數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)全套課件-2邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、,第 二 章,-邏輯代數(shù)基礎(chǔ),2.1 數(shù)字電路的基礎(chǔ)知識(shí) 2.2 邏輯代數(shù)及其運(yùn)算規(guī)則 2.3 邏輯函數(shù)表示方法 2.4 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn),在數(shù)字電路中，主要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，因此數(shù)字電路又稱邏輯電路，其研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)或開關(guān)代數(shù)）。,邏輯變量：用字母表示，取值只有0和1。 此時(shí)，0和1不再表示數(shù)量的大小， 只代表兩種不同的狀態(tài)。,2.1 概述,一、與邏輯（與運(yùn)算）,例：開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡Y,A、B都斷開，燈不亮。,A斷開、B接通，燈不亮。,A接通、B斷開，燈不亮。,2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算,功能表,將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0

2、?？梢宰鞒鋈缦卤砀駚砻枋雠c邏輯關(guān)系：,真值表,兩個(gè)開關(guān)均接通時(shí)，燈才會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：,實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。 與門的邏輯符號(hào)：,二、或邏輯（或運(yùn)算）,兩個(gè)開關(guān)只要有一個(gè)接通，燈就會(huì)亮。邏輯表達(dá)式為：,功能表,真值表,+,實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門。 或門的邏輯符號(hào)：,Y=A+B,三、非邏輯（非運(yùn)算）,功能表,真值表,實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。 非門的邏輯符號(hào)：,YA,常用的邏輯運(yùn)算,1、與非運(yùn)算： 邏輯表達(dá)式為：,2、或非運(yùn)算： 邏輯表達(dá)式為：,3、異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,異或邏輯的運(yùn)算規(guī)則：,00=,0,01=,1,10=,1,0,11=,A0=,A1=,AA=,AA=,A,A,1,

3、0,4、同或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,AB,異或和同或互為反運(yùn)算,同或邏輯的運(yùn)算規(guī)則：,0 0=,1,0 1=,0,1 0=,0,1,1 1=,A 0=,A 1=,A A=,A A=,A,A,1,0,5、 與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：,2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式,一、基本公式,請(qǐng)?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處,1.常量之間的關(guān)系,2.基本公式,分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。,亦稱 非非律,3.基本定理,利用真值表很容易證明這些公式的正確性。如證明AB=BA：,求證: （17式） A+BC=(A+B)(A+C),證明:,右邊 =(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+

4、BC,=A +A(B+C)+BC,=A(1+B+C)+BC,=A 1+BC,=A+BC,=左邊,課本上用真值表證明,二、常用公式,1. A+AB =,A(A+B)= A(A+B)=,A,A+B A+B,AB AB,證明:,A+AB =(A+A) (A+B) ;分配律 =1(A+B) =A+B,A+BC=(A+B)(A+C),3. AB+AB =,4. A(A+B )=,證明: A(A+B )=AA+AB =A+AB =A(1+B) =A,(A+B ) (A+B )=,注: 紅色變量被吸收掉！也稱 吸收律,A,A,A,5. AB+AC+BC =,證明:,AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)

5、BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C) +AC(1+B) =AB +AC,AB+AC+BCD =,AB+AC,AB+AC,冗余定律或 多余項(xiàng)定理 或包含律,(A+B)(A+C)(B+C) =,(A+B)(A+C),(A+B)(A+C)(B+C+D) =,(A+B)(A+C),冗余定律或多余項(xiàng)定理的其他形式,同理：此多余項(xiàng)可以擴(kuò)展成其他形式,證明:,A(AB) =A(A+B) =AA+AB = AB,A(AB) =A(A+B) =AA+AB = A(1+B) =A,AB,A,一、代入定理,任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)

6、則稱為代入定理。,例如，已知等式 ，用函數(shù)Y=BC代替等式中的B，根據(jù)代入定理，等式仍然成立，即有：,2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,二、 反演定理,對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中 的所有“”換成“”，“”換成“”，“0” 換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量， 反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函 數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱為反 演定理。,應(yīng)用反演定理應(yīng)注意兩點(diǎn)：,1、保持原來的運(yùn)算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表 達(dá)式中，AB之間先運(yùn)算，再和其它變量進(jìn)行 運(yùn)算， 那么非函數(shù)的表達(dá)式中，仍然是AB之 間先運(yùn)算。 2、不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變。,三、 對(duì)偶

7、定理,對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式 YD, YD稱為Y的對(duì)偶式。,對(duì)偶定理：如果兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。,利用對(duì)偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。,（2）式,（12）式,2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法,一、邏輯函數(shù),如果以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)算結(jié)果作為輸出，當(dāng)輸入變量的取值確定之后，輸出的取值便隨之而定。輸出與輸入之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。Y=F(A,B,C,),二、邏輯函數(shù)表示方法,常用邏輯函數(shù)的表示方法有：邏輯真值表（真值表）、邏輯函數(shù)

