九年級數(shù)學(xué)上冊 21.3 實際問題與一元二次方程教學(xué) 新人教版

1、21.3實際問題與一元二次方程,知識點,知識點列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟 與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟類似,可以歸納為: (1)審:審題,要明確已知量和未知量及問題中的等量關(guān)系; (2)設(shè):設(shè)出未知數(shù),有直接設(shè)法和間接設(shè)法兩種; (3)列:找出能表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系,列出一元二次方程; (4)解:求出所列方程的解; (5)驗:檢驗方程的解是否正確,是否符合實際意義; (6)答:寫出正確答案,知識點,名師解讀:列一元二次方程解應(yīng)用題就是建立一元二次方程模型解應(yīng)用題,可以類比列一元一次方程解應(yīng)用題的方法,注意體會其中的建模思想.列方程時,注意抓題目中的關(guān)鍵描述語,找到適合題

2、目的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系,這就需要熟練掌握常見的數(shù)量關(guān)系、面積公式、定理等,知識點,例1列方程解應(yīng)用題: 某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干,每個支干又長出相同數(shù)目的小分支,主干、支干和小分支的總數(shù)是91,每個支干長出多少小分支? 分析:由題意設(shè)主干長出的支干的數(shù)目是x,每個支干又長出x個小分支,則共有x2個小分支,則共有x2+x+1個分支,即可列方程求得x的值. 解:設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是x個, 根據(jù)題意列方程得x2+x+1=91, 解得x=9或x=-10(不合題意,應(yīng)舍去). 所以x=9. 答:每個支干長出9個小分支,知識點,解答這類問題,按照一般步驟進行:讀懂題意,正確地寫出主干、支

3、干、小分支的數(shù)目,列出一元二次方程,注意所得方程的解要有實際意義才行,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,拓展點一列一元二次方程解增長率問題 例1(2015秋南關(guān)區(qū)期中)某圖書館2013年年底有圖書20萬冊,預(yù)計2015年年底圖書增加到28.8萬冊. (1)求該圖書館這兩年圖書冊數(shù)的年平均增長率. (2)如果該圖書館2016年仍保持相同的年平均增長率,請你預(yù)測2016年年底圖書館存圖書多少萬冊. 分析:(1)經(jīng)過兩次增長,求年平均增長率的問題,應(yīng)該明確原來的基數(shù),增長后的結(jié)果.設(shè)這兩年的年平均增長率為x,則經(jīng)過兩次增長以后圖書館有書20(1+x)2萬冊,即可列方程求解; (2)利

4、用求得的百分率,進一步求得2016年年底圖書館存圖書數(shù)量即可,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,解:(1)設(shè)年平均增長率為x,根據(jù)題意得 20(1+x)2=28.8,即(1+x)2=1.44, 解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去). 答:該圖書館這兩年圖書冊數(shù)的年平均增長率為20%. (2)28.8(1+0.2)=34.56(萬冊). 答:預(yù)測2016年年底圖書館存圖書34.56萬冊,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,解答此類題目關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意,用代數(shù)式表示出題目中相關(guān)的數(shù)量,掌握求平均變化率的方法.若設(shè)變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則

5、經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1x)2=b(當(dāng)增長時中間的“”號選“+”,當(dāng)下降時中間的“”號選“-”).另外所求出的增長率(降低率)須有實際意義,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,拓展點二列一元二次方程解數(shù)字問題 例2已知:三個連續(xù)奇數(shù),它們的平方和為251,求這三個奇數(shù). 分析:設(shè)出這三個奇數(shù),根據(jù)它們的平方和為251列方程解答即可. 解:設(shè)這三個奇數(shù)依次為n-2,n,n+2,其中n為整數(shù),則依題意列方程得, (n-2)2+n2+(n+2)2=251,3n2=243,n2=81, n=9或n=-9, 當(dāng)n=9時,n-2=7,n+2=11; 當(dāng)n=-9時,n-2=-11,n+

