有理數(shù)的加減法(基礎(chǔ))知識講解

1、有理數(shù)的加減法（基礎(chǔ)）撰稿：孫景艷 審稿：趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 掌握有理數(shù)加法的意義，法則及運(yùn)算律，并會使用運(yùn)算律簡算；2 掌握有理數(shù)減法的法則和運(yùn)算技巧，認(rèn)識減法與加法的內(nèi)在聯(lián)系；3 熟練將加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算，理解運(yùn)算符號和性質(zhì)符號的意義，運(yùn)用加法運(yùn)算 律合理簡 算，并會解決簡單的實(shí)際問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)的加法1. 定義：把兩個(gè)有理數(shù)合成一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算叫作有理數(shù)的加法2. 法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2） 絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對 值減去較小的絕對值互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得 0；（3） 一個(gè)數(shù)同 0

2、 相加，仍得這個(gè)數(shù)要點(diǎn)詮釋：利用法則進(jìn)行加法運(yùn)算的步驟：(1)判斷兩個(gè)加數(shù)的符號是同號、異號，還是有一個(gè)加數(shù)為零，以此來選擇用哪條法則 (2)確定和的符號(是“+”還是“”)(3)求各加數(shù)的絕對值，并確定和的絕對值(加數(shù)的絕對值是相加還是相減)3.運(yùn)算律：有理數(shù)加法運(yùn)算律加法交換律加法結(jié)合文字語言符號語言文字語言兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變a+bb+a三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加， 和不變律符號語言 (a+b)+ca+(b+c)要點(diǎn)詮釋：交換加數(shù)的位置時(shí)，不要忘記符號【高清課堂：有理數(shù)的加減 382681有理數(shù)的減法】要點(diǎn)二、有理數(shù)的減法1.定義： 已知兩個(gè)數(shù)的和與

3、其中一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法，例如：(-5)+? 7，求？，減法是加法的逆運(yùn)算要點(diǎn)詮釋：（1）任意兩個(gè)數(shù)都可以進(jìn)行減法運(yùn)算（2） 幾個(gè)有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：性質(zhì)符號；數(shù)字即數(shù)的 絕對值2.法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有：a -b =a +( -b)要點(diǎn)詮釋： 將減法轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，注意同時(shí)進(jìn)行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)”如：要點(diǎn)三、有理數(shù)加減混合運(yùn)算將加減法統(tǒng)一成加法運(yùn)算，適當(dāng)應(yīng)用加法運(yùn)算律簡化計(jì)算. -3 + +343 ； （2） 1 2 1 2 3 4 【典型例題】類型一、有理數(shù)的加法運(yùn)算 1計(jì)算：(1)(+20)+(

4、+12)； (2) 1 2 - + - 2 3 ； (3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0【答案與解析】（1）（2）屬于同一類型，用的是加法法則的第一條;（3）（4）屬于同一類， 用的是加法法則的第二條；（5）用的是第二條：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得 0；（6）用的是 法則的第三條(1)(+20)+(+12)+(20+12)+3232；(2) 1 2 1 2 - + - =- + =-1 2 3 2 3 16(3) (+2)+(-11)-(11-2)-9(4) (-3.4)+(+4.3)+(4.3-3.4)0.9(5

5、) (-2.9)+(+2.9)0；(6) (-5)+0-5【總結(jié)升華】絕對值不等的異號兩數(shù)相加，是有理數(shù)加法的難點(diǎn)，在應(yīng)用法則時(shí)，一定要先 確定符號，再計(jì)算絕對值舉一反三：【變式 1】計(jì)算： 1 1 【答案】 1 1 1 1 -3 + +3 =+ 3 -3 = 4 3 3 4 112【變式 2】計(jì)算：（1） (+10)+(-11)【答案】（1） (+10)+(-11)=(11-10)=1； 1 -1 + - 2 2 3 （2） -1 + - = - 1 + = - 1 + = -2 2 3 2 3 6 6 類型二、有理數(shù)的減法運(yùn)算2 計(jì)算：(1)(-32)-(+5)； (2)(+2)-(-25

6、)16【思路點(diǎn)撥】此題是有理數(shù)的減法運(yùn)算，先按照減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù) 的加法進(jìn)行計(jì)算 + -2 + -8432 32432 ( ) ( )【答案與解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【總結(jié)升華】算式中的“+”或“-”既可以看作運(yùn)算符號按法則進(jìn)行計(jì)算，也可以看作是性 質(zhì)符號按多重符號化簡進(jìn)行計(jì)算.類型三、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算3計(jì)算，能用簡便方法的用簡便方法計(jì)算.（1） 26-18+5-16 ； （2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）(3) 2 1 -1 +1 + +7 3 2 1 1 1 (4) 1 1 3.5

