《植樹問題》專題研究(最新整理)

1、植樹問題專題研究在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，有這么一類問題：以植樹為內(nèi)容，研究植樹的棵樹， 棵與棵之間的距離，和需要植樹的總長度等數(shù)量間關(guān)系的問題，稱為植樹問題。它也屬于典型應(yīng)用題之一，有它獨(dú)特的解答方法。為使其更直觀，我們用圖示法來說明。樹用點(diǎn)來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點(diǎn)數(shù)”與相鄰兩點(diǎn)間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問題。與此同類的問題還有鋸木頭、爬樓梯、敲鐘等。同樣可以用植樹問題的解法來解。一、線狀路徑的植樹問題：在線狀路徑上等距離植樹，是把總距離按株距的長短平均分，有這樣的多少段（叫做段數(shù)），就可以確定值多少棵樹。一般來說，涉及總距離，株距，段數(shù)和植樹的

2、棵樹等量。在線狀路徑上等距離植樹可以分為一下幾種情況：在直線或兩端不封閉的的曲線上植樹，兩端都植樹。數(shù)量關(guān)系式是： 棵樹=總長棵距+1；即：棵數(shù)=段數(shù)+1.例1：在一條長80米的小路旁種松樹，每隔16米種一棵，兩端都種，共可以 種樹多少棵？分析：這是在一段不封閉的直線上種樹，首先應(yīng)當(dāng)先求出80米中包含了多少個(gè)16米，再根據(jù)“兩端都種”，（即首尾都種）求出“共可以種樹多少棵？”解：80米中包含了多少段？8016=5（段）共可以種樹多少棵？5+1=6（棵） 答：共可以種樹6棵.例 2： 公路的一旁每隔 40 米有木電桿一根(兩端都有).共 121 根.現(xiàn)改為水泥電桿 51 根(包括兩端),求兩根相

3、鄰水泥電桿之間的距離.分析: 這是在一段不封閉的直線上電桿間隔問題，如同植樹問題。首先應(yīng)先求出公路全長為 40(121-1)，再根據(jù)其數(shù)量關(guān)系：根數(shù)=總長根距+1，變換為： 根距=全長（根數(shù)-1），然后就可以求出兩根相鄰水泥桿之間的距離。解 公路的全長為多少米？40（121-1）=4800兩根相鄰水泥桿之間的距離是多少米？4800（51-1）=96答:兩根相鄰水泥桿之間的距離是 96 米。練習(xí)：1、從公園通往湖心的小島有一條長 900 米的小路，在小路的兩側(cè)，從頭到尾每隔 15 米栽 1 棵樹，需要多少棵數(shù)？2、甲村到乙村,原計(jì)劃栽樹 175 棵,相鄰兩棵樹距離 8 米,后決定改為栽樹 117

4、 棵,問相鄰兩樹應(yīng)相距多少米?在直線或兩端不封閉的的曲線上植樹，兩端都不植樹。數(shù)量關(guān)系式是：棵樹=總長棵距1；即：段數(shù)-1例3：在相隔50米的兩座樓房之間種桃樹，每隔5米種一棵，共可以種樹多少 棵？分析：這是在一段不封閉的直線上種樹，兩端因?yàn)橛袠?，所以都不種。這樣， 共種樹的棵樹，應(yīng)當(dāng)比段數(shù)少1。即在直線或兩端不封閉的的曲線上植樹，兩端都不植樹。解：50米中包含了多少段？505=10（段）共可以種樹多少棵？10-1=9（棵） 答：共可以種樹9棵.例 4：下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形。它的長度是多少？十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長？分析：如上圖所示。此題類似于兩端都不植樹的問題，關(guān)鍵是求

5、出重疊的“環(huán)扣”數(shù)(每個(gè)長 6 毫米)。根據(jù)其數(shù)量關(guān)系知，五個(gè)連在一起的“環(huán)扣”數(shù)為 5-14(個(gè))，然后求出重疊部分的長，接著就可以求出五個(gè)鐵環(huán)連在一起的長。同理，十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度。解：五個(gè)連在一起的“環(huán)扣”數(shù)是多少？5-14(個(gè))重疊部分的長為多少？6（5-1）=24（毫米）五個(gè)鐵環(huán)連在一起的長是多少？4 厘米=40 毫米405-24=176（毫米）十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度是多少？4010-24=346（毫米）答：五個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為 176 毫米。十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長度為 346毫米。練習(xí)：3、有 12 名小學(xué)生站成一排，要求在每兩名小學(xué)生中間放 2 盆花，需要擺放幾盆？4、一次

