完整版)切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理37508

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 切線長(zhǎng)概念“切線長(zhǎng)”是切線上（PA 長(zhǎng)）切線長(zhǎng)是在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。2. 切線長(zhǎng)定理（2）若已知兩條切對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3 ）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角 互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過這點(diǎn)向圓引的兩條

2、切線所夾的角。文檔3.弦切角:直線AB切OO于P, PC PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。5. 弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6. 遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。7.與圓有關(guān)的比例線段 定理圖形相交弦定 理AXDC總已知O O中，AB CD為弦，交 PA- PB= PC- PD. 于P.結(jié)論證法連結(jié)AC BD證： APCDPB.相交弦定CO O中，AB為直徑，CDL pC= PA- PB.理的推論/AB于 P.（特殊情況）用相交弦定理O 0中，PT切O 0于T, 割線PB交O

3、 0于ApT2= PA- PBPBPD為O O的兩條割線，PA- PB= PC- PD 交O 0于A C連結(jié) TA、TB,證： PTBPAT過P作PT切O O于T,用兩次切割線定理（記憶的方法方法）O 0中，割線PB交O 0于PC - PD = r2- 0P2延長(zhǎng)P0交O 0于 M 延 A, CD為弦PA- PB= 0P- r2r為O0的半徑長(zhǎng)0P交O 0于N,用相交 弦定理證；過P作切線用 切割線定理勾股定理證8.圓幕定理：過一定點(diǎn)P向O 0作任一直線，交O 0于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積 為常數(shù)L一廠| （ R為圓半徑），因?yàn)榻凶鳇c(diǎn)對(duì)于O 0的幕，所以將上述定理統(tǒng)稱為 圓幕定理

4、?！镜湫屠}】例1.如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓 0,過A作半圓切線，切 點(diǎn)為F,交CD于 E,求DE AE的值。圖1解：由切線長(zhǎng)定理知： AF= AB= 1, EF= CE 設(shè)CE為x，在Rt ADE中，由勾股定理A1_ 3日15)5 = 1-恥二 1 + 二一4=44 43- = 3： 544cm。例2. O O中的兩條弦 AB與CD相交于 E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm 那么CE=解：由相交弦定理，得AE BE= CE- DE/ AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,DE=CD-CE =1-CE.6冥2=強(qiáng)(76

5、) ,即亡費(fèi)+12 = 0/ CE= 3cm或 CE= 4cm。故應(yīng)填3或4。點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則*小:AC2 = $氏解：/ P=Z P/ PAC=Z B, PACA PBAAB _ PB.疋二7Z,又 PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得M 二刃，F(xiàn)CAB2 _ 陽 _ FS _ 円花-麗 ?Bn A護(hù):PC即，故應(yīng)填PCo點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。例4.如圖3, P是O O外一點(diǎn)，PC切O O于點(diǎn)C, PAB是O O的割線，交O O于A B兩點(diǎn)，如果PA:PB=

6、1 : 4, PC= 12cm o O的半徑為10cm 則圓心 o到AB的距離是cm。解：/ PC是O O的切線，PAB是O O的割線，且 PA: PB= 1 : 4PB= 4PA又 PC= 12cm由切割線定理，得 ?，-： _.1，4R4.PB= 4 X 6= 24 (cm). AB= 24 6 = 18 (cm)設(shè)圓心O到AB距離為d cm,由勾股定理，得出二二應(yīng)匈 故應(yīng)填J。例5.如圖4, AB為OO的直徑，過 B點(diǎn)作O O的切線BC, OC交O O于點(diǎn)E, AE的延長(zhǎng)線交 BC于點(diǎn) D,( 1)求證：占JU ； (2)若AB= BC= 2厘米，求CE CD的長(zhǎng)。點(diǎn)悟：要證證明：（1）

7、連結(jié)BE召U是0 0的切線=Zj4=乙亡血ZD坤角OA = OE ZA = ZOSA乙 OEA = 5ECHUEDS心EE = = 窗=CB * CDCD CS(2)膽是0沏線 應(yīng)為直徑= 丄ABD = 90-血二2 n O呂二1 U g = 用門OS = A又-,厘米。例6.如圖5，AB為O O的直徑，弦E。點(diǎn)撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。證明：連結(jié)BD,/ AE切O O于 A/ EAD=Z ABD/ AE AB,又 AB/ CD AE CD/ AB為O O的直徑/ ADB= 90/ E=Z ADB= 90 ADEA BADAD DE.-丄：.AD2 =

