留數(shù)定理及應(yīng)用

1、留數(shù)及其應(yīng)用摘 要 數(shù)定理得知，計(jì)算函數(shù)沿的積分，可歸結(jié)為計(jì)算圍線內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和而留數(shù)又是該奇點(diǎn)處的羅朗級(jí)數(shù)的負(fù)一次冪的系數(shù)，因此我們只關(guān)心該奇點(diǎn)處羅朗留數(shù)理論是復(fù)積分和復(fù)級(jí)數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，利用留數(shù)定理可以把沿閉路的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算孤立點(diǎn)處的留數(shù)此外，在數(shù)學(xué)分析及實(shí)際問(wèn)題中，往往一些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時(shí)即便可以，計(jì)算也非常復(fù)雜我們利用留數(shù)定理可以把要求的積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分，從而把待求積分轉(zhuǎn)化為留數(shù)計(jì)算本文首先介紹留數(shù)定義及留數(shù)定理，然后針對(duì)具體不同的積分類(lèi)型有不同的計(jì)算方法以及留數(shù)理論在定積分中的一些應(yīng)用關(guān)鍵詞 留數(shù)定理；留數(shù)計(jì)算；應(yīng)用引 言 對(duì)留

2、數(shù)理論的學(xué)習(xí)不僅是前面知識(shí)的延伸，更為對(duì)原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分的求法提供了一個(gè)較為方便的方法1. 預(yù)備知識(shí)孤立奇點(diǎn)1設(shè)在點(diǎn)的把計(jì)算閉曲線上的積分值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算各個(gè)孤立奇點(diǎn)上的留數(shù)的問(wèn)題，即計(jì)算在每一個(gè)孤立奇點(diǎn)處的羅朗展式中負(fù)冪一次項(xiàng)的系數(shù).在一般情況下，求羅朗展式也是比較麻煩的，因此，根據(jù)孤立奇點(diǎn)的不同類(lèi)型，分別建立留數(shù)計(jì)算的一些簡(jiǎn)便方法是十分必要的.1.1 若為的可去奇點(diǎn)則在某去心鄰域內(nèi)解析，但在點(diǎn)不解析，則稱(chēng)為的孤立奇點(diǎn).例如，以為孤立奇點(diǎn).以為奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn)，是支點(diǎn).以為奇點(diǎn)（又由，得故不是孤立奇點(diǎn)）2設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，則在的某去心鄰域內(nèi)，有稱(chēng)為在點(diǎn)的主要部分，稱(chēng)為

3、在點(diǎn)的正則部分，當(dāng)主要部分為時(shí)，稱(chēng)為的可去奇點(diǎn)；當(dāng)主要部分為有限項(xiàng)時(shí)，設(shè)為稱(chēng)為的級(jí)極點(diǎn)；當(dāng)主要部分為無(wú)限項(xiàng)時(shí)，稱(chēng)為本性奇點(diǎn).2. 留數(shù)的概念及留數(shù)定理1.留數(shù)的定義設(shè)函數(shù)以有限點(diǎn)為孤立點(diǎn)，即在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)解析，則積分為在點(diǎn)的留數(shù)，記為：2.留數(shù)定理介紹留數(shù)定理之前，我們先來(lái)介紹復(fù)周線的柯西積分定理：設(shè)是由復(fù)周線所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則定理1 （留數(shù)定理） 設(shè)在周線或復(fù)周線所范圍的區(qū)域內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則（ “大范圍”積分） （1）證明 以為心，充分小的正數(shù)為半徑畫(huà)圓周（）使這些圓周及內(nèi)部均含于，并且彼此相互隔離，應(yīng)用復(fù)周線的柯西定理得，由留數(shù)的定義，

4、有特別地，由定義得 ，代入（1）式得 定理2設(shè)為的階極點(diǎn)，其中在點(diǎn)解析，則這里符號(hào)代表，且有推論3設(shè)為的一階極點(diǎn)，則推論4設(shè)為的二階極點(diǎn)，則3. 留數(shù)的引理引理1設(shè)沿圓弧 (，充分大)上連續(xù)，且于上一致成立(即與中的無(wú)關(guān))，則引理2(若爾當(dāng)引理)設(shè)函數(shù)沿半圓周 (，充分大)上連續(xù)，且在上一致成立，則引理3(1)設(shè)為的階零點(diǎn)，則必為函數(shù)的一階極點(diǎn)，并且；(2)設(shè)為的階極點(diǎn)，則必為函數(shù)的一階極點(diǎn)，并且3. 留數(shù)的計(jì)算1. 函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)法則1：如果為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)，則 法則2：設(shè)，其中在處解析，如果，為的一階零點(diǎn)，則為的一階極點(diǎn)，且 . 法則3：如果為的m階極點(diǎn)，則 .2. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定理

