大學研究生矩陣論課件

1、矩陣論,課程：矩陣論（Matrix Theory） 學時： 48學時 （48 Lectures） 教材：矩陣論（第2版， 楊明、劉先忠編著）， 華中科技大學出版社，2005,前言,一、課程介紹 研究內容： 矩陣與線性空間和線性變換 以矩陣為工具研究問題 在其中發(fā)展矩陣理論 矩陣在各種意義下的化簡與分解 矩陣的分析理論 各類矩陣的性質研究 矩陣被認為是最有用的數(shù)學工具，既適用于應用問題，又適合現(xiàn)代理論數(shù)學的抽象結構。,二、教學安排,學時配置 講授第1章至第6章 (48學時) 第1章：10學時; 第2章：8學時 第3章：8學時； 第4章：6學時； 第5章：8學時； 第6章：6學時,考核方式：課程結

2、束考試（第13周）,卷面成績?yōu)樽罱K成績,三、教學指導意見,背景要求：線性代數(shù) 矩陣與計算工具：MATLAB，MAPLE, 矩陣與現(xiàn)代應用：應用選講 教學參考書： 余鄂西，矩陣論，高等教育出版社，1995。 方保熔等，矩陣論，清華大學出版社，2004。 Fuzhen Zhang，Matrix Theory，Springer，1999。 Denis Serre， Matrices Theory and Applications，Springer，2002。 矩陣論歷年試題及其解答 不交作業(yè)，但應該重視練習環(huán)節(jié)。,第1章：線性空間與線性變換,內容： 線性空間的一般概念 重點：空間結構和其中的數(shù)量關系

3、 線性變換 重點：其中的矩陣處理方法 特點： 研究代數(shù)結構具有線性運算的集合。 看重的不是研究對象本身，而是對象之間的結構關系。 研究的關注點：對象之間數(shù)量關系的矩陣處理。 學習特點：具有抽象性和一般性。,1.1 線性空間,一、線性空間的概念 幾何空間和 n 維向量空間的回顧 推廣思想： 抽象出線性運算的本質，在任意研究對象的集合上定義具有線性運算的代數(shù)結構。 定義1.1（P .1） 要點： 集合V 與數(shù)域F 向量的加法和數(shù)乘向量運算 運算的性質刻畫,常見的線性空間,F n=X=（x1，x2，xn）T：x F 運算：向量加法和數(shù)乘向量 F mn = A=aijmn：a ijF； 運算：矩陣的加

4、法和數(shù)乘矩陣 R mn ；C mn 。 Pn x=p(x)= ：aiR,運算：多項式的加法和數(shù)乘 Ca，b=f（x）：f（x）在a，b上連續(xù) 運算：函數(shù)的加法和數(shù)乘 eg5： V=R+，F(xiàn)=R， a b=ab， a=a ,F=R或C,線性空間的一般性的觀點：,線性空間的一般形式： V（F），元素被統(tǒng)稱為向量：， ， 線性空間的簡單性質（共性）： 定理1 . 1：V（F）具有性質： （1） V（F）中的零元素是惟一的。 （2） V（F）中任何元素的負元素是惟一的。 （3）數(shù)零和零元素的性質： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （4） = （1）,數(shù)0,向量0,二、線性空間的基和維數(shù),向

5、量的線性相關與線性無關： 定義形式和向量空間Rn中的定義一樣。 有關性質與定理和Rn中的結果一樣。 例題1 證明C0，1空間中的向量組 ex，e2x，e3x ，enx，x0，1 線性無關。,二、線性空間的基和維數(shù),基與維數(shù)的概念：P . 2，定義1 . 2 常見線性空間的基與維數(shù)： Fn，自然基e1，e2，,en，dim Fn =n Rmn ，自然基Eij，dim Rmn =mn。 Pn x ，自然基1，x，x2，x3,x n-1，dimPn x =n Ca，b， 1，x，x2，x3x n-1 Ca,b， dim Ca，b= 約定： V n （F）表示數(shù)域F上的 n 維線性空間。 只研究有限維

6、線性空間。,三、坐標,1 定義 1 .3 （P . 3)設1，2， n 是空間 的一組基， ， = ，則x1 ， x2， ， xn 是在基i下的坐標。,例1：求 R22中向量 在基Eij下的坐標。,要點： 坐標與基有關 坐標的表達形式,例2 設空間P4x的兩組基為： 1，x，x2，x3和 1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在這兩組基下的坐標。,歸納： 任何線性空間V nF在任意一組基下的坐標屬于Fn 。 每一個常用的線性空間都有一組“自然基”，在這組基下，向量的坐標容易求得。 求坐標方法的各異性。,2、 線性空間V n（F）與F

