北京市朝陽區(qū)2015-2016學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試(數(shù)學(xué))

1、北京市朝陽區(qū)2015-2016 學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（理工類）2016 1（考試時(shí)間120 分鐘滿分 150 分）本試卷分為選擇題（共40 分）和非選擇題（共110 分）兩部分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題 ：本大題共 8 小題，每小題5 分，共 40 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知集合 Mx | 1x 1 ， Nx，則 MNx |0x1A x | 0x1B x | 0x 1C x | x0D x | 1x 02復(fù)數(shù) zi(1i) （ i 是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為A (1,1)B( 1,1)C (1,1)D (1,1)開始3

2、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i 值為A 3B 4C 5D 6m =1, i=1m=mi= i +1否m=0?是輸出 i結(jié)束第3題圖4在一段時(shí)間內(nèi)有2000 輛車通過高速公路上的某處，現(xiàn)隨機(jī)抽取其中的200 輛進(jìn)行車速統(tǒng)計(jì)，統(tǒng) 1計(jì)結(jié)果如下面的頻率分布直方圖所示若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90km/h 120km/h ，試估計(jì) 2000 輛車中，在這段時(shí)間內(nèi)以正常速度通頻率過該處的汽車約有組距0.035A 30輛B 300 輛0.030C 170輛D1700 輛0.0200.0100.0058090100110120130 車速（ km/h）第4題圖5“ a1 ” 是“函數(shù)f ( x )

3、axc os x 在 R 上單調(diào)遞增”的A 充分不必要條件B 必要不充分條件C充分必要條件D 既不充分也不必要條件6 已知點(diǎn)A Q ( 2 2 , 0 ) 及拋物線 x2P Q 的最小值是4 y 上一動(dòng)點(diǎn) P ( x , y ) ，則 y1B1C2D327某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是A 27B 303C 32D 364正視圖側(cè)視圖3俯視圖第 7題圖8設(shè)函數(shù)f ( x ) 的定義域D ，如果存在正實(shí)數(shù)m ，使得對(duì)任意 xD ，都有f ( xm )f ( x ) ，則稱 f ( x ) 為 D 上的“m 型增函數(shù)”已知函數(shù)f ( x ) 是定義在R 上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0 時(shí)，f

4、( x )xaa （ aR ）若 f ( x ) 為 R 上的“ 20 型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 2A a0B a5C a10D a20第二部分（非選擇題共 110 分）二、填空題：本大題共6 小題，每小題 5 分，共30 分把答案填在答題卡上 9函數(shù) y2 sin (2 x) 1的最小正周期是，最小值是6xy 2 ，10若 x ， y 滿足約束條件2 xy 1 ， 則 z xy 的最大值為y 1 ，11在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中，若 a 2 = 2 ，則 a1 + 2 a 3 的最小值是12甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念要求老師必須站在正中間，甲同學(xué)不與

5、老師相鄰，則不同站法種數(shù)為13已知 A, B 為圓 C: ( xm )2( y29( m , nR )上兩個(gè)不同的點(diǎn)（C 為圓心），且滿足n )|CA CB| 2 5，則 AB14已知點(diǎn) O 在A B C 的內(nèi)部，且有xO Ay O BzO C0，記AOB,BOC, AOC 的面積分別 為S， 若 xyz1 ， 則S AOB:S AOC； 若AOBSBOCSAS BOCx 2 , y3 ,z，則 SA O B: SB O C: SA O C4三、解答題：本大題共6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題滿分13 分）某中學(xué)高一年級(jí)共8個(gè)班，現(xiàn)從高一年級(jí)選10 名同

