初一數(shù)學(xué)絕對(duì)值知識(shí)點(diǎn)與經(jīng)典例題

1、絕對(duì)值的性質(zhì)及化簡(jiǎn)【絕對(duì)值的幾何意義】一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.數(shù)的絕對(duì)值記作. （距離具有非負(fù)性）【絕對(duì)值的代數(shù)意義】一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.注意： 取絕對(duì)值也是一種運(yùn)算，運(yùn)算符號(hào)是“| |”，求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào). 絕對(duì)值的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；的絕對(duì)值是. 絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或0. 任何一個(gè)有理數(shù)都是由兩部分組成：符號(hào)和它的絕對(duì)值，如：符號(hào)是負(fù)號(hào)，絕對(duì)值是.【求字母的絕對(duì)值】 利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而

2、小.絕對(duì)值非負(fù)性：|a|0 如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為0.例如：若，則，【絕對(duì)值的其它重要性質(zhì)】（1）任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都不小于這個(gè)數(shù)，也不小于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即，且；（2）若，則或；（3）；（4）；（5）|a|-|b| |ab| |a|+|b|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離【去絕對(duì)值符號(hào)】基本步驟，找零點(diǎn)，分區(qū)間，定正負(fù)，去符號(hào)?！窘^對(duì)值不等式】（1）解絕對(duì)值不等式必須設(shè)法化去式中的絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般代數(shù)式類型來(lái)解；（2）證明絕對(duì)值不等式主要有兩種方法：A）去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為一般的不等式證明：

3、換元法、討論法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|a+b|a|+|b|，用這個(gè)方法要對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的式子進(jìn)行分拆組合、添項(xiàng)減項(xiàng)、使要證的式子與已知的式子聯(lián)系起來(lái)。【絕對(duì)值必考題型】例1：已知|x2|y3|0，求x+y的值。解：由絕對(duì)值的非負(fù)性可知x2 0，y30； 即：x=2，y =3；所以x+y=5 判斷必知點(diǎn)： 相反數(shù)等于它本身的是 0 倒 數(shù)等于它本身的是 1 絕對(duì)值等于它本身的是 非負(fù)數(shù) 【例題精講】（一）絕對(duì)值的非負(fù)性問(wèn)題1. 非負(fù)性：若有幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0.2. 絕對(duì)值的非負(fù)性；若，則必有，【例題】若，則 ?？偨Y(jié)：若干非負(fù)數(shù)之和為0， 。【鞏固】若，則【鞏固

4、】先化簡(jiǎn)，再求值：其中、滿足. （二）絕對(duì)值的性質(zhì)【例1】若a0，則4a+7|a|等于（）A11a B-11a C-3a D3a【例2】一個(gè)數(shù)與這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這個(gè)數(shù)是（）A1，0 B正數(shù) C非正數(shù) D非負(fù)數(shù)【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy0，則x-y的值等于（）A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3【例4】若，則x是（）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非負(fù)數(shù) D非正數(shù)【例5】已知：a0，b0，|a|b|1，那么以下判斷正確的是（）A1-b-b1+aa B1+aa1-b-bC1+a1-ba-b D1-b1+a-ba【例6】已知ab互為相反數(shù)，且|a-b|=6，則|b-1|的值為（）

5、A2 B2或3 C4 D2或4【例7】a0，ab0，計(jì)算|b-a+1|-|a-b-5|，結(jié)果為（）A6 B-4 C-2a+2b+6 D2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x，則有（）Ay0，x0 By0，x0 Cy0，x0 Dx=0，y0或y=0，x0【例9】已知：x0z，xy0，且|y|z|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A是正數(shù) B是負(fù)數(shù) C是零 D不能確定符號(hào)【例10】給出下面說(shuō)法：（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等；（2）一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于本身，這個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)；（3）若|m|m，則m0；（4）若|a|b|，則ab，其中正確的有（）A（1）（2）（3） B（1）（

6、2）（4） C（1）（3）（4） D（2）（3）（4）【例11】已知a，b，c為三個(gè)有理數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則|c-b|-|b-a|-|a-c|= _【鞏固】知a、b、c、d都是整數(shù)，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。 【例12】若x-2，則|1-|1+x|=_若|a|=-a，則|a-1|-|a-2|= _ 【例13】計(jì)算= 【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化簡(jiǎn)：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _ 【例15】已知數(shù)的大小關(guān)系如圖所示，則下列各式：；其中正確的有 （請(qǐng)?zhí)顚懛?hào)）【鞏固】已知：abc0，

