人教A版北京初升高銜接課程C專題二次函數(shù)的簡單應(yīng)用4星

1、專題：二次函數(shù)的簡單應(yīng)用()教學(xué)目標(biāo)靈活應(yīng)用二次函數(shù)解決動(dòng)點(diǎn)問題、最值問題、面積問題。知識(shí)梳理 10min.動(dòng)點(diǎn)題一般方法是針對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中相伴隨著的數(shù)量關(guān)系（如等量關(guān)系、變量關(guān)系）、圖形位置關(guān)系（如圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系）等進(jìn)行研究考察抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變，首先根據(jù)題意理清題目中兩個(gè)變量X、Y的變化情況并找出相關(guān)常量，第二，按照?qǐng)D形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出一個(gè)基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用一個(gè)自變量的表達(dá)式表達(dá)出來，然后再根據(jù)題目的要求，依據(jù)幾何、代數(shù)知識(shí)解出。第三，確定自變量的取值范圍，畫出相應(yīng)的圖象。利用二次函數(shù)解決最值問題,的一般步驟：第一步設(shè)自變量

2、；第二步建立函數(shù)的解析式；第三步確定自變量的取值范圍；第四步根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求出最大值或最小值（在自變量的取值范圍內(nèi)）。利用二次函數(shù)解決面積問題：通過觀察、分析、概括、總結(jié)的方法了解二次函數(shù)面積問題的基本類型，并力爭熟練掌握二次函數(shù)中面積問題的相關(guān)計(jì)算.在二次函數(shù)的綜合題目中常常涉及到與面積相關(guān)的問題，研究思路為：（1）分析圖形的成因（2）識(shí)別圖形的形狀（3）找出圖形的計(jì)算方法（4）在求圖形的面積時(shí)常常使用到以下公式： 拋物線解析式y(tǒng)=ax2 +bx+c (a0)拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離AB=x1x2=拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（-, ）典例精講 18min.() 例1 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO

3、y中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A， 與y軸交于點(diǎn)B， 且OA = 3，AB = 5點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QBBOOP于點(diǎn)E點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t0）（1）求直線AB的解析式；（2）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，求APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）； 【答案】解：（1）在RtAOB中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理

4、得.A（3，0），B（0，4）設(shè)直線AB的解析式為. 解得 直線AB的解析式為2分（2）如圖，過點(diǎn)Q作QFAO于點(diǎn)F. AQ = OP= t，由AQFABO，得 ，() 例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B(2，n)在這條拋物線上. (1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2) 點(diǎn)P在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過P點(diǎn)作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E。延長PE到點(diǎn)D。使得ED=PE. 以PD為斜邊在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD(當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)、D點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)) j 當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長； k 若P點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)作勻速運(yùn)

5、動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位(當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng))。過Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F。延長QF到點(diǎn)M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN(當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)，N點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng))。若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條直角邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值.xyO11【答案】解：(1) 拋物線y= -x2+x+m2-3m+2經(jīng)過原點(diǎn)，m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2， 由題意知m1，m=2，拋物線的解析式為y= -x2+x，點(diǎn)B(2，n)在拋物線OAB

6、CDEPyx圖1 y= -x2+x上，n=4，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，4)。 (2) j 設(shè)直線OB的解析式為y=k1x，求得直線OB的解析式為 y=2x，A點(diǎn)是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，可求得A點(diǎn)的 坐標(biāo)為(10，0)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，0)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為 (a，2a)，根據(jù)題意作等腰直角三角形PCD，如圖1。可求 得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3a，2a)，由C點(diǎn)在拋物線上，得 2a= -(3a)2+3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0 (舍去)，OP=。 k 依題意作等腰直角三角形QMN，設(shè)直線AB的解析式為y=k2x+b，由點(diǎn)A(10，0)， 點(diǎn)B(2，4)，求得直線AB的解析式為y= -x+5，