8、 AB* DE/ CD/ ABc nAD=BC AD= BC,EC2 = AS* DS例7.如圖6, PA PC切O O于A、C, PDB為割線。求證： AD- BC= CD- AB圖6點(diǎn)悟：由結(jié)論 AD- BC= CD- AB得-，顯然要證厶 PADA PBAD PCSA PBC證明：/ PA切O O于A,/ PAD=Z PBA又/ APD=Z BPA PADA PBAM PD.I J 同理可證厶PCDA PBCCD PD/ PA PC分別切O O于A、C PA= PCM CD.I=1 AD- BC= DC- AB例8.如圖7,在直角三角形 ABC中，/ A= 90。，以AB邊為直徑作O O

9、,交斜邊BC于點(diǎn)D,過D點(diǎn) 作O O的切線交AC于 E。圖7求證：BC= 2O呂點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證 。丘是厶ABC的中位線。而 OA= OB只須證AE= CE, 證明：連結(jié)ODAC丄AB, AB為直徑 AC為O O的切線，又DE切OO于D EA= ED, ODL DE/ OB= OD / B=Z ODB在 Rt ABC中，/ C= 90/ B/ ODE= 90.= 92 - ODBC=/ EDC ED= EC AE= EC。丘是厶ABC的中位線 BC=2OEC例9.如圖8,在正方形 ABCD中，AB= 1，弓是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)En是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn) E與

10、點(diǎn)A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊 DC于點(diǎn)F，G 為切點(diǎn)。當(dāng)/ DEF= 45時(shí)，求證點(diǎn) G為線段EF的中點(diǎn)；解：由/ DEF= 45,得【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、選擇題1.已知：PA PB切O O于點(diǎn)A、B,連結(jié)AB,若AB= 8，弦AB的弦心距3,則PA=（）20253C. 5B.D. 8A一eI）D0圖8/ DFE=Z DEF DE= DF又 AD= DC AE= FC因?yàn)锳B是圓B的半徑，ADL AB,所以AD切圓B于點(diǎn)A;同理，CD切圓B于點(diǎn)G 又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)。A. -2. 下列圖形

11、一定有內(nèi)切圓的是（A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形A. 50B. 40D. 553. 已知：如圖1直線MN與O O相切于C, AB為直徑，/ CAB= 40，則/ MCA勺度數(shù)（4. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng) 8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1: 4,則另一弦長(zhǎng)為（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5. 在厶ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD2c, bd= 3cm, DC= 4cm,如果 E是AD的延長(zhǎng)線與 ABC的外接圓的交點(diǎn)，那么 DE長(zhǎng)等于（）A.C.B.弭去啊D.%民燒6. PT切O O于T, CT為直徑，D為0C上一點(diǎn)，直線 PD交O O于B和A B在線段P

12、D上，若 =2, AD= 3, BD= 4,貝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.獸廠二、填空題7. AB 、CD是O 0切線，AB/ CD EF是O 0的切線，它和 AB CD分別交于 E、F,則/ EOF= 度。8. 已知：O O和不在O O上的一點(diǎn) P,過P的直線交O O于 A、B兩點(diǎn)，若 PA- PB= 24, OP= 5,則OO的半徑長(zhǎng)為。9. 若PA為O O的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交OO于B、C,若BC= 20,八 V ，貝UPC的長(zhǎng)為。10. 正厶ABC內(nèi)接于O O, M N分別為AB AC中點(diǎn)，延長(zhǎng) MN交O O于點(diǎn)D,連結(jié)BD交AC于P,PC _則刃 。三、解

13、答題11.如圖2, ABC中，AC= 2cm,周長(zhǎng)為8cm, F、K、N是厶ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)， DE切O O于點(diǎn) M 且 DE/ AC,求 DE的長(zhǎng)。xAD/f0jF BE MC圖212. 如圖3，已知P為O O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切O O于C, CDL AB于D,求證：CB平分13.如圖4，已知AD為O O的直徑，AB是O O的切線，過 B的割線BMN交 AD的延長(zhǎng)線于 C,且 BM= MN= NC若AB 2”氐喘，求O 0的半徑。A J圖4【試題答案】-、選擇題1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A、填空題7. 908. 19. 3010.三、解答題:11. 由切線長(zhǎng)定理得厶 BDE周長(zhǎng)為4,由厶BDEA BAG 得 DE= 1cm12. 證明：連結(jié)AC貝U AC丄CB/ CD! AB