8、式（邏輯式或函數(shù)式）、邏輯圖、波形圖、卡諾圖及硬件描述語言。它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。,例：一舉重裁判電路,設(shè)A、B、C為1表示開關(guān)閉合，0表示開關(guān)斷開； Y為1表示燈亮，為0表示燈暗。得到函數(shù)表示形式：,真值表,函數(shù)式,邏輯圖,波形圖,真值表：將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列出。,一輸入變量，二種組合,二輸入變量，四種組合,三輸入變量，八種組合,四輸入變量，16種組合,請(qǐng)注意,n個(gè)變量可以有2n個(gè)組合，一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。,邏輯函數(shù)式,把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式，即邏輯代數(shù)式，又稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形

9、式。,比如：,邏輯圖：,把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連線表示出來。,各種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換,1、真值表邏輯函數(shù)式,方法:將真值表中為1的項(xiàng)相加,寫成 “與或式”。,2、邏輯式真值表,方法:將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一帶入邏輯式求函數(shù)值,列成表即得真值表。,例2.5.2,0,1,1,1,1,1,1,0,3、邏輯式邏輯圖,方法:用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào),就可以畫出邏輯圖.,例2.5.3,4、邏輯圖邏輯式,方法:從輸入端到輸出端逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式，即得到對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)式.,5、波形圖真值表,0,1,1,0,0,1,0,1,最小項(xiàng):,在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個(gè)因子

10、的乘積項(xiàng)，而且這n個(gè)變量都以原變量或反變量的形式在m 中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)m稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。,3個(gè)變量A、B、C可組成 8(23)個(gè)最小項(xiàng)：,4個(gè)變量可組成 16(24)個(gè)最小項(xiàng),記作m0m15。,三、邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式,若兩個(gè)最小項(xiàng)僅有一個(gè)因子不同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性。例： 和 ，這兩個(gè)最小項(xiàng)相加時(shí)能合并，并可消去1個(gè)因子。,最小項(xiàng)的性質(zhì):,任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使其值為1。,任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。,全部最小項(xiàng)的和必為1。,具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并，并消去一對(duì)因子。,只有一個(gè)因子不同的兩個(gè)最小項(xiàng)是具有相鄰性的最小

11、項(xiàng)。,例如:,將它們合并，可消去因子:,= BC,ABC 和 ABC 具有邏輯相鄰性。,ABC+ABC =,(A+A) BC,任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。,邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式,對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式， 可利用公式AA1 和A(B+C)ABAC 來配項(xiàng)展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。,例2.5.6,如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。,在n變量邏輯函數(shù)中，若M為包含n個(gè)因子的和項(xiàng)，而且這n個(gè)變量都以原變量或反變量的形式在M 中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)和項(xiàng)M稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)和項(xiàng)，通

12、常稱為最大項(xiàng)。 n個(gè)變量有2n個(gè)最大項(xiàng)，記作i 最大項(xiàng)的性質(zhì)： 在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最大項(xiàng)且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0； 全體最大項(xiàng)之積為0；即 任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1； 只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。,最大項(xiàng):,例: 寫出函數(shù) Y=A(B+C)的標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。 解:,Y=A(B+C) =(A+BB+CC)(AA+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C), 最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的關(guān)系,相同編號(hào)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)存在互補(bǔ)關(guān)系,即:,mi =,M

13、i =,若干個(gè)最小項(xiàng)之和表示的表達(dá)式Y(jié)，其反函數(shù)Y可用等同個(gè)與這些最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)之積表示。,=,=,四、邏輯函數(shù)形式的變換,根據(jù)邏輯表達(dá)式，可以畫出相應(yīng)的邏輯圖，表達(dá)式的形式?jīng)Q定門電路的個(gè)數(shù)和種類。在用電子器件組成實(shí)際的邏輯電路時(shí)，由于選擇不同邏輯功能類型的器件，因此需要將邏輯函數(shù)式變換成相應(yīng)的形式。,1、最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,與門的輸入端個(gè)數(shù)少,2、最簡(jiǎn)與非-與非表達(dá)式,在最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的基礎(chǔ)上兩次取反,用摩根定律去掉內(nèi)層的非號(hào),3、最簡(jiǎn)或與表達(dá)式,求出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,利用反演規(guī)則寫出函數(shù)的最簡(jiǎn)或與表達(dá)式,4、最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式,求最簡(jiǎn)或與表達(dá)式,兩次取反,用摩根定

14、律去掉內(nèi)部的非號(hào),、最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式,求最簡(jiǎn)或非-或非表達(dá)式,用摩根定律去掉內(nèi)部非號(hào)。,方法一：,求出反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,求反，得到最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式,方法二：,2.6 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法,一、公式化簡(jiǎn)法,并項(xiàng)法：,吸收法：,A+AB =A,消項(xiàng)法：,消因子法：,配項(xiàng)法：,例2.6.1 試用并項(xiàng)法化簡(jiǎn)下列函數(shù),=B,例2.6.2 試用吸收法化簡(jiǎn)下列函數(shù),= A+BC,例2.6.3 用消項(xiàng)法化簡(jiǎn)下列函數(shù),例2.6.4 用消因子法化簡(jiǎn)下列函數(shù),例2.6.5 化簡(jiǎn)函數(shù),解：,; A+AA,例2.6.6 化簡(jiǎn)函數(shù),解：,; A+A1,例2.6.6 化簡(jiǎn)函數(shù),解二：,; 消去，消去,解三：,; 消去,

