高三數(shù)學(xué)第38講導(dǎo)數(shù)、定積分

1、第38講 導(dǎo)數(shù)、定積分 一【課標(biāo)要求】1導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；通過(guò)函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的導(dǎo)數(shù)； 能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b）的導(dǎo)數(shù)； 會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函

2、數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。（4）生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例例如，使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用（5）定積分與微積分基本定理 通過(guò)實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問(wèn)題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念； 通過(guò)實(shí)例（如變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分

3、基本定理的含義（6）數(shù)學(xué)文化收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。具體要求見本標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)文化的要求。二【命題走向】導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、極值和最值是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，估計(jì)2010年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會(huì)有大的變化：（1）考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都

4、會(huì)考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結(jié)合，屬于高考的中低檔題；（2）2010年高考可能涉及導(dǎo)數(shù)綜合題，以導(dǎo)數(shù)為數(shù)學(xué)工具考察：導(dǎo)數(shù)的物理意義及幾何意義，復(fù)合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)。定積分是新課標(biāo)教材新增的內(nèi)容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由于定積分在實(shí)際問(wèn)題中非常廣泛，因而07年的高考預(yù)測(cè)會(huì)在這方面考察，預(yù)測(cè)2010年高考呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）新課標(biāo)第1年考察，難度不會(huì)很大，注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考察及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于中低

5、檔題；（2）定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算面積，諸如計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)等實(shí)際問(wèn)題要很好的轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型三【要點(diǎn)精講】1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。 如果當(dāng)時(shí)，有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記作f（x）或y|。即f（x）=。說(shuō)明：（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限。如果不存在極限，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)x處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)（2）是自變量x在x處的改變量，時(shí)，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。 由導(dǎo)數(shù)的定義可知

6、，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的步驟（可由學(xué)生來(lái)歸納）：（1）求函數(shù)的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均變化率=；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x)=。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應(yīng)地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。3常見函數(shù)的導(dǎo)出公式（）（C為常數(shù)）（）（）（）4兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： (法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函

7、數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 法則3兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。法則：y|= y| u|5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（1）一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；（2）曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；（3）一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f

8、在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值； 求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值(a)、(b)； 將函數(shù) 的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值6定積分（1）概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0x1xi1xixnb把區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上取任一點(diǎn)i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區(qū)間長(zhǎng)度），把n即x0時(shí)，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式基

9、本的積分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數(shù)）（2）定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）；（其中acb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（ab），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設(shè)f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（ab）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。四【典例解析】題型1：導(dǎo)數(shù)的概念例1已知s=，（1）計(jì)算t從3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒.各段內(nèi)平均速度；（2）求t=3秒是瞬時(shí)速度解析：（1）指時(shí)間改變

10、量；指時(shí)間改變量。其余各段時(shí)間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤上，待學(xué)生回答完第一時(shí)間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時(shí)間內(nèi)的平均速度的變化情況。（2）從（1）可見某段時(shí)間內(nèi)的平均速度隨變化而變化，越小，越接近于一個(gè)定值，由極限定義可知，這個(gè)值就是時(shí)，的極限，V=（6+=3g=29.4(米/秒)。例2求函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)。解析：，=-。點(diǎn)評(píng)：掌握切的斜率、 瞬時(shí)速度，它門都是一種特殊的極限，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。題型2：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算例3（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求的導(dǎo)數(shù)；（3）求的導(dǎo)數(shù)；（4）求y=的導(dǎo)數(shù)；（5）求y的導(dǎo)數(shù)解析：（1）,（2）先化簡(jiǎn),（3）先使用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）

11、y=；（5）yxy*（x）x）*（）。點(diǎn)評(píng)：（1）求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；（2）有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行求導(dǎo)有時(shí)可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量例4寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)： （1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1+)；（2）y=ln(lnx)。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)y=（3x-2展開求導(dǎo)及按復(fù)合關(guān)系求導(dǎo)，直觀的得到=.給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀法則的證明。題型3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義例5（1

