13格林公式及其應用

1、 10.3 格林公式及其應用一、格林公式 牛頓、萊布尼茲公式 一元微積分學中最基本的公式 bF(x)dx?F(b)?F(a)?a a,b)F(x?F(x)在這個區(qū)間的兩個端點表明：函數(shù)上的定積分可通過原函數(shù)在區(qū)間處的值來表示。 DDL上的曲線的邊界曲線無獨有偶,在平面區(qū)域上的二重積分也可以通過沿區(qū)域積分來表示,這便是我們要介紹的格林公式。 1、單連通區(qū)域的概念 DDDD為平面單,設如果為平面區(qū)域,則稱內(nèi)任一閉曲線所圍的部分區(qū)域都屬于 。復連通區(qū)域連通區(qū)域；否則稱為 通俗地講,單連通區(qū)域是不含“洞”(包括“點洞”)與“裂縫”的區(qū)域。 2、區(qū)域的邊界曲線的正向規(guī)定 DLLL的這個方向行走:的正向為

2、當觀察者沿,設是平面區(qū)域的邊界曲線規(guī)定D 內(nèi)位于他附近的那一部分總在他的左邊。,時 。區(qū)域在左手,人沿曲線走,簡言之:區(qū)域的邊界曲線之正向應適合條件 、格林公式3 )yx,Q()x,yP(DDL上具有在】設閉區(qū)域由分段光滑的曲線函數(shù)圍成,及【定理 則有一階連續(xù)偏導數(shù),?PQQdyPdx?)dxdy?(? ?xyLD (1) DL的取正向的邊界曲線。其中是 。公式格林(green)公式(1) 叫做?Pdxdy?Pdx? ?yLD 】先證【證明yD軸的直線穿過區(qū)域,用平行于與區(qū)域邊界曲線的交點至多(假定區(qū)域的形狀如下 )兩點 我們僅對圖一所表示的,易見,圖二所表示的區(qū)域是圖一所表示的區(qū)域的一種特殊

3、情況D 區(qū)域給予證明即可。?)xb,(x)?y?D:a?x?21 ?)x(bb?PP2?)x(?dxP(x,y)?dxdy?dxdy?2?)x( ?yy1?axa)D(1 b?dx)(xPx,(x)?Px?12a 據(jù)對坐標的曲線積分性質(zhì)與計算法有另一方面,Pdx?Pdx?Pdx?PdxPdx? EA弧ABBCL弧CE ab?0?Px,x()dx?Px,(x)dx?0?21ba b?dxx,)(xx?P,P(x)?12a ?PPdx?dxdy? ?yDL 因此 xDD,軸的直線與的內(nèi)部且平行于的邊界曲線的交點至多是兩點再假定穿過區(qū)域 用類似的方法可證?QQdx?dxdy? ?xLD 綜合有yxD

4、D的任何直線的的邊界曲線與穿過軸內(nèi)部且平行于坐標軸( )當區(qū)域軸或 時,我們有交點至多是兩點?QPQdx?Pdxdxdydxdy? ?yxLDDL , 同時成立。 將兩式合并之后即得格林公式?PQQdy?Pdx?(?)dxdy? ?xyLD 即穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過若區(qū)域不滿足以上條件,注:使得每個部分區(qū)域可在區(qū)域內(nèi)引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區(qū)域,兩點時, ,仍可證明格林公式成立。適合上述條件因此其應用十分地廣泛。格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯(lián)系, ?PQ2?(?1)?1 ?yxxQ?y?P?則格林公式為, 若取 ydx?2dxdy

5、xdy?LD 1ydx?A?xdy? 2DL 的面積為 故區(qū)域3?tcosx?a?3?t?asiny?A 【例1】求星形線 所圍成的圖形面積。 (x,y)?2tL0,依逆時針方向描出了整個封閉曲線時從,變到點故解:當 1xdy?ydxA? 2L ?213232tsintdtcos3()a?tdtsin3?cos(?at)(atcos)(sint?a)? 20 2?2a32244dttt?sintcos?costsin? 20 ?2 ?22a322222tdtsin6acost?costsintdt? 200 2?a132?6a 84!2 】設是任意一條分段光滑的閉曲線,證明【例220?xdy2