5、 1 如果在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)）為，則在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零.關(guān)于在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算，我們有以下的規(guī)則.法則 4： .例 1求函數(shù)在奇點(diǎn)處的留數(shù)解有兩個(gè)一階極點(diǎn)，于是根據(jù)（6.5）得例 2求函數(shù)在奇點(diǎn)處的留數(shù)解 有一個(gè)三階極點(diǎn)，故由（6.7）得4. 留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用利用留數(shù)計(jì)算定積分活反常積分沒(méi)有普遍的實(shí)用通法，我們只考慮幾種特殊類(lèi)型的積分1.形如型的積分這里表示的有理函數(shù)，并且在上連續(xù)，把握此類(lèi)積分要注意，第一：積分上下限之差為，這樣當(dāng)作定積分時(shí)從經(jīng)歷變到，對(duì)應(yīng)的復(fù)變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周第二：被積函數(shù)是以正弦和余弦函數(shù)為自變量。當(dāng)滿(mǎn)足這兩個(gè)特點(diǎn)之

6、后，我們可設(shè)，則， 得 例1 計(jì)算解 令，則 例2 計(jì)算解 ，由于分母有兩個(gè)根，其中，因此 2 .形如型的積分把握此類(lèi)積分要注意，首先分析其函數(shù)特點(diǎn)，函數(shù)必須滿(mǎn)足一下兩條才能適用。第一：，其中，均為關(guān)于的多項(xiàng)式，且分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高兩次；第二：在半平面上的極點(diǎn)為（1，2，3，），在實(shí)軸上的極點(diǎn)為（1，2，3，）則有例3 計(jì)算解 取，孤立點(diǎn)為，其中落在上半平面的為，故。例4 計(jì)算解 由于，且上半平面只有一個(gè)極點(diǎn)，因此 3 .形如型的積分1) 留數(shù)公式定理2 （若爾當(dāng)引理）設(shè)函數(shù)沿半徑圓周（）上連續(xù)，且在上一致成立，則證明 ，使當(dāng)時(shí)，有 于是 （2）這里利用了 以及于是由若爾當(dāng)不等式（）

7、將（2）化為 即 2) 舉例例5 計(jì)算解 不難驗(yàn)證，函數(shù)滿(mǎn)足若爾當(dāng)引理?xiàng)l件這里，函數(shù)有兩個(gè)一階極點(diǎn)及，于是 4. 形如和型積分定理3 設(shè)，其中和是互質(zhì)多項(xiàng)式，并且符合條件：（1）的次數(shù)比的次數(shù)高；（2）在實(shí)軸上；（3）則有 （3）特別地，將（3）式分開(kāi)實(shí)虛部，就可用得到形如及的積分例6 計(jì)算解 利用以及若爾當(dāng)引理，且分母在上半圓只有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)和，得到 例7 計(jì)算（）解 被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，它共有四個(gè)一階極點(diǎn)，即（）得 （），因?yàn)?，所以在上半面只有兩個(gè)一階極點(diǎn)及，于是 ，故 小結(jié):正確的運(yùn)用留數(shù)可以有效的解決一些復(fù)雜的定積分問(wèn)題，留數(shù)定理是學(xué)習(xí)輻角原理的基礎(chǔ)，在復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)中有著重要的作用，是復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)理論之一.上面舉例說(shuō)明了常見(jiàn)的幾種可以用留數(shù)定理計(jì)算的定積分類(lèi)型，計(jì)算比較簡(jiǎn)捷，通過(guò)上面幾例，可以看出實(shí)積分中是定積分計(jì)算與利用留數(shù)定理計(jì)算之間既有區(qū)別，也有聯(lián)系解題時(shí)應(yīng)視具體情況而定，有使用實(shí)積分理論計(jì)算很困難甚至無(wú)法計(jì)算時(shí)，利用留數(shù)定理能收到很好的效果.參 考 文 獻(xiàn)1鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論M高等教育出版社，2004.2蓋云英.復(fù)變函數(shù)與積分變換指導(dǎo)M科學(xué)出版社，20