初中數(shù)學(xué)競賽：一次不等式(不等式組)的解法

1、初中數(shù)學(xué)競賽：一次不等式 (不等式組)的解法不等式和方程一樣，也是代數(shù)里的一種重要模型在概念方面，它與方程很類似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性質(zhì)，而且“數(shù)學(xué)的基本結(jié)果往往是一些不等式而不是等 式”本講是系統(tǒng)學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)下面先介紹有關(guān)一次不等式的基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析1不等式的基本性質(zhì)這里特別要強(qiáng)調(diào)的是在用一個(gè)不等于零的數(shù)或式子去乘(或去除)不等式時(shí)，一定要注意它與等式的類似性質(zhì)上的差異，即當(dāng)所乘(或除)的數(shù)或式子大于零時(shí)，不等號(hào)方向不變(性 質(zhì)(5)；當(dāng)所乘(或除)的數(shù)或式子小于零時(shí)，不等號(hào)方向要改變(性質(zhì)(6)2區(qū)間概念在許多情況下，可以用不等式表示數(shù)集和點(diǎn)集如果設(shè) a，b 為

2、實(shí)數(shù)，且 ab，那么(1) 滿足不等式 axb 的數(shù) x 的全體叫作一個(gè)開區(qū)間，記作(a，b)如圖 14(a)(2) 滿足不等式 axb 的數(shù) x 的全體叫作一個(gè)閉區(qū)間，記作a，b如圖 14(b)(3) 滿足不等式 axb(或 axb)的 x 的全體叫作一個(gè)半開半閉區(qū)間，記作(a，b(或 a，b)如圖 14(c)，(d)3一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一樣，經(jīng)過移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、整理后，總可以寫成下面的標(biāo)準(zhǔn) 型：axb，或 axb為確定起見，下面僅討論前一種形式一元一次不等式 axb(3)當(dāng) a=0 時(shí)，用區(qū)間表示為(-，+)例 1 解不等式解 兩邊同時(shí)乘以 6 得12(x+1)+2

3、(x-2)21x-6，化簡得-7x-14，兩邊同除以-7，有 x2所以不等式的解為 x2，用區(qū)間表示為(-，2例 2 求不等式的正整數(shù)解正整數(shù)解，所以原不等式的正整數(shù)解為 x=1，2，3例 3 解不等式分析與解 因 y2+10，所以根據(jù)不等式的基本性質(zhì)有例 4 解不等式為 x+27，解為 x5這種錯(cuò)誤沒有考慮到使原不等式有意義的條件：x6 解 將原不等式變形為解之得所以原不等式的解為 x5 且 x6例 5 已知 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且 yx+9，試比較解 首先解關(guān)于 x 的方程得 x=-10將 x=-10 代入不等式得 y-10+9，即 y-1例 6 解關(guān)于 x 的不等

4、式：解 顯然 a0，將原不等式變形為 3x+3-2a2a-2ax，即(3+2a)x(2a+3)(a-1)說明 對(duì)含有字母系數(shù)的不等式的解，也要分情況討論例 7 已知 a，b 為實(shí)數(shù)，若不等式(2a-b)x+3a-4b0解 由(2a-b)x+3a-4b0 得 (2a-b)x4b-3a由可求得將代入得所以 b0于是不等式(a-4b)x+2a-3b0 可變形為因?yàn)?b0，所以下面舉例說明不等式組的解法不等式組的解是不等式組中所有不等式解的公共部分若不等式組由兩個(gè)不等式組成，分別解出每一個(gè)不等式，其解總可以歸納成以下四種情 況之一(不妨設(shè) )：解分別為：x ；x ； x ；無解如圖 15(a)，(b)

5、，(c)，(d)所示若不等式組由兩個(gè)以上不等式組成，其解可由下面兩種方法求得： (1)轉(zhuǎn)化為求兩兩不等式解的公共部分如求解(2)不等式組的解一般是個(gè)區(qū)間，求解的關(guān)鍵是確定區(qū)間的上界與下界，如求解確定上界：由 x4，x8，x5，x2，從 4，8，5，2 這四個(gè)數(shù)中選最小的數(shù)作為上 界，即 x2確定下界：由 x-4，x-6，x0，x-3從-4，-6，0，-3 中選最大的數(shù)作為下界， 即 x0確定好上、下界后，則原不等式組的解為：0x2不等式組中不等式的個(gè)數(shù)越多， (2)越有優(yōu)越性例 8 解不等式組解 原不等式組可化為解之得例 9 解關(guān)于 x 的不等式組解 解得4mx11，解得 3mx8 (1)當(dāng) m=0 時(shí)，變?yōu)樵坏仁浇M無解(2)當(dāng) m0 時(shí)，變形為(3