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1、初中幾何證明題經(jīng)典題（一）1、已知：如圖， 0是半圓的圓心， C、E是圓上的兩點， CD丄AB , EF丄AB , EG丄CO.求證：CD = GF.證明：過點G作GH丄AB于H，連接OETEG 丄 CO , EF丄 ABZEGO=90 ，/EFO=90 ZEGO+ /EFO=18O E、G、O、F四點共圓 J3EO= ZHFG/ZEGO= ZFHG=90 ZEGO “hG EO = GOFG HGGH 丄 AB , CD 丄 AB GH /CD go coHG CD EO COFG CDEO=COCD=GF2、已知：如圖，P是正方形 ABCD內(nèi)部的一點,15 。/PAD /丨 PDA =求證

2、： PBC是正三角形.（初二）I第1頁共16頁證明：作正三角形 ADM ，連接 MP JMAD=60 ,zPAD=15 JMAP= ZMAD+ /PAD=75 VZBAD=90 ，啟AD=15 ZBAP= /BAD- /PAD=90 15 =75 ZBAP= /MAPMIA=BA , AP=AP./MAP /BAP/BPA= /MPA ， MP=BP同理/ CPD= /MPD ， MP=CP/PAD =/PDA = 15 PA=PD ，/ BAP= /CDP=75 /BA=CDz.ZBAP BzCDP/BPA= /CPD/BPA= /MPA ，/CPD= /MPD/MPA= /MPD=75 Z

3、BPC=360 75 4=60 /MP=BP ， MP=CP BP=CP BPC 是正三角形3、已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AD = BC, M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN 于 E、 F第 2 頁 共 16 頁月MB題（二）1、已知： ABC中，H為垂心（各邊高線的交點）,O為外心，且OM丄BC于M .(1)求證：AH = 2OM ;(2)若/BAC = 60 0,求證:AH = AO .(初二)證明：（1）延長AD交圓于F,連接BF，過點O作OG丄AD于GOG 丄 AFAG=FGAB =ABHMF求證：/ DEN =ZF.證明：連接AC,取AC的中點G,連接NG

4、、MGCN=DN , CG=DG1GN /AD , GN= AD2ZDEN= ZGNMAM=BM , AG=CG1GM /BC, GM= BC2ZF= ZGMN/AD=BCGN=GM J3MN= ZGNMZDEN= /FZF= ZACB又AD丄BC, BE丄ACZBHD+ /DBH=90 /ACB+ /DBH=90ZACB= /BHDZF= /BHDBH=BF 又 AD 丄 BCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2( GH+DH ) =2GD又 AD 丄 BC, OM 丄 BC, OG 丄 AD四邊形OMDG是矩形OM=GD/-AH=2OM(2 )

5、連接 OB、OC/ZBAC=60 /.zBOC=120 OB=OC , OM 丄 BC1ZBOM= - ZBOC=60 ./OBM=30 2BO=2OM由(1 )知 AH=2OM AH=BO=AO2、設(shè)MN是圓O外一條直線，過 O作OA丄MN于A,自A引圓的兩條割線交圓 O于B、C及D、E,連接CD并延長交MN于Q，連接EB并延長交MN于P求證：AP = AQ .證明：作點E關(guān)于AG的對稱點F,連接AF、CF/AG 丄 PQ /PAG= /QAG=90 又/GAE= ZGAF ZPAG+ ZGAE= ZQAG+ /GA即/ PAE= ZQAFE、F、C、D四點共圓 ZAEF+ /FCQ=180

6、 EF丄 AG , PQ 丄 AG EF/PQZPAF= ZAFEAF=AE ZAFE= ZAEF ZAEF= ZPAF ZPAF+ ZQAF=180 ZFCQ= ZQAFF、C、A、Q四點共圓 ZAFQ= ZACQ又ZAEP= ZACQ ZAFQ= ZAEP在厶AEP和厶AFQ中ZAFQ= ZAEP- AF=AE:Z QAF= Z PAE AEP AFQ AP=AQI第7頁共16頁3、設(shè)MN是圓O的弦，過 MN的中點A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q .求證：AP = AQ .（初二）證明：作 OF丄CD于F, OG丄BE于G ,連接 OP、OQ、OA、AF、AGC、D、B