7、且M=，當(dāng)a，b，c取不同值時(shí)，M有 _種不同可能當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時(shí)，M= _；當(dāng)a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，則M= _；當(dāng)a、b、c中有2個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，則M= _；當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時(shí)，M=_ 【鞏固】已知是非零整數(shù)，且，求的值 （三）絕對(duì)值相關(guān)化簡(jiǎn)問(wèn)題（零點(diǎn)分段法）零點(diǎn)分段法的一般步驟：找零點(diǎn)分區(qū)間定符號(hào)去絕對(duì)值符號(hào)【例題】閱讀下列材料并解決相關(guān)問(wèn)題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式時(shí)，可令和，分別求得（稱分別為與的零點(diǎn)值），在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不易遺漏的如下中情況：當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式綜上討論，原式（1）求出和

8、的零點(diǎn)值 （2）化簡(jiǎn)代數(shù)式解：（1）|x+2|和|x-4|的零點(diǎn)值分別為x=-2和x=4 （2）當(dāng)x-2時(shí)，|x+2|+|x-4|=-2x+2； 當(dāng)-2x4時(shí)，|x+2|+|x-4|=6； 當(dāng)x4時(shí)，|x+2|+|x-4|=2x-2 【鞏固】化簡(jiǎn)1. 2. 的值 3. 4. (1)； 變式5.已知的最小值是，的最大值為，求的值。 （四）表示數(shù)軸上表示數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離【例題】（距離問(wèn)題）觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：(1) 你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？答： .(2) 若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，則A

9、與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為 .(3) 結(jié)合數(shù)軸求得|x-2|+|x+3|的最小值為 ，取得最小值時(shí)x的取值范圍為 .(4) 滿足的的取值范圍為 .(5) 若的值為常數(shù)，試求的取值范圍（五）、絕對(duì)值的最值問(wèn)題例題1: 1）當(dāng)x取何值時(shí)，|x-1|有最小值，這個(gè)最小值是多少？ 2) 當(dāng)x取何值時(shí)，|x-1|+3有最小值，這個(gè)最小值是多少？ 3) 當(dāng)x取何值時(shí)，|x-1|-3有最小值，這個(gè)最小值是多少？ 4）當(dāng)x取何值時(shí)，-3+|x-1|有最小值，這個(gè)最小值是多少？例題2：1）當(dāng)x取何值時(shí)，-|x-1|有最大值，這個(gè)最大值是多少？ 2)當(dāng)x取何值時(shí)，-|x-1|+3有最大值，這個(gè)最大值是多少？ 3)

10、當(dāng)x取何值時(shí)，-|x-1|-3有最大值，這個(gè)最大值是多少？ 4）當(dāng)x取何值時(shí)，3-|x-1|有最大值，這個(gè)最大值是多少？若想很好的解決以上2個(gè)例題，我們需要知道如下知識(shí)點(diǎn)：、1）非負(fù)數(shù)：0和正數(shù)，有最小值是02）非正數(shù)：0和負(fù)數(shù)，有最大值是03）任意有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即|a|0，則-|a|04）x是任意有理數(shù)，m是常數(shù)，則|x+m|0，有最小值是0， -|x+m|0有最大值是0（可以理解為x是任意有理數(shù)，則x+a依然是任意有理數(shù)，如|x+3|0，-|x+3|0或者|x-1|0，-|x-1|0）5）x是任意有理數(shù)，m和n是常數(shù)，則|x+m|+nn，有最小值是n-|x+m|+nn，有最大值

11、是n(可以理解為|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n0)或者向左（n0)平移了|n|個(gè)單位，為如|x-1|0，則|x-1|+33，相當(dāng)于|x-1|的值整體向右平移了3個(gè)單位，|x-1|0，有最小值是0，則|x-1|+3的最小值是3）總結(jié)：根據(jù)3）、4)、5）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)絕對(duì)值前面是“+”號(hào)時(shí)，代數(shù)式有最小值，有“-”號(hào)時(shí)，代數(shù)式有最大值 . 例題1：1 ) 當(dāng)x取何值時(shí)，|x-1|有最小值，這個(gè)最小值是多少？ 2 ) 當(dāng)x取何值時(shí)，|x-1|+3有最小值，這個(gè)最小值是多少？ 3 ) 當(dāng)x取何值時(shí)，|x-1|-3有最小值，這個(gè)最小值是多少？ 4） 當(dāng)x取何值時(shí)，-3+|x-1|有最小值，這個(gè)