6、學(xué)組成社區(qū)服務(wù)小組，其中高一（1）班選取 3 名同學(xué)，其它各班各選取1 名同學(xué)現(xiàn)從這10 名同學(xué)中隨機(jī)選取3 名同學(xué)，到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）（）求選出的3 名同學(xué)來自不同班級(jí)的概率；（）設(shè) X 為選出同學(xué)中高一（1）班同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X 的分布列和數(shù)學(xué)期望16（本小題滿分 13 分）如圖，在ABC中，點(diǎn) D 在 BC 邊上，A 3BDC7CAD, AC42， co s A D B21 0（）求 sinC 的值；（）若BD5, 求ABD 的面積17（本小題滿分13 分）如圖，在四棱錐PA BC D 中，底面 A B C D 是菱形，且D AB60點(diǎn)

7、 E 是棱 PC 的中點(diǎn)，平面 ABE 與棱 PD 交于點(diǎn)F （）求證：ABEF；（）若PAPDAD ，且平面PAD平面 ABCD ，求平面P A F 與平面A F E 所成的銳二面角的余弦值PFE18（本小題滿分14 分）已知函數(shù)f ( x )a xln x , 其中 aR （）若f ( x ) 在區(qū)間 1, 2 上為增函數(shù)，求a 的取值范圍；（）當(dāng)ae 時(shí)，（）證明：f ( x )20 ；ln x3（）試判斷方程f ( x )x219（本小題滿分14 分）2222已知圓 O : xy1 的切線 l 與橢圓 C : x3 y（）求橢圓 C 的離心率；（）求證： O AO B ；（）求O A

8、B 面積的最大值 .DCAB是否有實(shí)數(shù)解，并說明理由4相交于A，B 兩點(diǎn)20（本小題滿分13 分）已知有窮數(shù)列： a 1 , a 2 , a3 , , a k ( k*的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足條件：N , k 3) 421( n 1, 2 , 3, k 1) a1 a k ； a n2 a n 1a na n 1（）若 k3, a1 2，求出這個(gè)數(shù)列；（）若 k4 ，求 a1的所有取值的集合；（）若 k是偶數(shù)，求a 1 的最大值（用k 表示）關(guān)注課外 100 網(wǎng)，及時(shí)獲得最新教研資料北京市朝陽區(qū)2015-2016 學(xué)年度第一學(xué)期期末高三年級(jí)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)答案（理工類）2016 1 5一、選擇題：（

9、滿分40 分）題號(hào)12345678答案ADBDACAB二、填空題：（滿分30 分）題號(hào)91011121314答案， 144 21 241:1:14:2:3（注：兩空的填空，第一空3 分，第二空2 分）三、解答題：（滿分80 分）15（本小題滿分13 分）解： （）設(shè)“選出的3 名同學(xué)來自不同班級(jí)”為事件A，則1C2034 9P( A)C 37C 3C 73.C 1 06 0所以選出的3 名同學(xué)來自班級(jí)的概率為4 95 分6 0（）隨機(jī)變量X 的所有可能值為 0， 1， 2，3，則C037122 1P ( X0 )3C 7P ( X1)C 3C 73；3；C 1 02 4C 1 04 0C217

10、301P ( X2 )3C 7P ( X3)C 3C 73；3C 1 04 0C 1 01 2 0所以隨機(jī)變量X 的分布列是X0123P72 1712 44 04 01 2 0隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望E(X )072 12731913 分14 04 02 41 2 01 016（本小題滿分13 分）解：（）因?yàn)?c o sA D B2A D B72，所以 sin1 01 0又因?yàn)镃 A D，所以CA D B44 6sinCsin (A D B)sinA D B co sco sA D Bsin44472222471 021 02574ACDADACA DA Cs inC252 2sinA D

11、C72sinCsinADC1 0S ABD1172132A DB DsinA D B22 2571 01713ABCDABCDA BPCDCDPCDABPCDA,B,E,FABEFP C DE FABEF5zADGPG,GBP APDPGADPADABCDPFEP A DABCDADP GABCDPG GBDGCABCDABA DAByxD A B60GADA DG BG x yzP A PDA D 2 aG (0 , 0 , 0 ), A ( a , 0 , 0 )B ( 0 , 3 a , 0 ), C ( 2 a , 3 a , 0 ), D ( a , 0, 0 ), P ( 0, 0