7、、E四點共圓 ZB= ZD, ZE= ZCz.ABE s岔dc AB BE 2BG BG AD DC 2FD DFQABG sJadfZAGB= ZAFDZAGE= /AFCAM=AN ,OA 丄 MN又OG丄BE,/OAQ+ /OGQ=180 O、A、Q、E四點共圓/AOQ= /AGE同理/ AOP= /AFC/AOQ= /AOP又/OAQ= /OAP=90 ,OA=OA 也zOAPAP=AQ4、如圖，分別以厶ABC的AB和AC為一邊，在AABC的外側(cè)作正方形 ABFG和正方形 ACDE，點O是DF 的中點，OP丄BC求證：BC=2OP （初二）證明：分別過 F、A、D作直線BC的垂線，垂足

8、分別是 L、M、NOF=OD , DN /OP /FLPN=PLOP是梯形DFLN的中位線DN+FL=2OP.ABFG是正方形 ZABM+ /FBL=90 又ZBFL+ ZFBL=90 ZABM= ZBFL又ZFLB= /BMA=90 , BF=AB/ZBFLzABMFL=BM同理 AMC也zCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=20P經(jīng)典題（二）1、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE /AC , AE = AC , AE與CD相交于F.求證：CE= CF .（初二）證明：連接 BD交AC于0。過點E作EG丄AC于G/ABCD是正方形BD 丄 AC 又 EG 丄 ACBD

9、/EG 又 DE /AC ODEG是平行四邊形I第9頁共16頁又 /COD=90ODEG是矩形111EG=OD= BD= AC= AE222ZEAG=30 AC=AE ZACE= /AEC=75 又/AFD=90 15 =75 /CFE= ZAFD=75 = ZAECCE=CF2、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE /AC，且CE= CA，直線EC交DA延長線于F .求證：AE = AF .（初二）證明：連接BD，過點E作EG丄AC于GTABCD是正方形IBD 丄 AC，又 EG丄 AC1BD /EG 又 DE /ACODEG是平行四邊形又 ZCOD=90 ODEG是矩形111EG = OD

10、 = BD= AC= CE2221/ CAE= / CEA= /2在厶 AFC 中/ F =180 =180 =180 / F=Z CEA AE=AFGCE=15 -/ FAC- / ACF-/ FAC- / GCE -135 -30 =15/GCE=30AC=EC3、設(shè)P是正方形 ABCD 邊BC上的任一點，PF丄AP , CF平分Z DCE .求證：PA = PF.（初二）證明：過點 F作FG丄CE于G , FH丄CD于HCD丄CG /.HCGF是矩形VZHCF= ZGCF .-.FH=FGHCGF是正方形CG=GFVAP 丄 FPZAPB+ /FPG=90 ZAPB+ ZBAP=90 設(shè)

11、 AB=x, BP=y, CG=zz： y= (x-y+z): x 化簡得(x-y) y= (x-y) z x-yz 0 y=z即 BP=FG ABP 也厶 PGFZFPG= /BAP又ZFGP= ZPBAz.ZFGP s/pbaFG: PB=PG : AB4、如圖，PC切圓O于C, AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D求證：AB = DC , BC= AD .（初三）證明：過點 E作EK/BD，分別交 AC、AF于M、連接 OH、MH、ECVEH=FH1OH 丄 EF,.ZPHO=90I EM=KM1/ EK / BD；9 共 1頁I EM AM KM OB=O

12、D又 AO=CO又 PC丄OC,.ZPOC=90 P、C、H、O四點共圓ZHCO= ZHPO又 EK/BD ,./HPO= /HEKZHCM= /HEMH、C、E、M四點共圓ZECM= ZEHM又/ECM= /EFAZEHM= ZEFAHM /ACVEH=FH經(jīng)典題（四）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點， PA = 3, PB = 4 求ZAPB的度數(shù).（初二）C則ABPQ是正三角形OZBQP=60 ,PQ=PB=3解：將 ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn) 60。得/BCQ，連接PQ在厶PQC 中，PQ=4 , CQ=AP=3 , PC=5ZPQC是直角三角形ZPQC=90 ZBQC=

