九年級數(shù)學(xué)上冊 22.1.2 二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)教學(xué) 新人教版

1、22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì),知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,知識點(diǎn)一二次函數(shù)y=x2的圖象和性質(zhì) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是拋物線,對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做頂點(diǎn),頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)或最高點(diǎn). 對于特殊的二次函數(shù)y=x2,對稱軸是y軸,頂點(diǎn)是(0,0),頂點(diǎn)是它的最低點(diǎn),在對稱軸的左側(cè),拋物線從左到右下降;在對稱軸的右側(cè),拋物線從左到右上升.也就是說,當(dāng)x0時,y隨x的增大而增大. 名師解讀:理解和記憶二次函數(shù)的性質(zhì)時,可以從y=x2得到啟發(fā),其他二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可類比y=x2的圖象和性質(zhì),主要從開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)、增減性等幾個方面去進(jìn)行,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知

2、識點(diǎn)三,例1通過列表、描點(diǎn)、連線的方法畫函數(shù)y=-x2的圖象. 分析:首先列表求出函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而描點(diǎn)連線畫出圖象即可. 解:列表,得: 描點(diǎn),連線如圖所示,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,畫二次函數(shù)的圖象,列表時取的點(diǎn)越多,圖象往往越準(zhǔn)確,但是一般采用“五點(diǎn)法”或“七點(diǎn)法”畫圖,畫圖時應(yīng)注意:(1)描點(diǎn)法所畫的圖象只是整個函數(shù)圖象的一部分,是近似的,由于x可取一切實數(shù),所以圖象是向兩方無限延伸的;(2)點(diǎn)取得越多,圖象畫得越精確,在限定條件下(即限定自變量的取值范圍)或在實際問題中,函數(shù)的圖象必須要根據(jù)自變量的取值范圍取其中的一部分;(3)所畫圖象必須平滑(符合點(diǎn)的發(fā)展變化的趨勢),尤

3、其是頂點(diǎn)不能畫成“尖”形的,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,知識點(diǎn)二y=ax2的圖象 一般地,拋物線y=ax2的對稱軸是y軸,頂點(diǎn)是原點(diǎn).當(dāng)a0時,拋物線的開口向上,頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn);當(dāng)a0時,拋物線的開口向下,頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).對于y=ax2,|a|越大,拋物線的開口越小. 名師解讀:二次函數(shù)y=ax2的圖象是拋物線,結(jié)合圖象可知,二次項系數(shù)a的符號決定了開口方向,|a|決定了開口的大小,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,例2(1)在同一坐標(biāo)系中,畫出下列函數(shù)的圖象: (2)從解析式、函數(shù)的對應(yīng)值表、函數(shù)三個方面對比,說說解析式中二次項的系數(shù)a對拋物線的形狀有什么影響. 分析:(1)列表、

4、描點(diǎn)、連線,可得函數(shù)圖象. (2)觀察圖象即可得出,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,解:(1)列表如下,描點(diǎn):以表中的數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn), 連線:用平滑的曲線連接各點(diǎn),如圖所示,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,2)a的絕對值相同,兩條拋物線的形狀就相同;|a|越大,拋物線開口越小,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2(a0)的圖象時,取相應(yīng)的x與y的值時,應(yīng)從原點(diǎn)(0,0)開始左右對稱地取值.為了描點(diǎn)準(zhǔn)確與方便,盡量取坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn),其圖象是向兩方無限延伸的,當(dāng)選取的點(diǎn)越多時,所畫出的圖象越精確,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,知識點(diǎn)三y=ax2圖象的

5、性質(zhì) 從二次函數(shù)y=ax2的圖象可以看出:如果a0,當(dāng)x0時,y隨x的增大而增大;如果a0時,y隨x的增大而減小. 名師解讀:當(dāng)a0時,理解二次函數(shù)的性質(zhì)可以利用y=x2的圖象進(jìn)行描述,當(dāng)a0時,可以根據(jù)y=-ax2和y=ax2圖象的對稱性進(jìn)行對比描述,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,例3已知拋物線y=ax2(a0),當(dāng)a取不同的值時,下列說法正確的是() A.頂點(diǎn)坐標(biāo)不同B.對稱軸相同 C.開口方向一致D.都有最低點(diǎn) 解析:根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),對稱軸和開口方向以及最高(低)點(diǎn)等,對各選項分析判斷利用排除法求解.對于A,不論a為何值,頂點(diǎn)坐標(biāo)都是(0,0),故本選項錯誤;對于B,不論a為何值