12、最小值是多少？解： 1）當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1時(shí)，|x-1|有最小值是0 2）當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1時(shí)，|x-1|+3有最小值是3 3）當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1時(shí)，|x-1|-3有最小值是-3 4）此題可以將-3+|x-1|變形為|x-1|-3，即當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1時(shí)，|x-1|-3 有最小值是-3 例題2：1）當(dāng)x取何值時(shí)，-|x-1|有最大值，這個(gè)最大值是多少？ 2 ) 當(dāng)x取何值時(shí)，-|x-1|+3有最大值，這個(gè)最大值是多少？ 3 ) 當(dāng)x取何值時(shí)，-|x-1|-3有最大值，這個(gè)最大值是多少？ 4）當(dāng)x取何值時(shí)，3-|x-1|有最大值，這個(gè)最大值是多少？解：1）當(dāng)x-1=0時(shí)，

13、即x=1時(shí)，-|x-1|有最大值是0 2）當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1時(shí)，-|x-1|+3有最大值是3 3）當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1時(shí)，-|x-1|-3有最大值是-3 4 ) 3-|x-1|可變形為-|x-1|+3可知如2）問(wèn)一樣，即：當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1時(shí)， -|x-1|+3有最大值是3 （同學(xué)們要學(xué)會(huì)變通哦） 思考：若x是任意有理數(shù)，a和b是常數(shù)，則 1）|x+a|有最大（?。┲?？最大（?。┲凳嵌嗌伲看藭r(shí)x值是多少？ 2）|x+a|+b有最大（?。┲担孔畲螅ㄐ。┲凳嵌嗌?？此時(shí)x值是多少？ 3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此時(shí)x值是多少？ 例題3：求|x+1|+|x

14、-2|的最小值，并求出此時(shí)x的取值范圍分析：我們先回顧下化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x-2|的過(guò)程： 可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零點(diǎn)值） 在數(shù)軸上找到-1和2的位置，發(fā)現(xiàn)-1和2將數(shù)軸分為5個(gè)部分 1）當(dāng)x-1時(shí)，x+10，x-20，則|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12）當(dāng)x=-1時(shí)，x+1=0，x-2=-3，則|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）當(dāng)-1x0，x-22時(shí)，x+10，x-20，則|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1 我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x3 當(dāng)-1x2時(shí)，|x+1|+|x-2|=3 當(dāng)x2時(shí)，|x

15、+1|+|x-2|=2x-13 所以：可知|x+1|+|x-2|的最小值是3，此時(shí)：-1x2 解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零點(diǎn)值） 則當(dāng)-1x2時(shí)，|x+1|+|x-2|的最小值是3 評(píng)：若問(wèn)代數(shù)式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？并求x的取值范圍？一般都出現(xiàn)填空題居多；若是化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x-2|的常出現(xiàn)解答題中。所以，針對(duì)例題中的問(wèn)題，同學(xué)們只需要最終記住先求零點(diǎn)值，x的取值范圍在這2個(gè)零點(diǎn)值之間，且包含2個(gè)零點(diǎn)值。例題4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此時(shí)x的值？分析：先回顧化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+11|+|x-12|+

16、|x+13|的過(guò)程可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本題零點(diǎn)值）1）當(dāng)x-13時(shí)，x+110，x-120，x+130，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）當(dāng)x=-13時(shí)，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403）當(dāng)-13x-11時(shí)，x+110，x-120，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）當(dāng)x=-11時(shí)，x+11=0，x-12=-23，x+13

17、=2，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255）當(dāng)-11x0，x-120，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）當(dāng)x=12時(shí)，x+11=23，x-12=0，x+13=25，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487） 當(dāng)x12時(shí)，x+110，x-120，x+130，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：當(dāng)x27當(dāng)x=-13時(shí)，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40當(dāng)-13x-11時(shí)，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,2

18、5-x+14 27當(dāng)x=-11時(shí)，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25當(dāng)-11x12時(shí)，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36,25x+3612時(shí)，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+1248觀察發(fā)現(xiàn)代數(shù)式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此時(shí)x=-11解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本題零點(diǎn)值） 將-11,12，-13從小到大排列為-13-11b Ba=b Ca 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨x的增大而越來(lái)越大；當(dāng)x 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨x的減小而越來(lái)越大；當(dāng)

