2016年高考真題——理科數(shù)學(xué)（北京卷）正式版 Word版含解析

1、本試卷共5頁，150分考試時長120分鐘考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1.已知集合，則（ ） A. B. C. D.【答案】C考點(diǎn)：集合交集.2.若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】試題分析：作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，取最大值，而，所求最大值為4，故選C. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為1，則輸出的值為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B考點(diǎn)：算法與程序

2、框圖4.設(shè)，是向量，則“”是“”的（ ）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】試題分析：由，故是既不充分也不必要條件，故選D.考點(diǎn)：1.充分必要條件；2.平面向量數(shù)量積.5.已知，且，則（ ）A. B. C. D.【答案】C考點(diǎn)： 函數(shù)性質(zhì)6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐，其體積，故選A.考點(diǎn)：1.三視圖；2.空間幾何體體積計算.7.將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移（） 個單位長度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（ ）A.，的最小值為

3、B. ，的最小值為 C.，的最小值為 D.，的最小值為 【答案】A考點(diǎn)：三角函數(shù)圖象平移8.袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（ ）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】C【解析】試題分析：若乙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個均是紅球；若乙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑，且紅球放入甲盒；若丙盒中放入

4、的是紅球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球都是黑球；A：因?yàn)槌榈降膬蓚€球是紅球和黑球的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)無法確定，故無法判定乙盒和丙盒中異色球的大小關(guān)系，而抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)應(yīng)是相等的，故選C.考點(diǎn)：概率統(tǒng)計分析.第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9.設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則_.【答案】.【解析】試題分析：，故填：.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算10.在的展開式中，的系數(shù)為_.（用數(shù)字作答）【答案】60.考點(diǎn)：二項式定理.11.在極坐標(biāo)系中，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則_.【答案

5、】2【解析】試題分析：分別將直線方程和圓方程化為直角坐標(biāo)方程：直線為過圓圓心，所以，故填：.考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角方程的互相轉(zhuǎn)化.12.已知為等差數(shù)列，為其前項和，若，則_.【答案】6【解析】試題分析：是等差數(shù)列，故填：6考點(diǎn)：等差數(shù)列基本性質(zhì).13.雙曲線（，）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長為2，則_.【答案】2考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)14.設(shè)函數(shù). 若，則的最大值為_； 若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】，.【解析】試題分析：如圖作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點(diǎn)是，由，知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，當(dāng)時，所以的最大值是；由圖象知當(dāng)時，

6、有最大值是；只有當(dāng)時，由，因此無最大值，所求的范圍是，故填：，考點(diǎn)：1.分段函數(shù)求最值；2.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.三、解答題（共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15.（本小題13分）在ABC中，.（1）求 的大小；（2）求 的最大值.【答案】（1）；（2）.，因?yàn)?，所以?dāng)時，取得最大值.考點(diǎn)：1.三角恒等變形；2.余弦定理.16. （本小題13分）A、B、C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）；A班6 6. 5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9

7、10.5 12 13.5（1）試估計C班的學(xué)生人數(shù)；（2）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（3）再從A、B、C三個班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記 ，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ，試判斷和的大小，（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）40；（2）；（3）.因此（3）根據(jù)平均數(shù)計算公式即可知，.考點(diǎn)：1.分層抽樣；2.獨(dú)立事件的概率；3.平均數(shù)17.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面平

8、面，.（1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，【解析】試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值.試題解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面；考點(diǎn)：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計算；3.空間向量的運(yùn)用.1

9、8.（本小題13分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（），；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)，求，的值；（2）由題意知判斷，即判斷的單調(diào)性，知，即，由此求得的單調(diào)區(qū)間.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.19.（本小題14分）已知橢圓C： （）的離心率為 ，的面積為1.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)M，直線PB與軸交于點(diǎn)N.求證：為定值.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為，即，的面積為1，即，橢圓中列方程求解；（2）根據(jù)已知條件分別求出，的值，求其乘積為定值.當(dāng)時，所以.綜上，為定值.考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.20.（本小題13分） 設(shè)數(shù)列A： ， , ().如果對小于()的每個正整數(shù)都有 ，則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合.（1）對數(shù)列A：-