等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題的兩個(gè)解法

1、等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值問題的兩個(gè)解法求等差數(shù)列前n 項(xiàng)和sn 最值的兩種方法：21. 函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式snanbn ，通過配方或借助圖象 求二次函數(shù)最值的方法求解，一定注意 n 是正整數(shù)。2. 鄰項(xiàng)變號法： a10,d0 時(shí)，滿足an an 10的項(xiàng)數(shù) m 使得0sn 取得最大值為sm ； 當(dāng)a10, d0 時(shí)，滿足an an 10的項(xiàng)數(shù)m 使得0sn 取得最小值為sm .例 1、等差數(shù)列 an 前 n項(xiàng)和為sn ，已知 a113, s3s11 ，當(dāng)sn 最大時(shí)， n 的值是 ()(a)5(b)6(c)7(d)8解：選 c.方法一：由s3s11 得 a4a5a11

2、0 ，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得a7a80 ，根據(jù)首項(xiàng)等于13 可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到a70, a80 ，故n=7時(shí)，sn 最大.方法二：由s3s11 可得3a13d11a155d，把a(bǔ)113 代入得 d2 ，故 sn13nn(n1)n214n ，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)n=7 時(shí)，sn 最大.方法三：根據(jù)a113, s3s11，知這個(gè)數(shù)列的公差不等于零.由于s3s11 說明這個(gè)數(shù)列的和先是單調(diào)遞增的然后又單調(diào)遞減.根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和是關(guān)于 n 的二次函數(shù)， 以及二次函數(shù)圖象的對稱性，當(dāng) s3s11時(shí)，只有 n31127 時(shí)，sn 取得最大值 .練習(xí)：1. 已知在等差數(shù)列 an

3、中， a131 ， sn 是它的前 n 項(xiàng)的和，s10s22 .（1） ）求最大值 .sn ；（ 2）這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大，并求出這個(gè)解析：（ 1）s10a1a2a10 ， s22a1a2a 22 ，又s10s22 ，d2 ，a11 sna12 na1a22 n(n201) d， 則32na11 n2a22。2 a131d0 ， 又 a131 ，（2） ）方法一：由（ 1）中可知sn32nn2(n16)2256，當(dāng)n 16 時(shí)，sn 有最大值，sn 的最大值是 256.方法二：由 ansnsn1 ，可得 an2n33.由 an2n330 a，得 n33 ；2由an 12n310 ,得n31

4、 n；2又 n 為正整數(shù)，所以當(dāng)n=16 時(shí)， sn 有最大值 256.2、設(shè)等差數(shù)列 a n 的前n 項(xiàng)和為 sn, 已知a3=12,s120,s 130,s 130, 13a178d0,- 247 d-3.a12d12.(2)由s13 a1a1313a0, 知 a70, 知 a60,又 d 0, n 6 時(shí)， an0,n 7 時(shí)， an0, s6 最大，即 n=6.3. 已知數(shù)列 a n 是等差數(shù)列，且a2=-1 ， a5=5.(1) 求a n 的通項(xiàng) an.(2)求a n 前 n 項(xiàng)和sn 的最小值 .解：(1)設(shè)a 的公差為 d，由已知條件， a1d1, 解得a=-3 ，nd=2，所以an=a1+(n-