7、當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰 直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況： 第一種情況：CD與NQ在同一條直線上。如圖2所示?？勺CDPQ為等腰直角三 角形。此時(shí)OP、DP、AQ的長可依次表示為t、4t、2t個(gè)單位。PQ=DP=4t， t+4t+2t=10，t=。 第二種情況：PC與MN在同一條直線上。如圖3所示。可證PQM為等腰直角三 角形。此時(shí)OP、AQ的長可依次表示為t、2t個(gè)單位。OQ=10-2t，F(xiàn)點(diǎn)在 直線AB上，F(xiàn)Q=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t+2t+2t=10，t=2。 第三種情況：點(diǎn)P、Q重合時(shí)，PD、QM在同一條直線上，如圖4所示。此時(shí)OP、

8、AQ的長可依次表示為t、2t個(gè)單位。t+2t=10，t=。綜上，符合題意的圖4yxBOQ(P)NCDMEF t值分別為，2， 。ExOABCyPMQNFD圖2xyOAM(C)B(E)DPQFN圖3() 例3 如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；判斷ABC的形狀，證明你的結(jié)論；點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求m的值【答案】（1）點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=x2 + bx-2上， (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得b =拋物線的解析式為y=x2-x-2. y=x2-x-2 = (

9、 x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (, -). （2）當(dāng)x = 0時(shí)y = -2, C（0，-2），OC = 2。當(dāng)y = 0時(shí)， x2-x-2 = 0， x1 = -1, x2 = 4, B (4,0)OA = 1, OB = 4, AB = 5.AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,AC2 +BC2 = AB2. ABC是直角三角形.（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，則C（0，2），OC=2，連接CD交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MD的值最小。解法一：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x

10、軸于點(diǎn)E.EDy軸, OCM=EDM,COM=DEMCOMDEM. ，m =解法二：設(shè)直線CD的解析式為y = kx + n ,則，解得n = 2, . .當(dāng)y = 0時(shí)， ， . .() 例4 已知頂點(diǎn)為A(1,5)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(5,1). (1)求拋物線的解析式; (2)如圖(15.1),設(shè)C,D分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長的最小值（3）在（2）中，當(dāng)四邊形ABCD的周長最小時(shí)，作直線CD.設(shè)點(diǎn)P(x,y)(x0)是直線y=x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)，以PQ為斜邊按圖（15.2）所示構(gòu)造等腰直角三角形PRQ.當(dāng)PBR與直線CD有公共點(diǎn)時(shí),求x的取值范圍；在的條

11、件下，記PBR與COD的公共部分的面積為S.求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。 【答案】解：.設(shè)以A(1,5)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為的圖像經(jīng)過了點(diǎn)B(5,5) 解得即：.如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn),與y軸交與點(diǎn)D,作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn),與x軸交與點(diǎn)C,連接AD,AC,CB,BA.四邊形ABCD的周長最小。A(1,5),B(5,1) .如圖直線AB的解析式為直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)PBR與直線CD有公共點(diǎn)，即() 例5 如圖，等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸正半軸是，B（4,2），一次函數(shù)的圖象平分它的面積，關(guān)于x的函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的值.【答

12、案】 解：過B作BEAD于E，連結(jié)OB、CE交于 點(diǎn)P， P為矩形OCBE的對(duì)稱中心，則過P點(diǎn)的直線平分矩形OCBE的面積.P為OB的中點(diǎn)，而B（4，2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）在RtODC與RtEAB中，OCBE，ABCDRtODCRtEAB（HL），SODCSEBA過點(diǎn)（0，-1）與P（2，1）的直線即可平分等腰梯形面積，這條直線為y=kx-12k-1=1，k=1又的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)，故當(dāng)m0時(shí)，y-x+1,其圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，1），（1，0）當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)的圖象為拋物線，且與y軸總有一個(gè)交點(diǎn)（0，2m+1）若拋物線過原點(diǎn)時(shí)，2m+1=0，即m=，此時(shí)（3m+1）2-4m(2

13、m+1)=0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且過原點(diǎn)，符合題意. 若拋物線不過原點(diǎn)，且與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，也合題意，此時(shí)（3m+1）2-4m(2m+1)=0解之得：m1=m2=-1綜上所述，m的值為m=0或或-1.() 例6 如圖，拋物線yax2c（a0）經(jīng)過梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（2,0），B（1, 3） (1）求拋物線的解析式；(2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3）在第（2）問的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使SPAD4SABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】 （1）、因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線上，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)適合拋物線方程 解之得