6、2=-7. 答:這三個連續(xù)奇數(shù)為7,9,11或-11,-9,-7,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,解答數(shù)字問題,一般采取間接設(shè)法,尤其是三個連續(xù)整數(shù),通常設(shè)中間一個為n,其余兩個用含n的代數(shù)式表示,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,拓展點三列一元二次方程解圖形面積問題 例3(2015秋江岸區(qū)期中)如圖,要設(shè)計一副寬20 cm,長30 cm的圖案,其中有兩橫兩豎的彩條,橫、豎彩條的寬度比為23,如果要使彩條所占面積是圖案面積的 ,應(yīng)如何設(shè)計彩條的寬度,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,分析:設(shè)橫彩條的寬度是2x cm,豎彩條的寬度是3x cm,根

7、據(jù)設(shè)計的圖案寬20 cm,長30 cm,其中有兩橫兩豎的彩條,橫、豎彩條的寬度比為23,彩條所占面積是圖案面積的 ,列出方程求解即可. 解:設(shè)橫彩條的寬度是2x cm,豎彩條的寬度是3x cm,則(30-6x)(20-4x)= 2030, 解得x1=1,x2=9. 49=3620, x=9舍去, 橫彩條的寬度是2 cm,豎彩條的寬度是3 cm,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,需利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形,進而即可列出方程,求出答案.另外還要注意解的合理性,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,拓展點四列一元二次方程解商品銷售問

8、題 例4(2015岳池縣模擬)某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件贏利40元,為了擴大銷售,增加利潤,盡量減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2件; (1)若商場平均每天要盈利1 200元,每件襯衫應(yīng)降價多少元? (2)每件襯衫降價多少元時,商場平均每天盈利最多,分析:此題屬于經(jīng)營問題,若設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元,則每件所得利潤為(40-x)元,但每天多售出2x件,即售出件數(shù)為(20+2x)件,因此每天贏利為(40-x)(20+2x)元,進而可根據(jù)題意列出方程求解,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,解:(1)設(shè)

9、每件襯衫應(yīng)降價x元, 根據(jù)題意得(40-x)(20+2x)=1 200, 整理得2x2-60 x+400=0,解得x1=20,x2=10. 因為要盡量減少庫存,在獲利相同的條件下,降價越多,銷售越快,故每件襯衫應(yīng)降價20元. 答:每件襯衫應(yīng)降價20元. (2)設(shè)商場平均每天盈利y元, 則y=(20+2x)(40-x)=-2x2+60 x+800 =-2(x2-30 x-400)=-2(x-15)2-625 =-2(x-15)2+1 250. 當(dāng)x=15時,y取最大值,最大值為1 250. 答:每件襯衫降價15元時,商場平均每天盈利最多,最大利潤為1 250元,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展

10、點四,拓展點五,降低每件的售價,實際就是降低每件的利潤,售價降低,銷售量增加.減少庫存,就是要增加銷量,在保證盈利相同的情況下,降價越多,銷售量增加地越多,就達(dá)到減少庫存的目的,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,拓展點五列一元二次方程解生活實際問題 例5某市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6 000元的均價對外銷售,由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后,購房者持幣觀望,為了加快資金周轉(zhuǎn),房地產(chǎn)開發(fā)商對價格進行兩次下調(diào)后,決定以每平方米4 860元的均價開盤銷售. (1)求平均每次下調(diào)的百分率; (2)某人準(zhǔn)備以開盤均價購買一套100平方米的房子,開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案供其選擇:打9.8折銷售;不打折,送兩年物業(yè)管理費.物業(yè)管理費每平方米每月1.5元,請問哪種方案更優(yōu)惠,拓展點一,拓展點二,拓展點三,拓展點四,拓展點五,分析:(1)設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x,根據(jù)題意列出方程,求出方程的解得到x的值,即可得到結(jié)果; (2)根據(jù)兩種優(yōu)惠方案計算出各自的費用,比較即可得到結(jié)果. 解:(1)設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x, 依題意,得6 000(1-x)2=4 860, 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合題意,舍去), 答:平均每次下調(diào)的百分率為10%. (2)方案一可優(yōu)