圓的切線證明

1、一、考點(diǎn)分析：1.圓中的重要定理:(1)圓的定義:主要是用來證明四點(diǎn)共圓.(2)垂徑定理:主要是用來證明弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系定理: 主要是用來證明弧相等、線段相等、圓心角相等. (4)圓周角性質(zhì)定理及其推輪: 主要是用來證明直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理:主要是用來證明垂直關(guān)系. (6)切線的判定定理: 主要是用來證明直線是圓的切線. (7)切線長定理: 線段相等、垂直關(guān)系、角相等.2.圓中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計(jì)算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn),第 1 問

2、主要是判定切線；第 2 問主要是與圓有關(guān)的計(jì)算： 求線段長（或面積）；求線段比；求角度的三角函數(shù)值（實(shí)質(zhì)還是求線段比）。三、解題方法1、判定切線的方法：（1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點(diǎn)）；直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線2、與圓有關(guān)的計(jì)算：

3、計(jì)算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結(jié)合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：（1）構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；構(gòu)造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型；構(gòu)造三角函數(shù).（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問

4、題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。（1）如圖，AB 是O 的直徑，BCAB，ADOC 交O 于 D 點(diǎn)，求證：CD 為O 的切線；（2）如圖，以 RtABC 的直角邊 AB 為直徑作O，交斜邊 AC 于 D，點(diǎn) E 為 BC 的中點(diǎn)，連結(jié) DE，求證：DE 是O 的切線.（3）如圖，以等腰ABC 的一腰為直徑作O，交底邊 BC 于 D，交另一腰于 F，若DEAC 于 E（或 E 為 CF 中點(diǎn)），求證：DE 是O 的切線.（4）如圖，AB 是O 的直徑，A

5、E 平分BAF，交O 于點(diǎn) E，過點(diǎn) E 作直線EDAF，交 AF 的延長線于點(diǎn) D，交 AB 的延長線于點(diǎn) C，求證：CD 是O 的切線.CCAEOFABABEBDCCED（5）在(1)中的條件、中任選兩個(gè)條件，當(dāng) BGCDD于 E 時(shí)（如圖 5），則：DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；ADBG= 1 DG 2 =DC2G4A圖 5圖形 2：如圖：RtABC 中，ACB=90。點(diǎn) O 是 AC 上一點(diǎn)，以 OC 為半徑作O 交AC 于點(diǎn) E，基本結(jié)論有：BBBCACA（1）在“BO 平分CBA”;“BODE”;“AB 是O 的切線”;“BD=BC”。四個(gè)論斷中，知一推三。（2）G 是

6、BCD 的內(nèi)心；CG=GD；BCOCDE BODE=COCE= 1 CE2；2（3）在圖（1）中的線段 BC、CE、AE、AD 中，知二求四。AE1（4）如圖（3），若BC=CE，則：=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5AD2；（在、中知一推二）設(shè) BE、CD 交于點(diǎn) H，,則 BH=2EH圖形 3：如圖：RtABC 中，ABC=90,以 AB 為直徑作O 交 AC 于 D，基本結(jié)論有：C如右圖：（1）DE 切O E 是 BC 的中點(diǎn)；E（2）若 DE 切O，則：DE=BE=CE；ABD、O、B、E 四點(diǎn)共圓 CED=2ACDCA=4BE2,DE = CD = BCRBDBA圖形特殊化

7、：在（1）的條件下如圖 1：DEAB ABC、CDE 是等腰直角三角形；如圖 2：若 DE 的延長線交 AB 的延長線于點(diǎn) F，若 AB=BF，則： DE = 1EF3; BE = 1RCAF圖 1圖 2圖形 4：如圖，ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑作O，交 BC 于點(diǎn) D，交 AC 于點(diǎn)F，基本結(jié)論有：AB（1）DEAC DE 切O；（2）在 DEAC 或 DE 切O 下，有：DFC 是等腰三角形；EF=EC；D 是 BF的中點(diǎn)。與基本圖形 1 的結(jié)論重合。連 AD，產(chǎn)生母子三角形。圖形 5：以直角梯形 ABCD 的直腰為直徑的圓切斜腰于， 基本結(jié)論有：ADADADBCBCBC圖