14、：；故為所求(2）如圖2，連接BD，交y軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求作的點(diǎn)設(shè)BD的解析式為，則有，故BD的解析式為；令則，故(3)、如圖3，連接AM，BC交y軸于點(diǎn)N，由（2）知，OM=OA=OD=2，圖3易知BN=MN=1，易求；設(shè)，依題意有：，即：解之得：，故 符合條件的P點(diǎn)有三個(gè)：鞏固練習(xí) 10min.1、() 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過P（，5）A（0，2）兩點(diǎn)。（1）求此拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為B，將直線AB沿y軸向下平移兩個(gè)單位得到直線l，直線l與拋物線的對(duì)稱軸交于C點(diǎn)，求直線l的解析式；（3）在（2）的條件下，求到直線OB，OC，BC距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)。x12

15、33421-1-2-3-2-4yBA（M2）M4M3CNOlM1【答案】解：（1）根據(jù)題意得解得所以拋物線的解析式為。（2）由得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。依題意，可得，且直線過原點(diǎn)。設(shè)直線的解析式為。則，解得。所以直線的解析式為。（3）到直線距離相等的點(diǎn)有四個(gè)。如圖，由勾股定理得，所以為等邊三角形。易證軸所在直線平分，軸是的一個(gè)外角的平分線。作的平分線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，作的相鄰?fù)饨堑钠椒志€，交軸于點(diǎn)，反向延長交軸于點(diǎn)?？傻命c(diǎn)就是到直線OB，OC，BC距離相等的點(diǎn)。可證，均為等邊三角形。可求得：，所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為。點(diǎn)M2與點(diǎn)A重合，所以點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（0，2）。點(diǎn)M3與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)M

16、3的坐標(biāo)為（0，-2）。設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為N。，且ON=M4N，所以點(diǎn)M4的坐標(biāo)為。綜上所述，到直線OB，OC，BC距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，M2（0，2），。2、()如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，點(diǎn),交軸于點(diǎn)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線過點(diǎn)F且與軸平行直線過點(diǎn)C，交軸于點(diǎn)D（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)K作軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G,求線段HG長度的最大值；圖 備用圖【答案】 解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式拋物線與軸交于點(diǎn)，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得所求函數(shù)表達(dá)式，即（2）點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C的坐

17、標(biāo)是將點(diǎn)C的坐標(biāo)是代入，得直線CD的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為，G點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，線段HG長度有最大值3、()在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A（1）如圖1，P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由（2）如圖2，P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)：求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)APxyKO圖1在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使MBP的面積是菱形ABCP面積的若存在，試求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由【答案】解：（1）P

18、分別與兩坐標(biāo)軸相切， PAOA，PKOK PAO=OKP=90 又AOK=90， PAO=OKP=AOK=90 四邊形OKPA是矩形 又OA=OK， 四邊形OKPA是正方形 OAPxyBC圖2GM（2）連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為過點(diǎn)P作PGBC于G四邊形ABCP為菱形，BC=PA=PB=PCPBC為等邊三角形在RtPBG中，PBG=60，PB=PA=x，PG=sinPBG=，即解之得：x=2（負(fù)值舍去） PG=，PA=BC=2 易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，OB=OGBG=1，OC=OG+GC=3 A（0，），B（1，0） C（3，0）設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c據(jù)題意得：解之得：a=， b=， c=二次函數(shù)關(guān)系式為： 解法一：設(shè)直線BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得： 解之得：u=， v=直線BP的解析式為：過點(diǎn)A作直線AMPB，則可得直線AM的解析式為：解方程組：得： ； 過點(diǎn)C作直線CMPB，則可設(shè)直線CM的解析式為： 0= 直線CM的解析式為：解方程組：得： ； 綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)，分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）解法二：，A（0，），C（3，0）顯然滿足條件延長A