12、 ,3 a )ABEFEP CFP D3 a3 aE ( a ,)22a3 a3 a3 a(a3 a, 0 )F(,0,)A F(,0,)EF,222222 7nA F0 ,z3 x ,A F En( x , y , z )3nE F0.yx.3x 3A F En(3,3,3 3)B GPADGB( 0 ,3 a , 0 )P A Fco s nG B3 a1 3G B3 93 a1 3nPAFAFE1 3131 31814f( x )x( 0 ,)f ( x )1axf( x )1,2 f ( x )0x1,2 f ( x )10a11, 2axxxa14.2aef ( x )e xlnx

13、, fex 1( x )xf( x )0x1ef( x )0, x(0 ,1)f ( x )(0 ,1)eef( x )0, x(1,)f ( x )(1,)ee1112f( x ) m axf()elneeef( x)209f( x ) m ax2| f ( x ) |2g ( x )lnx3).g1lnxx2, x(0,( x )2xg ( x )0xeg ( x )0, x(0,e )g ( x )(0 , e ) 8令 g ( x )0, 得 x(e,)，所以函數(shù)g ( x )在 (e ,) 單調(diào)遞減；所以， g ( x ) m axlne313， 即 g ( x )2 g (e )e

14、2e22所以 | f ( x ) |g ( x ) ，即| f ( x ) |ln x3x2所以，方程| flnx314 分( x ) |沒有實(shí)數(shù)解x219（本小題滿分14 分）解：（）由題意可知a24， b24，所以 c2a2b2833所以 ec6所以橢圓 C的離心率為63 分a33（）若切線l 的斜率不存在，則l: x12 2x 3 y在441 中令 x1 得 y1不妨設(shè) A (1,1), B (1,1)，則 OAO B110所以O(shè)AOB同理，當(dāng) l : x1時(shí)，也有 O AO B 若切線 l 的斜率存在，設(shè)l : ykxm，依題意m1 ，即 k21 m2 2k1yk xm222由 224

15、，得 (3 k1) x6 km x3 m40 顯然0x3 y6 km243m設(shè) A ( x 1 , y1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) , 則 x1x 221， x 1 x 223 k3 k1所以 y1 y 2( kx1m )( k x 2m )22k x1 x 2k m ( x 1 x 2 ) m .所以 OA OBxxyy21) x xk m ( xx) m2122( k21112246 k m23m2( k1)21k m2m3 k3 k1( k2222221)(3 m4 ) 6 k m(3 k1) m213 k 924 k24 m43 k2121)244 ( k4 k2103

16、kO AO BO AO B9ABOOO A BlA B2S OAB1 .l6 km2422223 mA B(1k)( x 1x 2)4 x 1 x 2 1k(2)4213 k13 k212k9 k22221)21m(3 m4 )(3 k3 k212212k224k221) 421 2 k3 m21 2 k3 ( k3 k13 k1212k21219 k3 k4 (1221)41 0 k222k )(9k4 (9 k1)4 k)A B22424 (1416 k2(3 k1)9 k6 k9 k121 641 63k41 64214143k9 k6 k9 k26332kA B43,233(SO A

17、B) m a x.3k323O A B14332013k3, a12a 32101a 12323 a 2 10a 212 a 22 a 21a 2a 2a12a 2 1a 222 a 31a2a 3132, ,22k4a4a1a n21( n 1, 2 , 3 )( a n 2 a n1) 02 a n 11 )(1a na n1a n a n1a n 111a na n 1a n( n1, 2,3)2a 1a 42 a n11a n13a n 11a1a 44a n1a 211111a 3a 2a 4a 3a 4a1a1a1224 a 122a 2111a 1a 3a 4a 32a 223a 2111a 1a 3a 2a 422a 31a 4 a 1 a1 1 a14a 4 a 1 a1 2 a111114a 2a 3a 4a 4a1a11a1a 2a 3a 11a1 ,1, 2 8 2k2 m , m*IIa n 11a na n 112 m 1)N , m 22