6、,對稱軸為y軸,故本選項正確;對于C,a0,拋物線開口向上,a0,有最高點(diǎn),a0,有最低點(diǎn),故本選項錯誤. 答案:B,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,解答這類問題時,可借助于y=x2和y=-x2的圖象和性質(zhì)逐一對照(相當(dāng)于特殊值法),然后再作出判斷,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,例4已知函數(shù)y=ax2的圖象過點(diǎn) . (1)簡述函數(shù)y=ax2的性質(zhì); (2)在其圖象上有兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),且x1x20,比較y1,y2的大小. 分析:(1)把點(diǎn) 代入函數(shù)y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函數(shù)的性質(zhì). (2)二次函數(shù)y=ax2的對稱軸為y軸,由(1)知ax20,故y1y2,知識點(diǎn)一

7、,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,知識點(diǎn)一,知識點(diǎn)二,知識點(diǎn)三,解答這類比較大小的問題,先確定函數(shù)的解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答,也可以利用特殊值法進(jìn)行判斷,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,拓展點(diǎn)一二次函數(shù)y=ax2解析式的確定 例1已知二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,-0.5). (1)求這個二次函數(shù)的解析式并畫出其圖象; (2)請寫出這個二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸. 分析:(1)將點(diǎn)A(-1,-0.5)代入y=ax2即可得到a的值; (2)根據(jù)二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸即可,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,解:(1)將點(diǎn)A(-1,-0.5)

8、代入y=ax2得,a=-0.5,故其解析式為y=-0.5x2; 畫出其圖象如圖所示. (2)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),對稱軸為x=0,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,由于y=ax2中只有一個未知字母a,所以只需一個條件(圖象上一個點(diǎn)的坐標(biāo)或一對對應(yīng)值)利用待定系數(shù)法就可以確定其解析式,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,拓展點(diǎn)二二次函數(shù)y=ax2的圖象與一次函數(shù)的圖象共存同一坐標(biāo)系的問題 例2在同一坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=ax+a和二次函數(shù)y=ax2的大致圖象正確的是(,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,解析:根據(jù)a的符號分類,a0時,在A,B中判斷一次函數(shù)的圖象是否相符,a0時

9、,二次函數(shù)y=ax2的圖象開口向上,一次函數(shù)y=ax+a的圖象經(jīng)過第一、二、三象限,排除A;當(dāng)a0時,二次函數(shù)y=ax2的圖象開口向下,一次函數(shù)y=ax+a的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,排除C,D. 答案:B,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,解答這類問題,一般用排除法,首先根據(jù)拋物線的開口方向,確定二次函數(shù)二次項系數(shù)a的符號,然后再根據(jù)一次函數(shù)確定a的符號,如果相同,說明可能正確;如果不同,直接排除.按照這種方法逐一判斷,直至找出正確答案為止.特別注意個別問題需要再結(jié)合一次函數(shù)與拋物線的公共點(diǎn)的位置才能確定最后答案,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,拓展點(diǎn)三與y=ax2的圖象和一次

10、函數(shù)圖象交點(diǎn)有關(guān)的問題 例3,如圖,已知拋物線y=ax2(a0)與直線AB交于點(diǎn)P(4,-4),連接OP,OP=AP,求二次函數(shù)的解析式及拋物線與直線AB另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo),拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,分析:將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出a的值,即可確定出拋物線解析式,過點(diǎn)P作PQOA,則Q(4,0),再根據(jù)OP=AP,得A(8,0),設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,將A,P坐標(biāo)代入直線解析式y(tǒng)=mx+n,求出m,n的值,聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出另一個交點(diǎn)B即可,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,解答求二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的坐標(biāo)問題時,把兩函數(shù)的解析式聯(lián)立組成方程組,方程組的解就是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),然后再結(jié)合其他條件解答相關(guān)問題,拓展點(diǎn)一,拓展點(diǎn)二,拓展點(diǎn)三,拓展點(diǎn)四,拓展點(diǎn)四與y=ax2有關(guān)的綜合題 例4如圖所示,拋物線y=x2與直線y=2x在第一象限內(nèi)