6、xydx?L 2xQ?2xy,P, 這里 證明:?PQ0?2x?2x ?yx 22xydx?xdy?0dxdy?0?DL 從而 DL所圍成的區(qū)域。這里 是由二、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 1、對坐標的曲線積分與路徑無關(guān)的定義 )y(x,Q)yP(x,GG,、在是一個開區(qū)域, 函數(shù)【定義一】設內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)LLBBGGAA21等式點的任意兩條曲線、點到以及,如果對于內(nèi)任意兩點內(nèi)從、 Qdy?Pdx?Pdx?Qdy?LL21 QdyPdx?GL。稱與路徑有關(guān)恒成立,就稱曲線積分在與路徑無關(guān)內(nèi)；否則, 定義一還可換成下列等價的說法 , 那么若曲線積分與路徑無關(guān)QdyPdx?Pdx?Qdy?L

7、L12 0?Pdx?QdyQdy?Pdx?LL12 0?Pdx?Qdy?L?L21 ?)L?LQdy?0(L?Pdx?21L ?L?LGG21內(nèi)沿,如果在區(qū)域所構(gòu)成的閉合曲線上曲線積分為零。反過來即: 在區(qū)域內(nèi)由G內(nèi)的曲線積分與路徑無關(guān)。也可方便地導出在任意閉曲線的曲線積分為零, QdyPdx?GGL一條閉曲線對于任意在內(nèi)內(nèi)與路徑無關(guān)是指定義二【】曲線積分,C恒有, Pdx?Qdy?0?C。 2、曲線積分與路徑無關(guān)的條件 Q(x,y)(Px,yGG內(nèi)具有一階連續(xù)在、函數(shù), 單連通域是一個】設開區(qū)域定理【Qdy?Pdx?GL與路徑無關(guān)的充分必要條件是等式則在內(nèi)曲線積分偏導數(shù), Q?Pxy G 內(nèi)

8、恒成立。在 先證充分性證明:DGGGCC內(nèi)。所圍成的區(qū)域內(nèi)任取一條閉曲線故閉曲線,因全部在單連通,在QP?Dxy 上恒成立。 從而 在 由格林公式,有Pdx?Qdy?C ?Q?Pdxdy?0dxdy?0?yxDD Pdx?Qdy?GL與路徑無關(guān)。內(nèi)曲線積分依定義二,在 采用反證法再證必要性()P?QMxyGG0內(nèi)至少存在一點那么不恒成立,使,假設在內(nèi)等式 Q?P?0yxM0 ?QP?0yxM0 不妨設 PQ?MKyxGG0使得為圓心內(nèi)連續(xù)在,由于在,內(nèi)存在一個以半徑充分小的圓域,K 在上恒有?Q?Pyx 2 由格林公式及二重積分性質(zhì)有?0dxdy?dxdy?dxdy?Pdx?Qdy?Q?P?y

9、x 222K?KK ?KK? 是的面積。是的正向邊界曲線這里,GG內(nèi)等式內(nèi)任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾。這與故在 Q?Pxy 應恒成立。定理所需要的兩個條件: 注明? 區(qū)域 為單連通域 函數(shù) 在 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導 缺一不可。xdy?ydx?I 22y?xL是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針【反例】討論, 其中L 的。?yx,?Q?P 2222yxx?y 這里 22222222xy?y?)y(2y)?(xxyx)?y)?x(x(2P?Q? yx222222222222)(x?yy(x?)x)?(xy(?y, Q?,QPPLyxyx。,除去原點外,且 在所圍成的區(qū)域內(nèi)存在、連續(xù)

10、 222?y?:xL ,作一半徑充分小的圓周在 內(nèi)?L 在由所圍成的復連通域內(nèi)使用格林公式有與0dxdy?Pdxdy?0QdyPdx?Q?yx?DD?L? ?0,?LL? ?cosx?ydx?xdy?ydxxdy(?I?)? 2222?siny?y?yx?x?L ?2?d?(cos)d)?sinsincos? 2?0 ?2?0?2?d0 三、二元函數(shù)的全微分求積 ?Pdx?QdyIG內(nèi)與路徑無關(guān),那它僅與曲線的起點與終點若曲線積分在開區(qū)域LA(x,y)LB(x,y)可用記號終點為,的坐標有關(guān)。假設曲線的起點為0011 (x,y)11B?QdyPdx?Pdx?Qdy)(x,yA 或00來表示,而