7、n的同構,坐標關系 V n （F） Fn 基1，2，。 n 由此建立一個一一對應關系 V n （F），X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（） 在關系下，線性空間V n （F）和Fn同構。,同構的性質,定理1.3:V n （F）中向量1，2，n線性相關它們的坐標X1 , X2, ,Xn在Fn中線性相關。 同構保持線性關系不變。 應用： 借助于空間Fn中已經有的結論和方法研究一般線性空間的線性關系。,例題2 設R22中向量組Ai,1 討論Ai的線性相關性. 2求向量組的秩和極大線性無關組. 3把其余的向量表示成極大線性無關組的 線性組合.,四、基變換和坐標變換,討論： 不

8、同的基之間的關系 同一個向量在不同基下坐標之間的關系 基變換公式 設空間中有兩組基：,過渡矩陣C的性質： C為非奇異矩陣 C的第i列是 i 在基i 下的坐標,則,過渡矩陣,2 坐標變換公式,已知 空間中兩組基： 滿足: : ; 討論X和Y的關系,X=CY,1,2,3,例題4、 已知空間R中兩組基（I）Eij （II）； 求從基（I）到基（II）的過渡矩陣C。 求向量 在基（II）的坐標Y。,例題3、（P6例題11）,1.1 五、 子空間,概述：線性空間Vn（F）中，向量集合V可以有集合的運算和關系： Wi V， W1W2， W1W2， 問題： 這些關系或運算的結果是否仍然為線性空間 ？,1、

9、子空間的概念,定義： 設集合WVn（F），W ，如果W中的元素關于Vn（F）中的線性運算為線性空間，則稱W是Vn（F）的子空間。 判別方法：定理15 W是子空間 W對Vn（F）的線性運算封閉。 子空間本身就是線性空間。 子空間的判別方法可以作為判別線性空間的方法,重要的子空間： 設向量組1，2， mVn（F），由它們的一切線性組合生成的子空間： L1，2，m = ,矩陣AF mn，兩個子空間： A的零空間：N（A）=X ： AX=0F n， A的列空間： R（A）= LA1，A2，A nF m， Ai為A的第i列。,2、子空間的“交空間”與“和空間”,討論：設W 1 Vn（F），W2 Vn（F

10、），且都是子空間，則W1W2和W1W2是否仍然是子空間？ （1） 交空間 交集： W1W2= W1 而且 W 2Vn（F） 定理16 W1W2是子空間，被稱為“交空間” （2）和空間 和的集合：W1W2=X1X2X1W1，X2W2，,W1W2 W1W2,定理16 W1W2是子空間，被稱為“和空間”，,W1W2不一定是子空間，W1W2 W1W2,例17 設R3中的子空間W1=Le1，W2=Le2 求和空間W1W2。 比較：集合W1W2和集合W1W2。,如果 W1=L1，2， m ， W2=L1，2， k， 則 W1W2=L1，2，m，1，2， k ,3 、維數(shù)公式,子空間的包含關系：,dimW1

11、W2 dim Wi dimW1W2 dimVn（F）。 定理17 ： dimW1dimW2=dim（W1W2）dim（W1W2） 證明：,4 、子空間的直和,分析：如果dim（W1W2）0，則 dim（W1W2）dimW1dimW2 所以： dim（W1W2）=dimW1dimW2 dim（W1W2）=0 W1W2=0 直和的定義： 定義16 ： dim（W1W2）=0 ，則和為直和 W=W 1W2=W1W2，,子空間的“和”為“直和”的充要條件 ： 定理18 設W=W1W2，則下列各條等價： （1） W=W1W2 （2） X W，X=X 1X2的表 是惟一的 （3） W中零向量的表示是惟一的

12、 （4） dim W =dimW1dimW2,例1 P12 eg18 例2設在Rnn中，子空間 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ， 證明Rnn=W1W2。 例3 子空間W的“直和補子空間”,12 內積空間,主題：定義內積的概念，借助于內積建立線性 空間的度量關系。 一、 歐氏空間和酉空間 1 幾何空間中度量關系的定義基礎 2 內積的定義 定義17 (P13) ：要點 內積(，)是二元運算：Vn(F) F (，)的公理性質 (，)是任何滿足定義的運算。 討論(，12), (，k),3. 內積空間的定義 Vn（F）；（，） ，F(xiàn)= R ，歐氏空間；F=C，酉空間 4 常見的內積空

13、間： R n ；(，)= T , C n ；(，)=H , C mn；(A，B)=tr (B H A) PnX ；(f(x)，g(x) )= ,5 向量的長度 定義： | | =,6 歐氏空間中向量的夾角： 定義：0，0，夾角定義為： cos=,性質： | k | =k | | ； Cauchy 不等式： ， Vn(F)；(，), | (，) | | | | | 。 | | | | | |, 和 正交 （，）=0,7 線性空間的內積及其計算： 設1，2，, n 是內積空間Vn(F)的基，Vn(F)，則有 =x11x22x n n = (12 n)X； =y11y22y n n= (1 2 n)

