點的運動軌跡

1、點的運動軌跡點的運動軌跡 符合一定條件的動點所形成的圖形，或者 說，符合一定條件的點的全體所組成的集合， 叫 做滿足該條件的點的軌跡.“動點路徑”是一個比較抽象的問題，但在高 中解析幾何中的學(xué)習(xí)是非常有用的， 也是非常重 要的。在研究動點問題時，可以在運動中尋找不 變的量，即不變的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系.如果動 點的軌跡是一條線段，那么其中不變的量便是該 動點到某條直線的距離始終保持不變；如果動點 的軌跡是一段圓弧，那么其中不變的量便是該動 點到某個定點的距離始終保持不變. 因此，解決 此類動點軌跡問題便可轉(zhuǎn)化為尋找變量與不變 的關(guān)系。常用的基本軌跡：1、如圖，已知AB=1Q P是線段AB上的動點

2、， 分別以APPB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊 ACP 和厶PDB連接CD設(shè)CD的中點為G,當(dāng)點P從 點A運動到點B時，則點G移動路徑的長是 變式1、（2010桂林）如圖：已知 AB=10點CD在線段 AB上且AC=DB=2 P是線段CD上的動 點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊 AEP和等邊 PFB連接EF,設(shè)EF的中點為G; 當(dāng)點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的 長是.變式2、如圖：已知AB=10點C D在線段AB上且AC=DB=2 P是線段CD上的動點，分別以 AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形 APEF和 正方形PBGH點0和Q是這兩個正方形的中心， 連接QQ,設(shè)0

3、Q的中點為Q當(dāng)點P從點C運 動到點D時，則點Q移動路徑的長是.2、如圖，已知線段 AB=1Q AC=BD=2點P是CD線段0102中點G的運動路徑的長是 母題：若x t 3 , y 5 t，則y與x之間的關(guān)系是3、如圖 1,在 Rt ABC中，/ C=90, AC=6BC=8動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個 單位長度的速度運動，動點 Q從點C開始沿邊 CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過 點P作PD/ BC交AB于點D,連接PQ分別從點 A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一 點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒(t 0).(1) 直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB= ， PD= (

4、2) 是否存在t的值，使四邊形PDB(為菱形？ 若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并 探究如何改變Q的速度(勻速運動)，使四邊形 PDB(在某一時刻為菱形，求點 Q的速度；(3) 如圖2,在整個運動過程中，求出線段 PQ 中點M所經(jīng)過的路徑長.乩1t 0變式1:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 的兩邊OA OC分別在x軸、y軸的正半軸上， OA4, OC= 2點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒 1個單位長的速度向點A勻速運動，當(dāng)點P到達(dá) 點A時停止運動，設(shè)點P運動的時間是t秒將 線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90得 點D,點D隨點P的運動而運動，連接 DP DA變式2:如圖，邊長

5、為4的等邊三角形AOB勺頂點0在 坐標(biāo)原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限.一 動點P沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動， 當(dāng)點P到達(dá)點A時停止運動，設(shè)點P運動的時間是t 秒.將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得 點C,點C隨點P的運動而運動，連接CP CA過點P 作PDL 0B于點D.（1）填空：PD的長為用含t的代數(shù)式表示）；（2）求點C的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示)；(3)在點P從O向A運動的過程中， PCA能否成為直角三角形？求t的值若不能，說理由;(4)填空：在點P從0向A運動的過程中，點C運動路線的長為x4、在矩形ABCD中，點P在AD上, AB= 以，AP=1將

6、直角尺的頂點放在P處，直角尺的兩邊 分別交AB, BC于點E, F,連接EF (如圖).當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合（如 圖2）,則PC的長為；（2）將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E和點A重合時停止.在這個過程中， 從開始到停止，線段EF的中點所經(jīng)過的路徑（線 段）長為。變式、如圖，直角坐標(biāo)系中，已知點 A（2, 4）, B（5，0），動點P從B點出發(fā)沿B0向終點0運 動，動點Q從A點出發(fā)沿AB向終點B運動.兩 點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位，設(shè)從出發(fā) 起運動了 x秒.（1）Q點的坐標(biāo)為（_ （用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)x為何值時， APQ是一個以AP為腰

7、的 等腰三角形？（3）記PQ的中點為G.請你直接寫出點G隨點 P, Q運動所經(jīng)過的路線的長度.5、如圖，OALOB垂足為O, P、Q分 別是射線OA OB上的兩個動點，點C 是線段PQ的中點，且PQ=4則動點C 運動形成的路徑長是。變式、某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點問題進(jìn)行探究， 已知AB=8.問題思考：如圖1,點P為線段AB上的一個動點，分別以 AP、BP 為邊在同側(cè)作正方形APDC BPEF(1) 當(dāng)點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？ 若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和 的最小值.問題拓展：(2) 如圖2,以AB為邊作正方形ABCD動點P、Q在正 方形ABCD勺邊上

8、運動，且PQ=8若點P從點A出發(fā)，沿 A-B-C-D的線路，向點D運動，求點P從A到D的運 動過程中，PQ的中點0所經(jīng)過的路徑的長.(3) 如圖3,在“問題思考”中，若點 M N是線段AB 上的兩點，且AM=BN=1點G H分別是邊CD EF的中點， 請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點0所 經(jīng)過的路徑的長及0M+0的最小值.&等邊三角形ABC勺邊長為6,在AC, BC邊上各取一點E,F,連結(jié)AF BE相交于點P.1）若AE=CF求證：AF=BE并求/ APB的度數(shù).2）若AF=BE當(dāng)點E從點A運動到點C時，試求點P 經(jīng)過的路徑長9、（2018達(dá)州中考16） 6、如圖，在Rt ABC

9、中, / ACB=90 , AC=2 BC=5 點 D是 BC邊上一點 且CD=1點P是線段DB上一你動點。連接AP, 以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt AOP當(dāng)點 P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點0的運動路 徑長為。(南京)8如圖，正方形 ABCD勺邊長是2, M 是AD的中點，點E從點A出發(fā)，沿AB運動到點 B停止連接EM并延長交射線CD于點F,過M 作EF的垂線交射線BC于點G,連結(jié)EG FG(1) 設(shè)ABx時， EGF的面積為y，求y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(2) P是MG的中點，請直接寫出點P運動路線 的長.如圈1,在矩形榭中，沖“宀= 點恵從點號岀艮 沿

10、必邊運動到點G連結(jié)場，過點於勵的垂 線交沖肝點鳳0）求彳正，盤曲FE 丄貞求助的最大值；如圖2,在點J3的運動過程口，以也力邊，在附土方作等邊乂求邊 M 中點打所經(jīng)過的爵徑長.閱讀下列材料：小華遇到這樣一個問題，如圖1, ABC中，/ ACB =30o,BC=6,AC=5,在厶 ABC內(nèi)部有一點 P,連接 PA.PB.PC,求 PA+PB+P的最小值.小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想 辦法將這三條端點重合于一點的線段分離，然后 再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點,這樣依據(jù)“兩點之間,線段最短”，就可 以求出這三條線段和的最小值了.他先后嘗試了翻折.旋轉(zhuǎn).平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決 這個問題他的做法是，如圖2,將厶APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60o,得到 EDC連接PD.BE則BE的 長即為所求.(1) 請你寫出圖2