8、1圖 2圖 3（1）如圖 1：AD+BCCD；COD=AEB=90； OD 平分ADC（或 OC平分BCD）；（注：在、及“CD 是O 的切線”四個(gè)論斷中，知一推三）ADBC 1 AB 2=R2；4（2）如圖 2，連 AE、CO，則有：COAE，COAE=2R2(與基本圖形 2 重合)（3）如圖 3，若 EFAB 于 F，交 AC 于 G，則：EG=FG.圖形 6：如圖：直線 PRO 的半徑 OB 于 E，PQ 切O 于 Q，BQ 交直線 PQ 于 R?；窘Y(jié)論有：BBBQQEA PR OEPR（1）PQ=PR(PQR 是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ 切O”、“PQ=PR”中，知

9、二推一（3）2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2圖形 7：如圖，ABC 內(nèi)接于O，I 為ABC 的內(nèi)心。基本結(jié)論有：（1）如圖 1，BD=CD=ID；DI2DEDA；AIB=90+ 1 ACB;2D圖 1圖 2（2）如圖 2，若BAC=60，則：BD+CE=BC.圖形 8：已知，AB 是O 的直徑，C 是 BG 中點(diǎn)，CDAB 于 D。BG 交 CD、AC于 E、F?；窘Y(jié)論有：1（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE21AB(反之，由 CD= 2 BG 或 BE=EF 可得：C 是 BG 中點(diǎn))1（2）OE=AF，OEAC；ODEAGF2（3）BEBG=BDBA（4）若 D 是

10、OB 的中點(diǎn)，則：CEF 是等邊三角形；BC=CG=AG10（門 1）已知 RtABC 中，ABC=90，以 AB 為直徑作O 交 AC 于點(diǎn) D，連結(jié) BD（1）如圖 1，若 BDCD34，AD3，求O 的直徑 AB 的長；（2）如圖 2，若 E 是 BC 的中點(diǎn)，連結(jié) ED ，請你判斷直線 ED 與O 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論AA來源:學(xué)+科+網(wǎng)BCBEC圖1圖28.（海 1） 如圖，AB 為O 的直徑，AB=4，點(diǎn) C 在O 上， CFOC，且 CF=BF.M（1）證明 BF 是O 的切線;（2）設(shè) AC 與 BF 的延長線交于點(diǎn) M，若 MC=6，求MCF 的大小.BA6（房 1）（

11、本小題滿分 5 分）已知：如圖，在ABC 中，AB=AC，以 AB 為直徑的O分別交 BC、AC 于點(diǎn) D、E，聯(lián)結(jié) EB 交 OD 于點(diǎn) F（1）求證：ODBE；（2）若 DE=，AB=5，求 AE 的長4（大 1）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，矩形 ABCO 的面積為 15，邊 OA 比 OC 大 2，E 為 BC 的中點(diǎn)，以 OE 為直徑的O交 x軸于 D 點(diǎn)，過點(diǎn) D 作 DFAE 于 F.（1） 求OA，OC的長；（2） 求證：DF 為O的切線；（3）由已知可得，AOE 是等腰三角形.那么在直線 BC 上是否存在除點(diǎn) E 以外的點(diǎn) P，使AOP 也是等腰三角形？如果存在，請你證明點(diǎn) P 與O的位置關(guān)系，如果不存在，請說明理由.1(西 1)如圖，D 是O 的直徑 CA 延長線上一點(diǎn)，點(diǎn) B 在O 上， 且 ABADAO（1）求證：BD 是O 的切線；（2）若 E 是劣弧 BC 上一點(diǎn)，AE 與 BC 相交于點(diǎn) F，2BEF 的面積為 8，且 cosBFA，3求ACF 的面積9、（2010 江蘇省泰州市）在平面直角坐標(biāo)系中，直線 ykxb（k 為常數(shù)且 k0）分別交 x 軸