用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

1、2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 （兩課時(shí)）零號(hào)作業(yè)一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1、眾數(shù)：(1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢破疑點(diǎn)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其無法客觀地反映總體特征 （3）在直方圖中為最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2、中位數(shù)：(1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于中間位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等破疑點(diǎn)中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)

2、極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn) （3） 直方圖面積平分線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).左右兩邊面積各占一半3、平均數(shù)：(1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為n (2)特征：平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的平均水平任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化，這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì)所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低（3） 直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和. 二、標(biāo)準(zhǔn)差、方差1、標(biāo)準(zhǔn)差(1

3、)定義：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計(jì)算s可以用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差(2)特征：標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大小標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較_ 小 2方差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2(x1)2(x2)2(xn)2(2)特征：與標(biāo)準(zhǔn)差的作用相同，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小(3)取值范圍：0，)3、數(shù)據(jù)組x1，x2，xn的平均數(shù)為，方差為s2，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)組ax1b，ax2b，axnb(a，b為常數(shù))的平均數(shù)為ab，方差為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為4、規(guī)律總結(jié)（

4、1）用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，是指用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)總體相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息. 平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度. 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，是指用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)

5、差等統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)總體相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（2）平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平.標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的幅度.在實(shí)際應(yīng)用中，我們常綜合樣本的多個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對總體進(jìn)行估計(jì)，為解決問題作出決策. （3）標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍. 列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表步驟說明：1、對同一個(gè)總體，可以抽取不同的樣本，相應(yīng)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都會(huì)發(fā)生改變.如果樣本的代表性差，則對總體所作的估計(jì)就會(huì)產(chǎn)生偏差；如果樣本沒有代表性，則對總體作出錯(cuò)誤估計(jì)的可能性就非常大，由此可見抽樣方法的重要性.2.在抽樣過程中，抽取的樣本是具有隨機(jī)性的，

6、如從一個(gè)包含6個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為3的樣本就有20中可能抽樣，因此樣本的數(shù)字特征也有隨機(jī)性. 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，是一種統(tǒng)計(jì)思想，沒有惟一答案.3.在實(shí)際應(yīng)用中，調(diào)查統(tǒng)計(jì)是一個(gè)探究性學(xué)習(xí)過程，需要做一系列工作，我們可以把學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到自主研究性課題中去.一號(hào)作業(yè)11、眾數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)_的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能_一個(gè)，也可能沒有，反映了該組數(shù)據(jù)的_在直方圖中為最高矩形下端中點(diǎn)的_最多 不止 集中趨勢 橫坐標(biāo)2中位數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于_位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)

7、是_的，反映了該組數(shù)據(jù)的_在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積_ 中間 唯一 集中趨勢 相等3平均數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為n_.(2)特征：平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的_任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化，這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì)所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的_，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中_的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的. _ 平均水平 信息 極端值 乘積之和4標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距

8、離，一般用s表示，通常用以下公式來計(jì)算s_.可以用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差(2)特征：標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞_波動(dòng)的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大小標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較_；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較_ 平均數(shù) 大 小5方差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2_(2)特征：與_的作用相同，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小(3)取值范圍：_(x1)2(x2)2(xn)2 標(biāo)準(zhǔn)差 0，) 數(shù)據(jù)組x1，x2，xn的平均數(shù)為，方差為s2，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)組ax1b，ax2b，axnb(a，b為常數(shù))的平均數(shù)為ab，方差為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為as.典例講解中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用

9、例1據(jù)報(bào)道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求該公司的職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5 000元提升到20 000元，董事長的工資從5 500元提升到30 000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到1元)(3)你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司職工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法解析(1)平均數(shù)是1 5001 5005912 091(元)中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元(2)平均數(shù)是1

10、5001 5001 7883 288(元)中位數(shù)是1 500元，眾數(shù)是1 500元(3)在這個(gè)問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的工資水平因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司職工的工資水平練習(xí)1：某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？

11、其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好反映乙群市民的年齡特征？答案(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為15(歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為15(歲)，中位數(shù)為5歲，眾數(shù)為6歲由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差 例2：(1)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()A甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C甲的成績的方差小于乙的成績的方差D甲的成績的極差小于乙的成績的極差(2)某校從參加高二年級學(xué)業(yè)

12、水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分解析(1)甲(45678)6，乙(5369)6，甲的中位數(shù)是6，乙的中位數(shù)是5.甲的成績的方差為(222122)2，乙的成績的方差為(123321)2.4.甲的極差是4，乙的極差是4.所以A，B，D錯(cuò)誤，C正確(2)由圖知眾數(shù)為75.由圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個(gè)矩形面積之和為0.4，第四個(gè)矩形面積為0.3,0.30.40.5，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，得0.10.03(x70)，所以x73.3.由圖知這次數(shù)學(xué)成績的平均分為：0.0051

13、00.015100.02100.03100.025100.0051072.答案(1)C (2)見解析練習(xí)1： 參加市數(shù)學(xué)調(diào)研抽測的某校高三學(xué)生成績分布的莖葉圖1和頻率分布直方圖2均受到不同程度的破壞，但可見部分信息如下，據(jù)此解答如下問題：求參加數(shù)學(xué)抽測的人數(shù)n，抽測成績的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)分布在80,90)，90,100內(nèi)的人數(shù)答案分?jǐn)?shù)在50,60)內(nèi)的頻率為2，由頻率分布直方圖可以看出，分?jǐn)?shù)在90,100內(nèi)的同樣有2人由100.008，得n25.由莖葉圖可知抽測成績的中位數(shù)為73.分?jǐn)?shù)在80,90)之間的人數(shù)為25(27102)4.參加數(shù)學(xué)競賽人數(shù)n25，中位數(shù)為73，分?jǐn)?shù)在80,90)，90,1

14、00內(nèi)的人數(shù)分一號(hào)作業(yè)21對于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值都不相等；這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的值相等其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)() A1B2 C3 D42、為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測試，得分(十分制)如下圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為mO，平均值為，則()AmemO BmemO CmemODmOmes1s2Bs2s1s3Cs1s2s3Ds2s3s1答案B練習(xí)2： 一次數(shù)學(xué)知識(shí)競賽中，兩組學(xué)生成績?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組25

15、1013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個(gè)組的平均分都是80分，請根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組這次競賽中成績誰優(yōu)誰次，并說明理由答案(1)甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些(2)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2(2900540010100130141006400)172.s(4900440016100201210012400)256.因?yàn)閟s，所以甲組成績較乙組成績穩(wěn)定(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績在80分以上(含80分)的有

16、33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較好(4)從成績統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績大于或等于90分的人數(shù)為20人，乙組成績大于或等于90分的人數(shù)為24人，所以乙組成績在高分階段的人數(shù)多，同時(shí)，乙組得滿分的比甲組得滿分的多6人，從這一角度看，乙組成績較好一號(hào)作業(yè)31 若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x11,2x21，2x101的標(biāo)準(zhǔn)差為()A8B15C16D322為了穩(wěn)定市場，確保農(nóng)民增收，某農(nóng)產(chǎn)品7個(gè)月份的每月市場收購價(jià)格與其前三個(gè)月的市場收購價(jià)格有關(guān)，并使其與前三個(gè)月的市場收購價(jià)格之差的平方和最小，下表列出的是該產(chǎn)品今年前6個(gè)月的市場收購價(jià)格：月份123456價(jià)格(元/擔(dān))687867717270則前7個(gè)月該產(chǎn)品的市場收購價(jià)格的方差為()A. B.C11 D.3 某班級有50名學(xué)生，其中