第11講三次數(shù)學(xué)危機(jī)與悖論欣賞

1、悖論的歷史源遠(yuǎn)流長，它的起源可以一直追溯到古希臘和中國先秦時(shí)代。“悖論”一詞源于希臘文，意為“無路可走”，轉(zhuǎn)義是“四處碰壁，無法解決問題”。 悖論的定義有很多說法，影響較大的有以下幾種，如“悖論是指這樣一個(gè)命題A,由A出發(fā)可以找到一語句B，然后，若假定B真，就可推出B真,亦即可推出B假。若假定B真，即B假，又可推導(dǎo)出B真”。又如“悖論是一種導(dǎo)致邏輯矛盾的命題，這種命題，如果承認(rèn)它是真的，那么它又是假的；如果承認(rèn)它是假的，那么它又是真的?！痹偃纭叭绻骋焕碚摰墓砗屯评碓瓌t看上去是合理的，但在這個(gè)理論中卻推出了兩個(gè)互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式，那

2、么，我們就說這個(gè)理論包含了一個(gè)悖論?！?上述各種悖論定義，都有其合理的一面，但又都不十分令人滿意。從潛科學(xué)的觀點(diǎn)來看，悖論是一種在已有科學(xué)規(guī)范中無法解決的認(rèn)識矛盾，這種認(rèn)識矛盾可以在新的科學(xué)規(guī)范中得到克服，這是悖論的廣義定義。 悖論有其存在的客觀性和必然性，它是科學(xué)理論演進(jìn)中的必然產(chǎn)物，在科學(xué)發(fā)展史上經(jīng)常出現(xiàn)，普遍存在于各門科學(xué)之中。不僅在語義學(xué)、形式邏輯和數(shù)理邏輯等領(lǐng)域出現(xiàn)悖論，而且在物理學(xué)、天文學(xué)、系統(tǒng)論和哲學(xué)等領(lǐng)域也經(jīng)常出現(xiàn)悖論。,歷史上，數(shù)學(xué)的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機(jī)。危機(jī)也意味著挑戰(zhàn)，危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以，危機(jī)往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危機(jī)

3、。每一次數(shù)學(xué)危機(jī)，都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)疑。實(shí)際上，也恰恰是這三次危機(jī)，引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。,一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī),第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由 不能寫成兩 個(gè)整數(shù)之比引發(fā)的，我們在第一章已專 門討論過，現(xiàn)再簡要回顧一下。,這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機(jī) 來源于：當(dāng)時(shí)認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整 數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn) 不能表為整數(shù)比。 其實(shí)質(zhì)是： 是無理數(shù)，全體整數(shù)之比 構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需 要添加無理數(shù)。,當(dāng)時(shí)古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機(jī)。他采用了一個(gè)十分巧妙的關(guān)于“兩個(gè)量之比”的新說法，回避了 是無理數(shù)的實(shí)質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。

4、這樣做的結(jié)果，使幾何的基礎(chǔ)牢靠了，幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的幾何原本中也采用了這一說法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 但是徹底解決這一危機(jī)是在19世紀(jì)，依賴實(shí)數(shù)理論的建立。,二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī),第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓 “無窮小量”說法的質(zhì)疑引起的。,1危機(jī)的引發(fā) 1）牛頓的“無窮小” 牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們來看一個(gè)例子。 微積分的一個(gè)來源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)

5、刻的瞬時(shí)速度。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，無法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。,例如，設(shè)自由落體在時(shí)間 下落的距離為 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我們要求物體在 的瞬時(shí)速度，先求 。 （*）,當(dāng) 變成無窮小時(shí)，右端的 也變成無窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為是 ，這就是物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度，它是兩個(gè)無窮小之比。 牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到責(zé)難。,2）貝克萊的發(fā)難 英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。 貝克萊問道：“無窮小”作為一個(gè)量，究竟是不是0？,如果是0，上式左端當(dāng) 成無窮小后分母為0，就沒有意義了。如果不是0，上式右端