11、不需要明確地寫出積分路徑。 顯然,這一積分形式與定積分非常相似, 事實上,我們有下列重要定理 G)y(x,(x,y)QPG內(nèi)具有一階連續(xù)偏導函數(shù)、】設【定理一在是一個單連通的開區(qū)域,?P?Q? xy? 且 ，則數(shù),(x,y)?Pdx?Qdyx,y)U()(x,y 00(x,y),y(xG00內(nèi)一固定點,這里且是為 ,的單值函數(shù)UU?Q?P, y?x dU?Pdx?Qdy 亦即 A(x,y)B(x,y)G00為終點的曲線點為起點,【證明】依條件知對,內(nèi)任意一條以點Pdx?Qdy?LLLL的起點和終點的坐標有關(guān),亦即與路徑 曲線積分, , 無關(guān),僅與U(x,y)(x,y)的單值函數(shù)。確為點 ?U?

12、P(x,y) ?x 下面證明(x,y)Pdx?Qdy?A(x,y)B(x,y)y(x,G0000的由于內(nèi)任何路徑到點沿可以認為是從點曲線積分,取如下路徑,有 (x?x,y)U(x?x,y)?Pdx?Qdy?)yx,(00 ?Pdx?Qdy?Pdx?Qdy? LBB? x?xdxy)?P(x,?U(x,y?x?10?)?x()?Px?(?x,yU?(x,y ?UU(x?x,y)?U(x,y)?lim ?x?x0x? ?x,y)?P(x,y)x?limP(?x?0 ?U?Q(x,y) ?y 類似地可證明?UUdu?dx?dy?Pdx?Qdy ?yx 因此 Q(x,y)P(x,yGG上具有一階連續(xù)偏

13、導數(shù)【定理二是單連通的開區(qū)域,】設,、在Pdx?QdyU(x,y)G全微分的充要條件是在 則內(nèi)為某一函數(shù)?QP? ?xy G內(nèi)恒成立。 在 【證明】顯然,充分性就是定理一 下面證明必要性dU?Pdx?Qdy)U(x,y,則使得 若存在?UU?P,?Q ?yx 22?QUUP?,? ?xyyyxx ?QP ?xyG 由于 內(nèi)連續(xù)、, 在 則二階混合偏導數(shù)適合等式22?UU? ?xyxy ?QP? ?xy 從而Q(x,y)P(x,yGG內(nèi)具有一階連、在是一個單連通的開區(qū)域, 函數(shù)【定理三】設F(x,y)使得 , 若存在二元函數(shù)續(xù)偏導數(shù)dF?Pdx?Qdy (x,y)11(x,y),y)(x,y?F

14、(x?yPdx?Qdy?F(x,)F 11?0110)y(x,00),(xy00 則 (x,y)(x,y)G1001內(nèi)的任意兩點。是 其中、(x,y)U(x,y)?Pdx?Qdy?)(xy,00 ,證明【】由定理1知函數(shù)dU?Pdx?Qdy 適合d(U?F)?0dFdU? 于是 或 ?F?UCC是某一常數(shù) ) (因此 U(x,y)?F(x,y)?C1111 U(x,y)?F(x,y)?C0000 U(x,y)?U(x,y)?F(x,y)?F(x,y)00101110 即),y(x11Pdx?y)?QdyU(x,?11),y(x00 而(x,y)00Pdx?Qdy?0U(x,y)?00)y(x,

15、00 (x,y)(x,y)G0000構(gòu)成一條封閉曲線,沿任意故這是因為由點內(nèi)的路徑回到點 U(x,y)?000 ),xy(11Pdx?Qdy?F(x,y)?F(x,y)?0011)yx,(00 因此 Pdx?QdyU(x,y)的方法】【確定的全微分函數(shù) )yx,(U(x,y)?Pdx?Qdy?)yx,(00,而右端的曲線積分與路徑無關(guān),為了計算簡便,因為可取平行于坐標軸的直線段所連成的折線作為積分路徑(當然折線應完全屬于單連通區(qū)域)。 yxdyy),(Qdx),(P),(Uxy?xy?x?0yx00 yxdxy)(x,x,y)dy?P(U(x,y)?Q?0xy00 或 22xydx?xydyxoy【例3】驗證:在整個面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分,并求出一個這, 樣的函數(shù)。 22P?xy,Q?xy解: P?2xy?Qxoyxoyxy面上個, 因此,在在整個且整面內(nèi)恒成立。, 2