概率論期末考試試題

1、1. 全概率公式貝葉斯公式1.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分成三類：“謹(jǐn)慎的、“一般的和“冒失的。統(tǒng)計(jì)資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.3。并且它們分別占投?？?cè)藬?shù)的20%，50%和30%?，F(xiàn)已知某保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的保險(xiǎn)戶的概率是多少？解：設(shè)A、A A分別表示“謹(jǐn)慎的“一般的和“冒失的保險(xiǎn)戶，B表示“發(fā)生事故，由貝葉斯公式知P(A IB)P(A)P(B| A)P(A)P(B|A) P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.0570.2 0.050.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.3090% ,平時(shí)沒練習(xí)過的題目在考試時(shí)答對(duì)

2、2. 老師在出考題時(shí)，平時(shí)練習(xí)過的題目占60%.學(xué)生答卷時(shí)，平時(shí)練習(xí)過的題目在考試時(shí)答對(duì)的概率為的概率為30%,求:(1) 考生在考試中答對(duì)第一道題的概率；(2) 若考生將第一題答對(duì)了，那么這題是平時(shí)沒有練習(xí)過的概率3. 在蔬菜運(yùn)輸中，某汽車運(yùn)輸公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次為0.2,0.5,0.3。在三地拉到一級(jí)菜的概率分別為10%，30%，70%1)求能拉到一級(jí)菜的概率；2)已知拉到一級(jí)菜，求是從乙地拉來的概率。解：1、解：設(shè)事件 A表示拉到一級(jí)菜，Bi表示從甲地拉到，B2表示從乙地拉到，b3表示從丙地拉到則 P(B1) 0.2， P(B2) 0.5 ； P(Bs) 0.3 P(

3、A.Bs)0.7則由全概率公式得3P(A)P(Bi) P(A/Bi) = 0.2 0.1 0.5 0.3i 1(2)拉的一級(jí)菜是從乙地拉得的概率為p(B2)P(AB)P(A BJ0.3 0.70.1 ， P(AB2)0.38 ( 7 分)0.3 ,P(B2, A)P(A)05仝 0.39470.38(10 分)5.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間0,1上服從均勻分布，求隨機(jī)變量2.維隨機(jī)變量Y=e 2X的密度函數(shù).6.已知XN(2x -2),用分布函數(shù)法證明：Y XN(0,1).證明:設(shè)Xfx(x), 丫aX b,則a 0時(shí),y f Y(y)丫(晉)FY(y) PYFx( y(y)2fY(y) FY(y)F

4、xy ) fx( y丫 N(0,1)7.設(shè)隨機(jī)7.變量X的密度函數(shù)f(x)c1x2求（1）c 的值；（2） P X解：（1）由密度函數(shù)的性質(zhì)+f(x)dx1故c=(2)(3)EX：丄 ；（ 3）2f(x)dxEXX的分布函數(shù).1得:代2 dx(4 分)-1x21PX| 2+xf(x)dx1 ,21+dx2xdx8.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為Fx)求:(1)系數(shù)A; (2)X的分布密度f(x); (3) P 00.25解：(1)A=1;(2) f(x)12, x1；(3)0.510.設(shè)（X，Y ）的分布為0 其它1arcs in x|212（7 分）-1dx0 - (10 分)3.二維隨機(jī)變

5、量-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8證明X與Y不相關(guān)，也不獨(dú)立證明：cov（ X，Y）=EXY-EXEY （1 分）而 EXY=0EX=0 ， EY=0（3分）XYcov(X,Y)DX . DY0故X與Y不相關(guān)。（5分）下證獨(dú)立性PX0,Y00PX01/4 PY=0=1/4 -(8 分)PX 0,Y0 PX 0?PY0故X與Y也不獨(dú)立。(10分)11. (X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布, D (x,y)x2y2 4 ，證明X與Y不獨(dú)立也不相關(guān)12. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布，其中D=(x,y)|x 2+y21,求:.1 x2(1)X與Y的邊緣密

6、度函數(shù)；(2)判斷X與Y是否獨(dú)立。1 y2解: (1) f 乂x)二0 其它0 其它(2) X 與Y不獨(dú)立。13.某車間有同型號(hào)機(jī)床200部，每部開動(dòng)的概率為0.7,4.中心極限定理各機(jī)床開關(guān)獨(dú)立，開動(dòng)時(shí)每部要耗電15個(gè)單位，問至少要供應(yīng)該車間多少單位電能,才能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)(1.64)=0.95,6.48).解： X用表示任一時(shí)刻車間有同型號(hào)機(jī)床則 X B(200,0.7)，則EX140, DX 42( 3 分)假定至少需要m單位電能，則有:P(X0.95由中心極限定理可得:140mx0.95 P(X ) P(-15V4215.42140)(15140)(8 分)

7、m 140從而有：15屁故至少需準(zhǔn)備2265單位電能,1.64，所以m 226510分)14.某學(xué)院校園網(wǎng)中家屬區(qū)每晚約有 4004臺(tái)電腦開機(jī)，而每臺(tái)電腦約有 一5的時(shí)間登入互聯(lián)網(wǎng)，并且假定各臺(tái)電腦是否上互聯(lián)網(wǎng)彼此無關(guān),計(jì)算其中至少300臺(tái)同時(shí)在互聯(lián)網(wǎng)上的概率.(2.5)=0.99379)10個(gè)終端同時(shí)使用15. 某計(jì)算機(jī)有120個(gè)終端，每個(gè)終端在一小時(shí)內(nèi)平均有3分鐘使用打印機(jī)，假定各終端使用打印機(jī)與否相互獨(dú)立，求至少有打印機(jī)的概率。(1.68)=0.95352,5.72.3874)解：每個(gè)終端使用打印機(jī)的概率為p=1/20，設(shè)同時(shí)有 X個(gè)終端使用，則 XB(120,1/20) , EX=np

8、=6, DX=npq=5.7 ,由于n=120很大，由中心極限定理，近似地XN(6,5.7)10 6/. P(XA 10)=1-F(10)=1-( )=1-(1.68)=1-0.95352=0.046485.7100小時(shí)，將3個(gè)這樣的元件串聯(lián)在一個(gè)線路中，求：在150小時(shí)后線路仍正常工作16. 某種電子元件的壽命服從指數(shù)分布，已知其平均壽命為 的概率。解：由題可知0.01 -(2 分)則某電子元件的壽命超過150小時(shí)的概率為p PX 1501故三個(gè)串聯(lián)150小時(shí)仍正常的概率為F(150)3p4.51.5e(8 分)(10 分)5.極大似然估計(jì)17.設(shè)總體X的密度函數(shù)為 f(x;)0)，其它若(X1,X2,X n)為來自總體的一個(gè)樣本,求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值18.設(shè)總體 X的分布密度為 f(x)X 1,求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)。解：似然函數(shù) L(X1, X 2,X n,)=XilnL= nln e +ln( e -1)ln