《極小值原理及應(yīng)用》PPT課件.ppt

1、1,第三講極小值原理及應(yīng)用,2,主要內(nèi)容,3.1 極小值原理的提出 3.2 連續(xù)系統(tǒng)極小值原理 積分型最優(yōu)控制問題 綜合型最優(yōu)控制問題 3.3 離散系統(tǒng)極小值原理（自學(xué),3,古典變分法存在的問題,3.1 極小值原理的提出,4,1) 在一般情況下，可以將控制函數(shù)U(t)所受到的約束條件利用如下形式的不等式來表示. 當(dāng)控制函數(shù)U(t)受到上述不等式約束,并且最優(yōu)控制取決于閉集性約束的邊界時(shí)，特別要求H/U(t)有定義，古典變分法便不再適用了。 (2)在應(yīng)用古典變分法來求解最優(yōu)控制問題時(shí)，要求函數(shù)X ( tf ) ,tf , LX(t),U(t),t , f X(t), U(t) ,t 對(duì)它們的自變

2、量具有“充分”的可微性. 例如,5,初始條件,給定系統(tǒng)狀態(tài)方程,要求：確定滿足約束條件的最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個(gè)終態(tài)X(tf) ，并使性能泛函達(dá)到極小值,1、積分型最優(yōu)控制問題,終端時(shí)刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由，U(t)是m維控制變量，其所受約束條件是,為容許控制域，是以U(t)為元素的m維實(shí)函數(shù)空間中的一個(gè)閉子集,容許控制,3.2 連續(xù)系統(tǒng)極小值原理,問題 3-1,6,1）設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制， X*(t)是對(duì)應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對(duì)應(yīng)的n維協(xié)態(tài)變量(t) ，使得X(t)與(t) 滿足規(guī)范方程,其中,2）邊界

3、條件為,3）哈密頓函數(shù)H對(duì)控制變量U(t)（t0ttf）取極值，即,如果不考慮約束條件 ，那么該最優(yōu)控制問題的解的必要條件可由定理2-10給出，現(xiàn)引述如下,控制函數(shù)U(t)不受約束或只受開集性的約束的情況下的最小值原理,7,1)當(dāng)控制函數(shù)U(t)不受約束或只受開集性約束條件下,等價(jià),控制方程 不是問題3-1所給定的最優(yōu)控制問題解的必要條件,結(jié)論,說明,2)在控制函數(shù)U(t)受到閉集性約束 的條件下，控制方程 未必是最優(yōu)控制問題的解的必要條件之一。 a. b. Hamilton函數(shù)H X(t)，(t)， U(t)，t在閉子集內(nèi)可能不存在極值點(diǎn)，以H/U 來求極小值點(diǎn)難以奏效,8,定理3-1 （積

4、分型最優(yōu)控制問題的極小值原理,給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程 初態(tài) X(t0)=X0， 終端時(shí)刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由以及控制變量U(t)所受約束條件是 則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個(gè)終態(tài)X(tf) ，并使性能泛函 達(dá)到極小值的最優(yōu)控制應(yīng)滿足的必要條件是,9,1) 設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制, X*(t)是對(duì)應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對(duì)應(yīng)的n維協(xié)態(tài)變量(t)，使得X*(t)和(t)滿足規(guī)范方程,2)邊界條件為,3)哈密頓函數(shù)在最優(yōu)控制U*(t)和最優(yōu)軌線X*(t)上達(dá)到最小值,即,H：哈密頓函數(shù),10,2)一個(gè)函數(shù)的最小值點(diǎn)與該函數(shù)反號(hào)后的最大值是一致

5、的,則,結(jié)果是一致的，只是二式中的協(xié)態(tài)變量(t)是互為反號(hào)的,則,說明,1)用古典變分法求解控制向量無界時(shí)的泛函極值問題是最小值原理的一個(gè)特例,令哈密頓函數(shù)為,若令哈密頓函數(shù)為,11,定理3-2 （積分型最優(yōu)控制問題的極大值原理,給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程 初態(tài) X(t0)=X0， 終端時(shí)刻tf固定，終端狀態(tài)X(tf)自由以及控制變量U(t)所受約束條件是 則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到某個(gè)終態(tài)X(tf) ，并使性能泛函 達(dá)到極小值的最優(yōu)控制應(yīng)滿足的必要條件是,12,1) 設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制, X*(t)是對(duì)應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對(duì)應(yīng)的n維協(xié)態(tài)變量(

6、t)，使得X*(t)和(t)滿足規(guī)范方程,2)邊界條件為,3)哈密頓函數(shù)在最優(yōu)控制U*(t)和最優(yōu)軌線X*(t)上達(dá)到最大值,即,H：哈密頓函數(shù),13,定理3-2極大值原理的中心內(nèi)容是,使性能泛函達(dá)到最小值的最優(yōu)控制的必要條件是哈密頓函數(shù)H達(dá)到最大值 極大值原理,定理3-1極小值原理的中心內(nèi)容是,使性能泛函達(dá)到最小值的最優(yōu)控制的必要條件是哈密頓函數(shù)H達(dá)到最小值 極小值原理,14,用極小值（極大值）原理解最優(yōu)控制問題的一般步驟,1）列出哈密頓函數(shù),2）求出使H極?。ɑ驑O大）時(shí)的最優(yōu)控制 和 ， 的關(guān)系。可分為兩種情況,a 能成立的，就用此式求 和 ， 的關(guān)系,b 不能成立的，即 有約束，或H對(duì)