6、的 就不能任意去掉。,在推出上式時(shí)，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 為前提的。那么，為什么又可以讓 而求得瞬時(shí)速度呢？,因此，牛頓的這一套運(yùn)算方法，就如同從 出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。,（*）,貝克萊的質(zhì)問是擊中要害的,數(shù)學(xué)家在將近200年的時(shí)間里，不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。 直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。 直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“ ”語言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。,3）實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn) 應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，貝克萊的責(zé)難是有道理的?！盁o窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時(shí)的其它數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說清“無窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它

7、，只是由于它使用起來方便有效，并且得出的結(jié)果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。”,2危機(jī)的實(shí)質(zhì) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是 “ 不是有理數(shù)，而是無理數(shù)”。那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。,3危機(jī)的解決 1）必要性 微積分雖然在發(fā)展，但微積分邏輯基礎(chǔ)上存在的問題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。,而且，隨著時(shí)間的推移，研究范圍的擴(kuò)大，類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無窮級數(shù)的時(shí)

8、候，做出許多錯(cuò)誤的證明，并由此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。由于沒有嚴(yán)格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們在有限與無限之間任意通行（不考慮無窮級數(shù)收斂的問題）。,因此，進(jìn)入19世紀(jì)時(shí)，一方面微積 分取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方 面，大量的數(shù)學(xué)理論沒有正確、牢固的邏 輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無 誤的。 歷史要求為微積分學(xué)說奠基。,2）嚴(yán)格的極限理論的建立 到19世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、 天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限 理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。 應(yīng)該指出，嚴(yán)格的極限理論的建立是 逐步的、漫長的。, 在18世紀(jì)時(shí)，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。 達(dá)朗貝爾在1754年指出，

9、必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。 19世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫的無窮的悖論一書中包含許多真知灼見。, 而做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是法國數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在18211823年間出版的分析教程和無窮小計(jì)算講義是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。,3）嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論的建立 對以往理論的再認(rèn)識 后來的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認(rèn)識到，極限理論的進(jìn)一步嚴(yán)格化，需要實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格化

10、。微積分或者說數(shù)學(xué)分析，是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，表明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。,一件事是，1874年德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）構(gòu)造了一個(gè) “點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。 “連續(xù)函數(shù)”在直觀上是“函數(shù)曲線沒有間斷，連在一起”，而“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)”直觀上是“函數(shù)曲線在該點(diǎn)有切線”。所以，在直觀上“連續(xù)”與“可導(dǎo)”有密切的聯(lián)系。 這之前甚至有人還證明過：函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)上都可導(dǎo)（當(dāng)然是錯(cuò)誤的）。因此根本不可想象，還會有“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。,另一件事是德國數(shù)學(xué)家黎曼（B.Rieman

11、n，18261866）發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒有必要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。 黎曼還造出一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量取無理數(shù)時(shí)它是連續(xù)的，當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)它是不連續(xù)的。, “貝克萊悖論”的消除 回到牛頓的（*）式上： （*） 這是在 （即 ）條件下，得到的等式；它表明 時(shí)間內(nèi)物體的平均速度為 。（*）式等號兩邊都是的函數(shù)。然后，我們把物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度定義為：上述平均速度當(dāng) 趨于0時(shí)的極限，即 物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度= 。,總之，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固?？挛鞯呢暙I(xiàn)在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于，邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)系，

12、建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，使之成為極限理論的基礎(chǔ)。所以，建立數(shù)學(xué)分析（或者說微積分）基礎(chǔ)的“邏輯順序”是： 實(shí)數(shù)理論極限理論微積分。 而“歷史順序”則正好相反。,知識的邏輯順序與歷史順序有時(shí)是不同的.,三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī),1“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光集合論 到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。,其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對象，微積分

13、以變數(shù)、函數(shù)為對象，幾何以點(diǎn)、線、面及其組成的圖形為對象。同時(shí)，用集合論的語言，算術(shù)的對象可說成是“以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成的集合”；微積分的對象可說成是“以函數(shù)等組成的集合”；幾何的對象可說成是“以點(diǎn)、線、面等組成的集合”。這樣一來，都是以集合為對象了。集合成了更基本的概念。,于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)砹耸锕猓嚎赡軙粍谟酪莸財(cái)[脫“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的危機(jī)。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認(rèn)為這只是時(shí)間問題。龐加萊甚至在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上宣稱：“現(xiàn)在 我們可以說，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了！”,3 羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī) 1） 悖論引起震憾和危機(jī) 正當(dāng)弗雷格即將出版他的算術(shù)基 礎(chǔ)一