19、x 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無(wú)論x在這個(gè)范圍取何值，這兩條線段的和是一個(gè)定值 ，且比、情況下的值都小。因此，總結(jié)，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距離。6. 利用數(shù)軸分析|x+7|-|x-1| ，這個(gè)式子表示的是x到-7的距離與x到1的距離之差它表示兩條線段相減：當(dāng)x 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無(wú)論x取何值，這個(gè)差值是一個(gè)定值 ；當(dāng)x 時(shí)，發(fā)現(xiàn)，無(wú)論x取何值，這個(gè)差值是一個(gè)定值 ；當(dāng) 時(shí)，隨著增大，這個(gè)差值漸漸由負(fù)變正，在中點(diǎn)處是零。 因此，總結(jié)，式子|x+7|-|x-1| 當(dāng)x 時(shí)，有最大值 ；當(dāng)x 時(shí)，有最小值 ；7設(shè)，則的值是（ ）A-3 B1 C3或-1 D-3或18設(shè)分別是一個(gè)三位數(shù)的百位、十位和

20、個(gè)位數(shù)字，并且，則可能取得的最大值是 絕對(duì)值（零點(diǎn)分段法、化簡(jiǎn)、最值）一、去絕對(duì)值符號(hào)的幾種常用方法解含絕對(duì)值不等式的基本思路是去掉絕對(duì)值符號(hào)，使不等式變?yōu)椴缓^對(duì)值符號(hào)的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法相同。因此掌握去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法和途徑是解題關(guān)鍵。1利用定義法去掉絕對(duì)值符號(hào)根據(jù)實(shí)數(shù)含絕對(duì)值的意義，即|=，有|2利用不等式的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化|(0)來(lái)解，如|(0)可為或；|可化為+，再由此求出原不等式的解集。對(duì)于含絕對(duì)值的雙向不等式應(yīng)化為不等式組求解，也可利用結(jié)論“|或”來(lái)求解，這是種典型的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法。3利用平方法去掉絕對(duì)值符號(hào)對(duì)于兩邊都含有

21、“單項(xiàng)”絕對(duì)值的不等式，利用|=可在兩邊脫去絕對(duì)值符號(hào)來(lái)解，這樣解題要比按絕對(duì)值定義去討論脫去絕對(duì)值符號(hào)解題更為簡(jiǎn)捷，解題時(shí)還要注意不等式兩邊變量與參變量的取值范圍，如果沒(méi)有明確不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)，需要進(jìn)行分類討論，只有不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)(式)時(shí)，才可以直接用兩邊平方去掉絕對(duì)值，尤其是解含參數(shù)不等式時(shí)更必須注意這一點(diǎn)。4利用零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值符號(hào)所謂零點(diǎn)分段法，是指：若數(shù)，分別使含有|，|，|的代數(shù)式中相應(yīng)絕對(duì)值為零，稱，為相應(yīng)絕對(duì)值的零點(diǎn)，零點(diǎn)，將數(shù)軸分為+1段，利用絕對(duì)值的意義化去絕對(duì)值符號(hào)，得到代數(shù)式在各段上的簡(jiǎn)化式，從而化為不含絕對(duì)值符號(hào)的一般不等式來(lái)解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值

22、作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化。5利用數(shù)形結(jié)合去掉絕對(duì)值符號(hào)解絕對(duì)值不等式有時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合，利用絕對(duì)值的幾何意義畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求解。數(shù)形結(jié)合法較為形象、直觀，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，此解法適用于或(為正常數(shù))類型不等式。對(duì)(或)，當(dāng)|時(shí)一般不用。二、如何化簡(jiǎn)絕對(duì)值絕對(duì)值的知識(shí)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，在中考和各類競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，含有絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)學(xué)問(wèn)題又是學(xué)生遇到的難點(diǎn)之一，解決這類問(wèn)題的方法通常是利用絕對(duì)值的意義，將絕對(duì)值符號(hào)化去，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)部分的正負(fù)，借以去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法大致有三種類型。（一）、根據(jù)題設(shè)條件例1：設(shè)x-1，化簡(jiǎn)2-2-x-2的結(jié)果是（ ）。（A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x思路分析：由x-1可知x-2-30可化去第一層絕對(duì)值符號(hào)，第二次絕對(duì)值符號(hào)待合并整理后再用同樣方法化去解：2-2-x-2=2-2-(2-x)=2- x=2-(-x)=2+x 應(yīng)選（B）歸納點(diǎn)評(píng):只要知道絕對(duì)值將合內(nèi)的代數(shù)式是正是負(fù)或是零，就能根據(jù)絕對(duì)值意義順利去掉絕對(duì)值符號(hào)，這是解答這類問(wèn)題的常規(guī)思路（二）、