6、檢閱,接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共 30 輛,每輛車長 4 米,前后兩車相隔 5米,問這列車隊(duì)共長多少米?在封閉線路上植樹。數(shù)量關(guān)系式是：棵樹=總長棵距。即：棵樹=段數(shù)例5：人民公園環(huán)湖路長6900米，沿湖邊每隔15米種一棵樹，每3棵樹之間安放一條長椅供游人休息。求共要種樹多少棵？安放椅子多少條？分析：這是在封閉曲線上植樹可直接用公式：“棵樹=總長棵距”求解。而“每3棵樹之間安放一條長椅”，正好是每隔一段棵距放一條椅子，椅子數(shù)正好是棵樹的一半。解：共要種樹多少棵？690015=460（棵）安放椅子多少條？4602=230（條）答：共要種樹460棵，安放椅子230條。例 6： 一個(gè)圓形水庫,周長是

7、2430 米,每隔 9 米種柳樹一棵.又在相鄰兩棵柳樹之間每 3 米種楊樹 1 棵,要種楊樹多少棵?分析:沿著封閉的圓形水庫四周植樹,段數(shù)與棵數(shù)相等,首先可以求出四周共可以種多少棵柳樹，再求出相鄰柳樹間，每隔 3 米種楊樹，每段可種楊樹的棵樹。最后可求出共種的楊樹棵樹。解：四周可種多少棵柳樹？24309=270（棵）相鄰柳樹間，每隔 3 米種楊樹，每段可種楊樹多少棵？ 93-1=2（棵）總共可種楊樹多少棵？2270=540（棵）答:水庫四周要種楊樹 540 棵.練習(xí)：5、公園的一個(gè)湖的周長是 1800 米,在這個(gè)湖的周圍每隔 20 米種一棵柳樹.然后在每兩棵柳樹之間每隔 4 米種一棵迎春花,需

8、要柳樹多少棵、迎春花多少棵? 6、明明要爺爺出一道趣味題,爺爺給他念了一個(gè)順口溜:湖邊春色分外嬌,一株杏樹一株桃,平湖周圍三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?在方正形路上植樹：如果每個(gè)頂點(diǎn)都要植樹，數(shù)量關(guān)系式是：棵數(shù)=（每邊棵數(shù)-1）邊數(shù)，由此可以推出在此種路徑下等距離植樹的數(shù)量關(guān)系為： 棵樹=邊長棵距+1。例7：一個(gè)正方形魚塘的周長是1200米，在4個(gè)角上都種上樹后，每條邊上 都有16棵樹，求每棵樹之間相距多少米？分析：沿正方形的四周種樹，看似在封閉線路上植樹。但由于四個(gè)角上都種上了樹，是每邊都種了16棵樹，實(shí)際上是等同于在不封閉直線上種樹，每邊實(shí)際分成了（161）段。這

9、樣就可以用“邊長（161）”求出棵距。當(dāng)然，也可以用：“周長（1644）” 求出棵距。解1：12004（161）=20(米)解2：1200（1644）=20(米)答：每棵樹之間相距20米。練習(xí)：7、有一個(gè)正方形池塘,在它四周種樹,四個(gè)頂點(diǎn)都有一棵,這樣每邊都有 5棵,問池塘四周共種樹多少棵?二、在面狀區(qū)域上的植樹問題在一個(gè)平面區(qū)域里等距離，等株距植樹的問題，一般是先算出每一棵樹所占的面積：行距株距，就可以求出植樹的棵樹，其數(shù)量關(guān)系是：棵樹=總面積（行距株距）。例 8：長方形場地：一個(gè)長 84 米，寬 54 米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是 2米，行距是 3 米這個(gè)蘋果園共種蘋果樹多少棵？分析

10、： 這道題就是一個(gè)在平面區(qū)域里等行距、等株距植樹的問題。根據(jù)題意，可以先算出長方形地的面積，再求出一共能種多少棵樹。還有一種方法， 先算出一行能種多少棵樹，在算出能種蘋果樹多少行，最后這塊地共種蘋果樹多少棵。解法一： 一行能種多少棵？842=42(棵)這塊地能種蘋果樹多少行？543=18(行)這塊地共種蘋果樹多少棵？4218=756(棵)如果株距、行距的方向互換，結(jié)果相同：(843)(542)=2827=756(棵) 解法二：這塊地的面積是多少平方米？8454=4536(平方米)一棵蘋果樹占地多少平方米？23=6(平方米)這塊地能種蘋果樹多少棵？45366=756(棵)當(dāng)長方形土地的長、寬分別

11、能被株距、行距整除時(shí)，可用上述兩種方法中的任意一種來解；當(dāng)長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時(shí)，就只能用第二種方法。練習(xí) 8、在一塊長方形地里種植，這塊地長 150 米，寬 120 米，按行距 3 米，株距 2.5 米種植，如果成活率為 96，這塊地里成活多少棵樹苗？三、鋸木頭問題鋸木頭問題也屬于植樹問題，可得到：木頭鋸成的段數(shù)=鋸的次數(shù)+1，由此可以得出其數(shù)量關(guān)系為：鋸?fù)晁钑r(shí)間=次數(shù)每鋸一次的時(shí)間；每段木頭的長度=木頭原來的總長段數(shù)。例 9：一個(gè)木工鋸一根長 19 米的木料，他先把一頭損壞部分鋸下 1 米，然后鋸了 5 次，鋸成同樣長的短木條，每根短木條多少米？分析：這是植樹問題的同類