14、書的時(shí)候，羅素的集合論悖論出來 了。這也是龐加萊宣布“完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué) 已經(jīng)建立起來！”之后剛剛兩年，即1902 年。,集合論中居然有邏輯上的矛盾！ 傾刻之間，算術(shù)的基礎(chǔ)動(dòng)搖了，整個(gè) 數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)似乎也動(dòng)搖了。這一動(dòng)搖所帶 來的震憾是空前的。許多原先為集合論興 高采烈的數(shù)學(xué)家發(fā)出哀嘆：我們的數(shù)學(xué)就 是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？ 羅素悖論引發(fā)的危機(jī)，就稱為第三次 數(shù)學(xué)危機(jī)。,羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫信告訴弗雷 格。弗雷格在他的算術(shù)基礎(chǔ)一書的末 尾無可奈何地寫道：“一個(gè)科學(xué)家遇到的 最不愉快的事莫過于，當(dāng)他的工作完成 時(shí)，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書即將印刷時(shí)，羅 素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境 地?！?2）

15、羅素悖論 在敘述羅素悖論之前,我們先注意到 下邊的事實(shí)：一個(gè)集合或者是它本身的成 員(元素),或者不是它本身的成員(元素)， 兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集 合”，把后者稱為“正常集合”。,羅素悖論是：以 表示“是其本身成員的 所有集合的集合”（所有異常集合的集合）， 而以 表示“不是它本身成員的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 或者屬于 ，或者屬于 ，兩者必居其一，且 只居其一。然后問：集合 是否是它本身的 成員？（集合 是否是異常集合？）,羅素悖論的通俗化“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？ 如

16、果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。,4 危機(jī)的消除 危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。 人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來。,這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問題的余地。

17、 羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征（悖論的實(shí)質(zhì)）是“自我指謂”。即，一個(gè)待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義，造成惡性循環(huán)。 例如，悖論中定義“不屬于自身的集合”時(shí)，涉及到“自身”這個(gè)待定義的對象。,為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托 “樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構(gòu) 造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)“所有 集合的集合”、“一切屬于自身的集合”這 樣的集合。,1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為Z-系統(tǒng)。 1922年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進(jìn)一條公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合論的

18、ZF-系統(tǒng)。再后來，還有改進(jìn)的ZFC-系統(tǒng)。 這樣，大體完成了由樸素集合論到公理集合論的發(fā)展過程，悖論消除了。,但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評論道：“為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼”。 這就是說，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，并不是完全令人滿意的。,四、 三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無窮”的聯(lián)系,我們過去就說過，無窮與有窮有本質(zhì) 的區(qū)別。 現(xiàn)在我們可以總結(jié)說，三次數(shù)學(xué)危機(jī) 都與無窮有關(guān)，也與人們對無窮的認(rèn)識有 關(guān)。,第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是不認(rèn)識無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它可以看成是無窮個(gè)有理數(shù)組成的數(shù)列的極限。 由于當(dāng)時(shí)尚未

19、真正認(rèn)識無窮，所以那時(shí)對第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決并不徹底；第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決，是在危機(jī)產(chǎn)生二千年后的19世紀(jì)，建立了極限理論和實(shí)數(shù)理論之后。實(shí)際上，它差不多是與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)同時(shí)，才被徹底解決的。,第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害，是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。貝克萊的責(zé)難，也集中在“無窮小量”上。 由于無窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別，所以，極限的嚴(yán)格定義，極限的存在性，無窮級數(shù)的收斂性，這樣一些理論問題就顯得特別重要。,第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害，是“所有不屬于自身的集合”這樣界定集合的說法有毛病。而且這里可能涉及到無窮多個(gè)集合，人們犯了“自我指謂”、惡性循環(huán)的錯(cuò)誤。 以上事實(shí)

20、告訴我們，由于人們習(xí)慣于有窮，習(xí)慣于有窮情況下的思維，所以一旦遇到無窮時(shí)，要格外地小心；而高等數(shù)學(xué)則是經(jīng)常與無窮打交道的。,五、著名悖論欣賞,1.無窮級數(shù)的力量 令x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 則有：2x = 2 + 4 + 8 + 16 + 于是：2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + ) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ) = -1也就是說：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + = -1,2.復(fù)數(shù)才是王道 考慮方程x2 + x + 1 = 0移項(xiàng)有x2 = - x - 1等式兩邊同時(shí)除以 x ，有x = - 1 - 1/x把上式