14、Y (，)= =Y HAX，,定義內積 在一個基1，2， n 中定義內積 定義一個度量矩陣A 。,度量矩陣 A,度量矩陣的性質：,二、標準正交基,1 標準正交的向量組： 定義： 1，2，n為正交組(i，j ) =0 性質： 2 標準正交基 基1， 2，n是標準正交基 (i， j)=,標準正交基的優(yōu)點：,標準正交基的優(yōu)點： 度量矩陣是單位矩陣，即A=I =(12 n)X，=(12 n) Y， (，)=YHX = x11x22x n n，xi=(，i) 和正交其坐標 X和Y正交,坐標空間F n的 內 積,求標準正交基的步驟： Schmidt 正交化 標準化 矩陣方法討論,正交補”子空間 (i) 集

15、合的U的正交集： U=Vn(F )： U，(，)=0 (ii) U是Vn(F)的子空間 U 是Vn(F)子空間 (iii) Vn(F)=U U 。,U的正交補子空間,13 線性變換,一、 線性變換的概念 定義 1.11 (P.19) 要點： （i）T是Vn（F）中的變換： T：Vn（F）Vn（F）。 (ii) T具有線性性： T（）=T（）T（） T（k）=kT（ ）,從一般性的角度給出的定義,例題1 Vn（F）中的相似變換T ：是F中的數(shù)，Vn（F），T（）= 。 特例： =1 ， T 是恒等變換， =0 ， T是零變換。,可以在任何線性空間中 定義相似變換!,例題2 Fn中的變換 TA：設

16、A Fnn是一個給定的 矩陣，XFn，TA（X）=AX。 例題3 Pn X中的微分變換：,2 線性變換的性質： （i）T(0)=0 （ii） T()=T() （iii）,3 線性變換的象空間和零空間 設線性變換T：Vn( F )Vn( F )， 象空間 R(T)=： Vn(F)，=T() 零空間 N（T）=：Vn(F ) ，T ( ) =0 ,定義： T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T）,線性變換保持線性相關性不變！,例題27 求Fn線性中的變換TA:Y=AX的象空間和零空間。,R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）,4 線性變換的運算 設T1，T2都是空間Vn(F)

17、中的線性變換，常見的用它們構成的新的變換： （i） T1T2 Vn（F）， （T1T2）（）=T1（）T2（） （ii） T1T2 Vn（F）， (T1T2)（）=T1（T2（） （iii） kT Vn（F）， （kT）（）=k（T（） （iv） 若T 1是可逆變換，T1 T1( )= 當且僅當T()=。,定義,二、 線性變換的矩陣,1 線性變換的矩陣與變換的坐標式 Vn（F）上線性變換的特點分析：,定義變換T 確定基中向量的象T（i）。 定義T（i） 確定它在基下i的坐標A i 。 定義變換T 確定矩陣A=A1，A2，An,（i） A 為變換矩陣 （ii） 變換的坐標式：Y=AX （iii）

18、 應用意義,例題1 對線性變換 : P4 X P4 X， 求D在基1，X，X2，X3下的變換矩陣。 2 求向量 在變換D下的象。,2 線性變換運算的矩陣對應： 設Vn（F）上的線性變換T1，T2，它們在同一組基下的矩陣：T1A1；T2A2 （i） （T1T2） （A1A2） （ii） （T1T2） A1A2 （iii） （kT） kA （iv） T1 A1,3 不同基下的變換矩陣 兩組基：1，2，, n ，1，2，, n ， （12 n）=（12 n ）C T（1 2 n ）=（1 2 n）A T（1 2 n）=（1 2 n）B,同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的,B=C1AC,1,2,3

19、,例題2 （P23， eg28）,例題2 （P23， eg28） 例題3 （P24， eg29） 設單位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的線性變換 P（x）= x - （x，u）u， 求P在自然基e1，e2，e3下的變換矩陣。 求P在標準正交基u，u2，u3下的變換矩陣。,三、不變子空間,問題的背景： 變換矩陣的化簡和空間的分解的對應關系 1. 不變子空間的概念 矩陣簡化要求空間分解的特點 定義(p24, 定義1.14) 2 . 不變子空間的判別 W是T的不變子空間 W T（） W。,特別：W=L 1，2，m， W是T的不變子空間 T（i）W 。,T（W）W。,P24，例題30 R3上的正交投影P：P（x）= x（x，u）u，u是單位向量。證明L（u）和 u =x ：（x，u）=0是P的不變子空間。,3 空間分解與矩陣分解 Vn（F）=WU，W，U是T的不變子空間 ，,W=L 1，r，U= r + 1 ， ， n,則T,1，r， r + 1 ， ， n,Vn（F）=U1U2 Uk， 則T,矩陣Ai 的階數(shù)=dim Ui,四、 正交變換和酉變換,討論內積空間V；（，） 中最重要的一類變換。 1 定義1 . 15 （P25） 2 正交（酉）變換的充要條件： （定理1.15, P26 ）T是內積空間V（F）上的線性變換，則下列命題等價：