12、）(2009年廣東卷文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 答案 D解析 ,令,解得,故選D（2）（2009安徽卷理）已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得幾何，即，切線方程，即選A點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)值對(duì)應(yīng)函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率。例6（2009湖南卷文）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D解析 因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即在區(qū)間上各點(diǎn)處的斜率是遞增的，由圖易知選A. 注意C中為常數(shù)噢.（2）曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所

13、圍成的三角形面積是 。解析：（2）曲線和在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是y=x+2和y=2x1，它們與軸所圍成的三角形的面積是。點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對(duì)于較復(fù)雜問(wèn)題有很好的效果。題型4：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值例7（1）對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）0，則必有（ ）Af（0）f（2）2f（1）（2）函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D 4個(gè)（3）2009山東卷文)（本小題滿分12分）已知函數(shù),其中 （1）當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?（2）已知,且在區(qū)間上單

14、調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.解: (1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以,即, 此時(shí)方程的根為,所以 當(dāng)時(shí),x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)時(shí), x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當(dāng)滿足時(shí), 取得極值. (2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以設(shè),令得或(舍去), 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時(shí),單調(diào)減函數(shù),所以當(dāng)時(shí),取得最

15、大,最大值為.所以當(dāng)時(shí),此時(shí)在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)最大,最大值為,所以綜上,當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), 【命題立意】:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號(hào)確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問(wèn)題.例8（1）若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解析 解析 由題意該函數(shù)的定義域，由。因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，故此時(shí)斜率為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)解法1 （圖像法）再將之轉(zhuǎn)化為與存在交點(diǎn)。當(dāng)不符合題意，當(dāng)時(shí)，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒(méi)有

16、交點(diǎn)，當(dāng)如圖2，此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn)，故有應(yīng)填或是。解法2 （分離變量法）上述也可等價(jià)于方程在內(nèi)有解，顯然可得（2）函數(shù)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為A. B. 1 C. 2 D. 根據(jù)定積分的幾何意義結(jié)合圖形可得所求的封閉圖形的面積：，故選A.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力題型5：導(dǎo)數(shù)綜合題例91、已知二次函數(shù)，若不等式的解集為C.（1）求集合C；（2）若方程在C上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記在C上的值域?yàn)锳，若的值域?yàn)锽，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍 解（1） -1分當(dāng)時(shí)， -2分當(dāng)時(shí)， -3分所以集合 -4分（2） ，令

17、則方程為 -5分當(dāng)時(shí)， 在上有解，則 -7分當(dāng)時(shí)， 在上有解，則 -9分所以，當(dāng)或時(shí)，方程在C上有解，且有唯一解。-10分（3） -11分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域， ， ，解得，即 -13分當(dāng)時(shí)，任取，10 若， ，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，：又，所以。-15分20 若，若則須，.于是當(dāng)時(shí)，,；-16分當(dāng)時(shí)，,因此函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減. 在達(dá)到最小值要使，則，因?yàn)?，所以使得的無(wú)解。-18分綜上所述：的取值范圍是：點(diǎn)評(píng)：該題是導(dǎo)數(shù)與平面向量結(jié)合的綜合題。例103、已知函數(shù)上為增函數(shù). （1）求k的取值范圍； （2）若函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（1）由題意1分

18、因?yàn)樯蠟樵龊瘮?shù)所以上恒成立，3分即所以5分當(dāng)k=1時(shí)，恒大于0，故上單增，符合題意.所以k的取值范圍為k1.6分（2）設(shè)令8分由（1）知k1，當(dāng)k=1時(shí)，在R上遞增，顯然不合題意9分當(dāng)k1時(shí)，的變化情況如下表：xk(k,1)1(1,+)+00+極大極小11分由于圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程也即有三個(gè)不同的實(shí)根故需即所以解得綜上，所求k的范圍為.14分點(diǎn)評(píng)：該題是數(shù)列知識(shí)和導(dǎo)數(shù)結(jié)合到一塊。題型6：導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用題例11（江蘇卷）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解析：設(shè)OO1為x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為（單位：m）。于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：。帳篷的體積為（單位：m3）：求導(dǎo)數(shù)，得；令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。當(dāng)1x2時(shí)，,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2x0。當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，又ds=vdt，故阻力所作的功為：（2）依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=0，x2=b/a，所以(1)又直線xy=4與拋物線y=ax2