12、問題鋸木頭問題。這道題實(shí)際上是將一根長 18 米的木料鋸了 5 次，鋸成了 6 段，求每段木頭的長度，可用總長鋸的次數(shù)。解、實(shí)際上鋸的總長度是多少？19-1=18（米）共鋸成了多少段？5+1=6（米）每段短木條的長度多少米？186=3（米）答：每段短木條的長度 3 米.例 10：有一個(gè)工人把 12 米的圓鋼鋸成 3 米長的小段，鋸斷一次要 5 分鐘，共需要多少分鐘？分析：這道題首先可以求出共鋸了多少段，要鋸多少次，然后再求需要多少分鐘，根據(jù)鋸?fù)晁钑r(shí)間=次數(shù)鋸一次所需的時(shí)間。解、共鋸了多少段？ 123=4（段）要鋸多少次？ 4-1=3（次）共需要多少分鐘？ 35=15（分） 答：共需要 15

13、分鐘。練習(xí) 9、有一根圓鋼長 22 米，先鋸下 2 米，剩下的鋸成每根都是 4 米的小段， 又鋸了幾次？10、有 2 根木料，打算把每根鋸成 3 段，每段鋸開一處需要 3 分鐘，全部鋸?fù)晷枰獛追昼?？四、敲鐘問題敲鐘問題是植樹問題的應(yīng)用，同樣可以用植樹問題的解法來解，可得到： 敲鐘次數(shù)=間隔數(shù)+1.由此也克得到其數(shù)量關(guān)系為：總時(shí)間間隔數(shù)=每個(gè)間隔數(shù)。其與“在不封閉直線上的植樹”情況相似。例11：有一個(gè)報(bào)時(shí)鐘，每敲響一下，聲音可持續(xù)3秒。如果敲響6下，從敲響 第一下到最后一下持續(xù)聲音結(jié)束，一共需要43秒。現(xiàn)在要敲12下，那么，從敲響第一下到最后一下持續(xù)聲音結(jié)束，一共需要多少秒？分析：這是植樹問題的

14、應(yīng)用，可以看作是在不封閉直線上的“種樹”。首先， 需要求出兩響之間的間隔；然后，再求需要的時(shí)間。（433）是“敲響第一下到最后一下”的總時(shí)間，（61）是“敲響第一下到最后一下”的間隔數(shù)，總時(shí)間間隔數(shù)=每個(gè)間隔數(shù)（即兩響之間的間隔）。然后，按照“在不封閉直線上的種樹”的公式，求出一共需要多少秒？解：兩響之間的間隔是多少秒？（433）（61）=8（秒）敲響12下，一共需要多少秒？8（121）+3=91（秒） 答：敲響12下，一共需要91秒。練習(xí)11、時(shí)鐘4點(diǎn)鐘敲4下，6秒鐘敲完，那么12點(diǎn)鐘敲12下，多少秒敲完？五、爬樓梯問題爬樓梯問題也是植樹問題的一個(gè)延伸。根據(jù)植樹問題的解題方法可得到： 間隔數(shù)

15、=終點(diǎn)樓層-起點(diǎn)樓層。由此也可得出其數(shù)量關(guān)系為：所需時(shí)間=走每段樓梯所用的時(shí)間段數(shù)。例 12：父子倆一起攀登一個(gè)有 300 個(gè)臺階的山坡，父親每步上 3 個(gè)臺階， 兒子每步上 2 個(gè)臺階。從起點(diǎn)處開始，父子倆走完這段路共踏了多少個(gè)臺階？ (重復(fù)踏的臺階只算一個(gè))。分析：因?yàn)閮啥说呐_階只有頂?shù)呐_階被踏過，根據(jù)已知條件，可先算出兒子踏過的臺階數(shù)和父親踏過的臺階數(shù)。由于 23=6，所以父子倆每 6 個(gè)臺階要共同踏一個(gè)臺階，再算出共重復(fù)踏了的臺階數(shù)。最后求得父子倆共踏了臺階個(gè)數(shù)。解：兒子踏過的臺階數(shù)為多少個(gè)？3002150(個(gè))，父親踏過的臺階數(shù)為多少個(gè)？3003100(個(gè))重復(fù)踏了的臺階數(shù)為多少個(gè)？

16、300（23）50(個(gè))父子倆共踏了臺階個(gè)數(shù)為多少個(gè)？150100-50200(個(gè)）答：父子倆共踏了 200 個(gè)臺階。練習(xí) 12：小明要到高層建筑的 11 層，他走到 5 層用了 100 秒，照此速度計(jì)算， 他還需走多少秒？解植樹問題時(shí)要記住：在牢記公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際靈活運(yùn)用；注意線段圖的運(yùn)用，這樣，可以更形象的發(fā)現(xiàn)數(shù)量間的變化?！啊薄啊盿t the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful

17、 life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can