13、 ZBQP+ ZPQC=60 90 150/APB= /BQC=150 2、設(shè)P是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點，且/ PBA =ZPDA .求證：/ PAB =ZPCB .（初二）證明：過點P作AD的平行線，過點兩平行線相交于點 E,連接BEPE/AD，AE /PDADPE是平行四邊形PE=AD ,又ABCD是平行四邊形AD=BCPE=BC又 PE/AD , AD /BCPE/BCBCPE是平行四邊形ZBEP= ZPCBADPE是平行四邊形ZADP= ZAEP又/ ADP= / ABP/ AEP= / ABP A、E、B、P四點共圓/ BEP= / PAB/ PAB= / PCB3、設(shè)ABC

14、D為圓內(nèi)接凸四邊形，求證： AB CD + AD BC= AC B D .（初三） 證明：在 BD上去一點 E,使/ BCE= ZACDCd =cd zCad= zcbdZBECs岔DC be bc AD ACAD BC=BE AC ZBCE= ZACD ZBCE+ ZACE= ZACD+ ZACEI第15頁共16頁即/BCA= /ECDBC =BC ,.ZBAC= ZBDC少AC s/edc.AB ACDE CDAB CD=DE AC+得 AB CD+ AD BC =DE AC+ BE AC=(DE+BE) AC=BD AC4、平行四邊形 ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點,AE與

15、CF相交于P,且AE = CF.求證：/ DPA = /DPC .(初二)證明：過點 D作DG丄AE于G,作DH丄FC于H，連接1 1DE = 2 AE DG，Szfdc = 2 fc dh1又 Smde= S =dc _ Scabcd2AE DG=FC DH又 AE=CFDG=DH點D 在/APC的角平分線上/ZDPA = /DPC經(jīng)典題(五)1、設(shè)P是邊長為1的正AABC內(nèi)任一點，L = PA + PB + PC, 求證：.3 LV 2 .證明：(1 )將ABPC繞B點順時針旋轉(zhuǎn) 60 的啟EF,連接PE,VBP=BE，/PBE=60 ZPBE是正三角形。PE=PB 又 EF=PCCL=P

16、A+PB+PC=PA+PE+EF當(dāng)PA、PE、EF在一條直線上的時候，L=PA+PE+EF 的值最小(如圖)在AABF 中，/ ABP=120 AF= . 3L=PA+PB+PC /AGP/ZAPD /ADPAD PA又 BD+PD PBCG+PG PC + + 得 AD+BD+CG+PD+PG PA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC PA+PB+PC=LAB=AC=1 /-L 2由(1)( 2)可知：、/3 L 2.第13頁共16頁GF此時 AF= PA+PE+EF過點F作FG丄AB的延長線于 G則/GBF=180 ZABF=180 150 30BG=.32AF= .

17、GF2 AG2PA + PB + PC的最小值是233、P為正方形 ABCD內(nèi)的一點，并且 證明：將厶ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90 則ABPQ是等腰直角三角形，PQ=、2 PB= - 2 X2a=2 、 2 a又 QC=AP=aQP2+QC 2=(2 2 a)2+a 2=9a 2=PC2PA = a, PB= 2a ,得zBCQ，連接PQPC= 3a，求正方形的邊長.ACAPQC是直角三角形ZBQC=135BC2=BQ 2+CQ 2-2BQ CQ cos ZBQC=PB2+PA 2-2PB PAcos135=4a 2+a 2-2 X2a XaX(-解得 BC= 5 2“2a正方形的邊長為 5 2

18、 2a4、如圖， ABC 中，/ABC = ZACB = 80,D、E分別是 AB、AC上的點，/ DCA = 30,zEBA = 20第23頁共16頁If求/BED的度數(shù).解：在AB上取一點F,使/ BCF=60 CF交BE于G ,連接EF、DG/ABC=80 ，/ABE=20 ,二/BC=60。，又zBCG=60 /ZBCG是正三角形 BG=BCvZACB=80 ，啟CG=60 .FCA=20 EBA= /FCA又 v/A= /A , AB=AC 念BE 織CF /-AE=AF1/AFE= /AEF= (180 ZA) =80 2又 vZABC=80 /AFE.EF/BC.ZEFG= ZBCG=60 z.ZEFG 是等邊三角形 EF=EG , ZFEG= ZEGF= ZEFG=60 ACB=80 ,/)CA=30 /CD=50 ZBDC=180 /BCD- ZABC=180 50 -80 50 ZBCD= ZBDC .-BC=BD 前已證 BG=BC /-BD=BG1ZBGD= ZBDG= (180 ZABE) =80 2Z