中考中的費馬點詳解加練習

1、.皮耶德費馬（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業(yè)余數學家。之所以稱業(yè)余，是由于皮耶德費馬具有律師的全職工作。他的姓氏根據法文與英文實際發(fā)音也常譯為“費爾瑪”（注意“瑪”字）。費馬最后定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名“最后”的意思是：其它猜想都證實了，這是最后一個。著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱皮耶德費馬為”業(yè)余數學家之王。“貝爾深信，費馬比皮耶德費馬同時代的大多數專業(yè)數學家更有成就，然而皮耶德費馬并未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀是杰出數學家活躍的世紀，因而貝爾認為費馬是1

2、7世紀數學家中最多產的明星。費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾德費馬在一封寫給意大利數學家埃萬杰利斯塔托里拆利（氣壓計的發(fā)明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯坦納重新發(fā)現了這個問題，并系統(tǒng)地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動了聯合數學的發(fā)展，在近代數學史上具有里程碑式的意義。“費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點。若給定一個三角形ABC的話，從這個三角形的費馬點P到三角形的三個頂點A、B、C的距離之和比從其它點算起的都要小。這個特殊點對于每個給定的三角形都只

3、有一個。1. 若三角形3個內角均小于120，那么3條距離連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。2. 若三角形有一內角大于等于120，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。在1的條件下畫圖找費馬點如圖以任意兩邊為邊向兩邊做等邊三角形ABD和等年三角形ACE，則CD,BE交點P即為所求2若在120的鈍角三角形中，其頂點即是。另外，當剛好120,且三角形BCD為等邊三角形時，有個結論：AD=AB+AC我們拓展一道幾何題，第二問對很多學生或者老師還是很酥爽的。圖12011房山一摸2009石景山25（本小題滿分7分）已知：等邊三

4、角形ABC如圖1，P為等邊ABC外一點，且BPC=120試猜想線段BP、PC、AP之間的數量關系,并證明你的猜想；圖2（2）如圖2，P為等邊ABC內一點，且APD=120 求證：PA+PD+PCBD 我們回到正題：費馬點25.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在軸的正半軸上，為的中線，過、兩點的拋物線與軸相交于、兩點（在的左側）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊的頂點、在線段上，求及的長；（3）點為內的一個動點，設，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長. 2013房山一摸24（1）如圖1，ABC和CDE都是等邊三角形，且B、C、D三點共線，聯結AD、BE相交于點P，求證：BE

5、=AD（2）如圖2，在BCD中，BCD120，分別以BC、CD和BD為邊在BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，聯結AD、BE和CF交于點P，下列結論中正確的是 （只填序號即可）AD=BE=CF；BEC=ADC；DPE=EPC=CPA=60；（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：PB+PC+PD=BE29. 閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在ABC（其中BAC是一個可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊PBC，求AP的最大值。 小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點B為旋轉中心將ABP逆時針旋轉

6、60得到ABC,連接AA,當點A落在AC上時,此題可解（如圖2）(1)請你回答：AP的最大值是 (2)參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題： 如圖3，等腰RtABC邊AB=4,P為ABC內部一點，請寫出求AP+BP+CP的最小值長的解題思路. 提示:要解決AP+BP+CP的最小值問題，可仿照題目給出的做法.把ABP繞B點逆時針旋轉60，得到. 請畫出旋轉后的圖形 請寫出求AP+BP+CP的最小值的解題思路（結果可以不化簡）.2016一月昌平28. 已知，點O是等邊ABC內的任一點，連接OA，OB，OC.（1） 如圖1，已知AOB=150，BOC=120，將BOC繞點C按順時針方向旋轉60得

7、ADC. DAO的度數是 ；用等式表示線段OA，OB，OC之間的數量關系，并證明；（2） 設AOB=，BOC=.當，滿足什么關系時，OA+OB+OC有最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；若等邊ABC的邊長為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值.2017年一月昌平29如圖1，在ABC中，ACB=90，點P為ABC內一點（1）連接PB，PC，將BCP沿射線CA方向平移，得到DAE，點B，C，P的對應點分別為點D，A，E，連接CE 依題意，請在圖2中補全圖形； 如果BPCE，BP=3，AB=6，求CE的長（2）如圖3，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以點A

8、為旋轉中心，將ABP順時針旋轉60得到AMN，那么就將PA+PB+PC的值轉化為CP+PM+MN的值，連接CN，當點P落在CN上時，此題可解請你參考小慧的思路，在圖3中證明PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接寫出當AC=BC=4時，PA+PB+PC的最小值延伸一下2017年一月海淀28在ABC中，AB=AC，BAC=，點P是ABC內一點，且連接PB，試探究PA，PB，PC滿足的等量關系圖1 圖2（1）當=60時，將ABP繞點A逆時針旋轉60得到，連接，如圖1所示由可以證得是等邊三角形，再由可得APC的大小為 度，進而得到是直角三角形，這樣可以得到PA，PB，PC滿足的等量關系為 ；（2）如

9、圖2，當=120時，請參考（1）中的方法，探究PA，PB，PC滿足的等量關系，并給出證明；（3）PA，PB，PC滿足的等量關系為 2016年順義一摸28已知：在ABC中，BAC=60（1） 如圖1，若AB=AC，點P在ABC內，且APC=150，PA=3，PC=4，把APC繞著點A順時針旋轉，使點C旋轉到點B處，得到ADB，連接DP 依題意補全圖1； 直接寫出PB的長；（2） 如圖2，若AB=AC，點P在ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求APC的度數；（3） 如圖3，若AB=2AC，點P在ABC內，且PA=，PB=5，APC=120，請直接寫出PC的長 26、如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60得到BN，連接E