7、不連續(xù)可微，則用極小值原理分析H表達(dá)式,求出使H最小時(shí)的 和 ， 的關(guān)系式。但此時(shí)x與 仍是未知數(shù)，下一步求出 x、 后再代入求,15,3.由狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程,及相應(yīng)邊界與橫截條件求出 與,4將 與 代入 ，可求出,5. 驗(yàn)算。因?yàn)樽钚≈翟斫庾顑?yōu)控制問題不是充分條件，因此，解出后須代入性能指標(biāo)J的表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)算,16,例 3-1 給定一階線性系統(tǒng)和初始條件 其中控制作用u(t)（控制函數(shù)）的約束條件為 要求確定控制函數(shù)u(t) ，使性能泛函 達(dá)到極小值,分析：積分型最優(yōu)控制問題； 始端固定，終端時(shí)刻tf=1固定，終端狀態(tài)X(tf)是自由； 控制函數(shù)受到閉集性的約束條件,17,18,關(guān)于極小

8、值原理的幾點(diǎn)說明,1）極小值原理將經(jīng)典變分法得到的控制方程 修改為 但是，并不改變正則方程及橫截條件。因此，可從上式解得 并將其代入正則方程，同樣可以得到一組兩點(diǎn)邊值微分方程,19,2）極小值原理擴(kuò)大了變分法的適用范圍,極小值是對(duì)古典變分法的發(fā)展。不僅可以用來求解函數(shù)U(t)不受約束或只受開集性約束的最優(yōu)控制問題，而且也可以用來求解控制函數(shù)U(t)受到閉集性約束條件的最優(yōu)控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對(duì)控制函數(shù)U(t)的要求。 極小值原理沒有提出哈密頓函數(shù)H對(duì)控制函數(shù)U(t)的可微性的要求，因此，其應(yīng)用條件進(jìn)一步放寬了,20,21,3）全局與局部,由極小值原理所求得的最優(yōu)控制U(t)使哈

9、密頓函數(shù)H達(dá)到全局、絕對(duì)最大值，而由古典變分法的極值條件H/ U=0所得到的解是H的局部、相對(duì)最大值。 極小值原理將古典變分法求解最優(yōu)控制問題的極值條件作為一個(gè)特例概括在自己之中,22,由極小值原理所求得的解能否使性能泛函J達(dá)到極小值，還需要進(jìn)一步分析與判定。 如果根據(jù)物理意義已經(jīng)能夠斷定所討論的最優(yōu)控制問題的解是存在的，而由極小值原理所得到的解只有一個(gè)，那么，該解就是最優(yōu)解。實(shí)際上，我們遇到的問題往往屬于這種情況,4）極小值原理是最優(yōu)控制問題的必要條件,并非充分條件,23,24,2、綜合型最優(yōu)控制問題 問題3-2 給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程： （ 3.1） 其中f是n維連續(xù)可微的向量函數(shù)。X(t)是

10、n維狀態(tài)變量，已知其初態(tài)為 X(t0)=X0，終端時(shí)刻tf是可變，終端的約束條件為： （3.2） 其中是r 維連續(xù)可微的向量函數(shù)，且rn，U(t)是m維控制變量，且其約束條件為 （3.3） 是以U(t)為元素的m維實(shí)函數(shù)空間中的閉子集。 要求：在滿足式（3.3）的容許控制中，確定一控制變量U(t) ，使系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到滿足式（3.2）條件下的某個(gè)終態(tài)X(tf)，并使性能泛函達(dá)到極小值,25,給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程 和控制函數(shù)U(t)的閉集約束條件 則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)=X0，轉(zhuǎn)移到滿足終端約束條件 的某個(gè)終態(tài)X(tf )，其中tf是可變的，并使性能泛函,達(dá)到極小值的最優(yōu)

11、控制應(yīng)滿足的必要條件是,定理3-3 綜合型最優(yōu)控制問題的極小值原理,26,1)設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制, X*(t)是對(duì)應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則存在一與U*(t)和X*(t)相對(duì)應(yīng)的n維協(xié)態(tài)變量(t)，使得X*(t)和(t)滿足規(guī)范方程 其中,27,在上述各式中的是待定的r維乘子向量，即 (3)哈密頓函數(shù)H在最優(yōu)控制與最優(yōu)軌線上達(dá)到最小值。即,終端受限,tf自由,2)狀態(tài)變量和協(xié)態(tài)變量的邊界條件為,28,給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程 和控制函數(shù)U(t)的閉集約束條件 則為將系統(tǒng)從給定的初態(tài)X(t0)=X0，轉(zhuǎn)移到滿足終端約束條件 的某個(gè)終態(tài)X(tf )，其中tf是可變的，并使性能泛函 達(dá)到極小值的最優(yōu)控制應(yīng)滿足的必要條件是,定理3-4 綜合型最優(yōu)控制問題的極大值原理,29,其中,1)設(shè)U*(t)是最優(yōu)控制, X*(t)是對(duì)應(yīng)于U*(t)的最優(yōu)軌線，則必存在一與U*(t)和X*(t)相對(duì)應(yīng)的(t)，使得X*(t)和(t)滿足規(guī)范方程,30,2)狀態(tài)變量和協(xié)態(tài)變量的邊界條件為,3)哈密頓函數(shù)H在最優(yōu)控制與最優(yōu)軌線上達(dá)到最大值