21、代入原式中，有x2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0即x2 - 1/x = 0即x3 = 1也就是說 x = 1。把 x = 1 代回原式，得到 12 + 1 + 1 = 0 。也就是說， 3 = 0 ，嘿嘿！,其實(shí)， x = 1 并不是方程 x2 + x + 1 = 0 的解。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程 x2 + x + 1 = 0 是沒有解的，但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩個(gè)解。另一方面， x = 1 只是 x3 = 1 的其中一個(gè)解。 x3 = 1 其實(shí)一共有三個(gè)解，只不過另外兩個(gè)解是復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的?？紤]方程 x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1) = 0 ，容易看出 x3 = 1

22、的兩個(gè)復(fù)數(shù)解正好就是 x2 + x + 1 的兩個(gè)解。因此， x2 + x + 1 = 0 與 x3 = 1 同時(shí)成立并無矛盾。注意，一旦引入復(fù)數(shù)后，這個(gè)謬論才有了一個(gè)完整而漂亮的解釋。或許這也說明了引入復(fù)數(shù)概念的必要性吧。,3.頗具喜劇色彩的錯(cuò)誤1 + 2 + 3 + + n = n(n+1) / 2讓我們用 n - 1 去替換 n ，可得1 + 2 + 3 + + (n-1) = (n-1)n / 2等式兩邊同時(shí)加 1 ，得：1 + 2 + 3 + + n = (n-1)n / 2 + 1也就是n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1展開后有n2 / 2 + n / 2 =

23、n2 / 2 - n / 2 + 1可以看到 n = 1 是這個(gè)方程的唯一解。也就是說 1 + 2 + 3 + + n = n(n+1) / 2 僅在 n = 1 時(shí)才成立！,這個(gè)推理過程中出現(xiàn)了一個(gè)非常隱蔽而搞笑的錯(cuò)誤。等式兩邊同時(shí)加 1 后，等式左邊得到的應(yīng)該是1 + 2 + 3 + + (n-2) + (n-1) + 1,1 塊錢等于 1 分錢？ 我要用數(shù)學(xué)的力量掏空你的錢包！請看：1 元 = 100 分 = (10 分)2 = (0.1 元)2 = 0.01 元 = 1 分,用這個(gè)來騙小孩子們簡直是屢試不爽，因?yàn)樾W(xué)（甚至中學(xué)）教育忽視了一個(gè)很重要的思想：單位也是要參與運(yùn)算的。事實(shí)上，

24、 “100 分 = (10 分)2” 是不成立的， “10 分” 的平方應(yīng)該是 “100 平方分” ，正如 “10 米” 的平方是 “100 平方米” 一樣。,5.一個(gè)可怕的邏輯錯(cuò)誤下面這個(gè)勾股定理的“證明”曾經(jīng)發(fā)表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 雜志上：假設(shè)勾股定理是正確的，于是我們可以得到AB2 = AC2 + BC2BC2 = CD2 + BD2AC2 = AD2 + CD2把后兩式代入第一個(gè)式子，有,AB2 = AD2 + 2CD2 + BD2但 CD2 = ADBD ，因此AB2 = AD2 + 2ADBD + BD2即AB2 = (AD + BD)2即AB = AD + BD而這顯然成立。因此，我們的假設(shè)也是成立的。,這個(gè)證明是錯(cuò)誤的。假設(shè)結(jié)論正確，推出一個(gè)矛盾，確實(shí)能說明這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)誤的（這就是反證法）；但假設(shè)結(jié)論正確，推出它與條件吻合，這卻并不能說明假設(shè)真的就是正確的。錯(cuò)誤的假設(shè)也有可能推出正確的結(jié)果來。最經(jīng)典的例子就是，不妨假設(shè) 1 = 2 ，由等式的對稱性可知 2 = 1 ，等量加等量有 1+2 = 2+1 ，即 3 = 3 。但 3 = 3 是對的并不能表明 1 = 2 是對的。,6.