15、消去,;增加冗余項(xiàng),;增加冗余項(xiàng),例2.6.7 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù),解：,吸收法,邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法,將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上相鄰排列，得到的圖形叫做n變量最小項(xiàng)的卡諾圖。,卡諾圖的定義：,二、卡諾圖化簡(jiǎn)法,邏輯相鄰項(xiàng)：僅有一個(gè)變量不同其余變量均相同的兩個(gè)最小項(xiàng)，稱為邏輯相鄰項(xiàng)。,卡諾圖的表示：,1、一變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖,一變量Y=F（A），,Y,A,0,1,A,Y,A,0,1,m0,m1,全部最小項(xiàng)：,A，,A,卡諾圖：,下面我們根據(jù)邏輯函數(shù)變量數(shù)目的不同分別介紹一下：,A,A,B,Y,0,1,0,1,m0,m1,m2,m3,Y,AB,

16、00,01,11,10,A B,AB,AB,A B,00,01,11,10,m0,m1,m3,m2,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,2、二變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖,Y= F（A、B）,Y,AB,C,00,01,11,10,0,1,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,3、三變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖,Y=F（A、B、C）,Y,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,m12,m13,m8,m9,m15,m14,m11,m10,Y,ABC,D,000,001,011

17、,010,100,101,111,110,0,1,m0,m1,m3,m2,m4,m5,m7,m6,m8,m9,m11,m10,m12,m13,m15,m14,4、四變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖,Y= F（A、B、C、D）,注意：,左右、上下；,在卡諾圖中，,每一行的首尾；,每一列的首尾；,的最小項(xiàng)都是邏輯相鄰的。,Y = AC+ AC + BC + BC,卡諾圖：,1,1,1,1,1,1,0,0,A(B+B)C +,(A+A)BC,Y=A(B+B)C+,(A+A)BC+,1、把已知邏輯函數(shù)式化為最小項(xiàng)之和形式。,2、將函數(shù)式中包含的最小項(xiàng)在卡諾圖對(duì)應(yīng) 的方格中填 1，其余方格中填 0。,方法一：,解

18、：,對(duì)于AC有：,對(duì)于AC有：,對(duì)于BC有：,對(duì)于BC有：,根據(jù)函數(shù)式直接填卡諾圖,方法二：,1,1,1,1,1,0,0,1,1,例：,用卡諾圖表示之。,1,用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：,用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：,例2.6.8 用卡諾圖表示邏輯函數(shù),解：將Y化為最小項(xiàng)之和的形式,m1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m15,1,例2.6.9 已知邏輯函數(shù)的卡諾圖,試寫出該函數(shù)的邏輯式,化簡(jiǎn)依據(jù)：邏輯相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，并消去因子。,化簡(jiǎn)規(guī)則：能夠合并在一起的最小項(xiàng)是2 n 個(gè),如何最簡(jiǎn)： 圈的數(shù)目越少越簡(jiǎn)；圈內(nèi)的最小項(xiàng)越多越簡(jiǎn)。,特別注意：卡諾圖中所有的 1 都必須圈到， 不能合并的 1

19、必須單獨(dú)畫 圈。,上兩式的內(nèi)容不相同，但函數(shù)值一定相同。,Y1 =,BC,+,Y1 =,將Y1=AC+AC+BC+BC 化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式。,此例說明，一邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)結(jié)果可能不唯一。,例：,（畫矩形圈）。,用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù),用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù),合并最小項(xiàng)的原則,（1）任何兩個(gè)（21個(gè)）相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。,合并最小項(xiàng)的原則,（2）任何4個(gè)（22個(gè)）相鄰的最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)變量。,此例說明，為了使化簡(jiǎn)結(jié)果最簡(jiǎn)，可以重復(fù)利用最小項(xiàng),合并最小項(xiàng)的原則,（3）任何8個(gè)（23個(gè)）相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去3個(gè)變量。,合并最小項(xiàng)的原則,利用 AB+AB=A 2個(gè)最小項(xiàng)合并，消去1個(gè)變量； 4個(gè)最小項(xiàng)合并，消去2個(gè)變量； 8個(gè)最小項(xiàng)合并，消去3個(gè)變量； 2n個(gè)最小項(xiàng)合并，消去n個(gè)變量；,卡諾圖化簡(jiǎn)法的步驟, 畫出變量的卡諾圖; 作出函數(shù)的卡諾圖; 畫圈; 寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。,畫 圈 的 原 則, 合并個(gè)數(shù)為2n； 圈盡可能大-乘積項(xiàng)中含因子數(shù)最少； 圈盡可能少-乘積項(xiàng)個(gè)數(shù)最少； 每個(gè)圈中至少有一個(gè)最小項(xiàng)僅被圈過一次，以免出現(xiàn)多余項(xiàng)。,例2.6.10 用卡諾圖將下式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或函數(shù)式,1,1,Y,Y,例2.6.11 用卡諾圖將下式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或函數(shù)式,Y,Y,2.7 具有無關(guān)項(xiàng)