 2a= 1- tan2=，所以tan a+ 2a = -1a 31- tanatan 2a3a3aa,a為銳角， 0 a+ 2a 0 ，a 0

17、，a0, 2a)）的形式；（）求函數(shù) g(x) 的值域.本小題主要考查函數(shù)的定義域、值域和三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查三角恒等變換、代數(shù)式的化簡變形和運算能力.（滿分 12 分）解：（） g(x) = cos xa(1-sin x)2cos2 x= cos xa+ sin xa1- sin x1+ sin x(1- cos x)2sin2 x+ sin xa1- cos x1+ cosx= cos x 1- sin x + sin x 1- cos x .a cos xa sin xq x p, 17p , cos x = -cos x, sin x = -sin x, g(x) = cos

18、 x 1- sin x + sin x 1- cos x12 a-cos xa -sin x= sin x + cos x - 2p 4 2 sin x + - 2.17p5pp5p（）由p周周 x 得周 x + .12443qsin t 在5p , 3p上為減函數(shù)，在 3p, 5p上為增函數(shù)， 42 2 3 5p5p3pp5p17p 2 又sin 周周 4 ,sin 2 sin(x + 4 )sin 4 （當(dāng) x p, ），3 ns2即-1 sin(x + p)周周周2周-2 sin(x +-p2 ) - 2- 34242故 g(x)的值域為 - 2,-3).11（本小題滿分 12 分）3已

19、知函數(shù) f (x) = 2 sin x cos x - 2 3 sin2 x +444（）求函數(shù) f (x) 的最小正周期及最值；（）令 g(x) =f x + ，判斷函數(shù) g(x) 的奇偶性，并說明理由3解：（）q f (x) = sin x + 3(1- 2 sin2 x ) = sin x + 3 cos x = 2 sin x + 2422 23 f (x) 的最小正周期t = 2 = 4 12當(dāng)sin x + = -1時， f (x) 取得最小值-2 ；當(dāng)sin x + = 1時， f (x) 取得最大值 22323（）由（）知 f (x) = 2 sin x + 又 g(x) =f

20、 x + 23 3 g(x) = 2 sin 1 x + + = 2sin x + = 2 cos x 233222 q g(-x) = 2 cos - x = 2 cos x = g(x) 2 2函數(shù) g(x) 是偶函數(shù)12.（本小題滿分 13 分，（）小問 6 分，（）小問 7 分）設(shè)dabc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a,b,c，且 a= 60o ，c=3b.求：a（） 的值；c（）cotb +cot c 的值. 解：（）由余弦定理得a2 = b2 + c2 - 2b cos a12 +c2 - 21 caca1 = 7 c2 ,( c)a3329a故=7 .c3（）解法一： c

21、ot b + cot ccos b sin c + cos c sin bsin b sin c=sin(b + c)sin a,sin b sin csin b sin c由正弦定理和（）的結(jié)論得143 32327 c2sin a=1 a = 9= 14 3 .sin b sin csin a bc1 cc93故cot b + cot c = 14 3 .99( 3c)2a 7 cac 解法二：由余弦定理及（）的7結(jié)論有1cos b =222a + c - b=2acc2 + c2 -235 . 2 71- cos2 b1- 252832 7故sin b =.同理可得2227 c2 +1 c

22、 2 -c212 73cos c = a + b - c= 99= -,2ab2a 71sin c =c a c31- cos2 c1- 128= 3 3 .2 7cos bcos c51從而cot b + cot c =+=3 -3 = 14 3 .13.（本小題滿分 12 分）sin bsin c399已知向量 m=(sina,cosa),n= ( 3, -1) ，mn1，且 a 為銳角.（）求角 a 的大小；（）求函數(shù) f (x) = cos 2x + 4 cos asin x(x r) 的值域.3本小題主要考查平面向量的數(shù)量積計算、三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、一元二次函數(shù)的最值等

23、基本知識，考查運算能力.滿分 12 分.解：（）由題意得 mansin a - cos a = 1,2 sin( a - p) = 1, sin( a - p) = 1 .p6pp 62由 a 為銳角得 a -=, a =.6631（）由（）知cos a =, 2所 以 f (x) = cos 2x + 2 sin x = 1- 2 sin2 x + 2 sin s = -2(sin x - 1 )2 + 3 .2213因為 xr，所以sin x -1,1，因此，當(dāng)sin x =時，f(x)有最大值 .22當(dāng) sinx=-1 時，f(x)有最小值-3，所以所求函數(shù) f(x)的值域是-3, 3

24、.2 14（本小題滿分 13 分）已知函數(shù) f (x) = asin(x +a)( a 0，0 a ) ， x r 的最大值是 1，其圖像經(jīng)過點m 1 ， 3 3 2 （1）求 f (x) 的解析式；（2）已知a， 0 ，2且 f (a) =，5f (a) = 12 ，13求f (a- a)的值a 1a1【解析】（1）依題意有 a = 1 ，則 f (x) = sin(x +a)，將點 m ( , ) 代入得sin( +a)=，而0 aa， a5，a=a，故 f (x) = sin(x +a3 232+a=a) = cos x ；3622（2）依題意有cosa=3,cosa= 125131- (12)2131- ( )3254，而