7、87 -( -5) + -5 +( +7) - +3 -( +1.587) 2 4 （5）1 3 2.25 +3 -28 4+1.875（6）-31 3 5 5 +5 +4 -62 4 6 18【答案與解析】（1） 26-18+5-16=(+26)+(-18)+5+(-16)=(26+5)+(-18)+(-16)= 31+(-34)=-3統(tǒng)一成加法 符號相同的數(shù)先加（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=(+7)+(-7)+(-21)+(+21) 互為相反數(shù)的兩數(shù)先加=0 2 1 1 1 1 （3） -1 +1 + +7 + -2 + -8 2 1 1 1 1 = -1 + -2 +

8、 1 + -8 + 73 3 2 2 4 1 3= -4 + -7 + 7 =-3 4 4同分母的數(shù)先加 （4） 1 1 3.587 -( -5) + -5 +( +7) - +3 -( +1.587) 2 4 1 1 =3.587 +5 + -5 +7 + -3 +( -1.587) 2 4 統(tǒng)一成加法 1 1 =3.587 +( -1.587) +(5 +7) + -5 + -32 4 整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)分別加 3 =2 +12 + -8 =5 4 14（5）1 2.25 +3 -2834+1.875=(2.25 -2.75) +(3.125 +1.875) =-0.5 +5 =4.5統(tǒng)一同

9、一形式（小數(shù)或分?jǐn)?shù)），把可湊整的放一起（6）1 3 5 5 -3 +5 +4 -62 4 6 181 3 5 5=-3- +5 + +4 + -6 -2 4 6 181 3 5 5=( -3+5 +4 -6) +( - + + - )2 4 6 18整數(shù)，分?jǐn)?shù)分別加=0 +-18 +27 +30 -1036=2936【總結(jié)升華】在進(jìn)行加減混合的運(yùn)算時(shí)，(1)先將各式中的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算；（2） 觀察各加數(shù)之間的關(guān)系，再運(yùn)用“技巧”適當(dāng)交換加數(shù)的位置，注意交換時(shí)各加數(shù)的帶著符 號一起交換舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)的加減 382681簡便方法計(jì)算】【變式】用簡便方法計(jì)算： (1)(-2.4

10、)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)(2) 23 5 5 3 2 + ( -1 ) + ( - ) + + ( -4 )4 8 6 8 3【答案】 (1) 原式=(-3.8)+ (-4.2)+ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（3 5 5 3 2 6 5 3 5 4- - + - ）=-3+ - + +(- - )=-3-1=-4 4 8 6 8 3 8 8 8 6 6類型四、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用4小蟲從點(diǎn) o 出發(fā)在一條直線上來回爬行，向右爬行的路程記為正，向左爬行

11、的路 程記為負(fù)，爬行的各段路程依次為：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.（單位：cm）(1) 小蟲最后是否回到出發(fā)地 o？為什么？(2) 小蟲離開 o 點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)是多少？(3) 在爬行過程中，如果每爬行 1 cm 獎(jiǎng)勵(lì) 1 粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？ 【思路點(diǎn)撥】題目中給出的各數(shù)由兩部分組成：一是性質(zhì)符號，表示的爬行的方向，二是絕 對值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接將它們相加得到的和也包括兩層含義：方向和 路程大?。蝗糁话阉鼈兊慕^對值相加，則最后結(jié)果只表示路程的大小.【答案與解析】解：（1）(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)

12、=(5+10+12)+(-3-8-6-10)=27-27=00 表示最后小蟲又回到了出發(fā)點(diǎn) o答：小蟲最后回到了出發(fā)地 o.（2） (+5)+(-3)+2；(+5)+(-3)+(+10)+12；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+4；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)2；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+10；(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)0.因?yàn)榻^對值最大的是+12，所以小蟲離開 o 點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)是向右 12cm;(3)cm，+5 +-3 +10 +-8 +-6 +12 +-10 =54（cm）, 所

13、以小蟲爬行的總路程是 54由1 54 =54（粒）答：小蟲一共可以得到 54 粒芝麻.【總結(jié)升華】利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以解決很多現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，這就需要我 們認(rèn)真觀察、大膽分析和設(shè)想舉一反三：【變式 1】華英中學(xué)七年級(14)班的學(xué)生分成五組進(jìn)行答題游戲，每組的基本分為 100 分， 答對一題加 50 分，答錯(cuò)一題扣 50 分，游戲結(jié)束后各組的得分如下表：第 1 組100第 2 組150第 3 組350第 4 組-400第 5 組-100(1) 第一名超過第二名多少分?(2) 第一名超過第五名多少分?【答案】由表看出：第一名 350 分，第二名 150 分，第五名-400 分 (1) 350-150200(分)(2) 350-(-400)350+400750(分)答：第一名超過第二名 200 分；第一名超過第五名 750 分 【變式 2】某產(chǎn)糧專業(yè)戶出售糧食 8 袋，每袋重量(單位：千克)如下：197，202，197，203，200