高中數(shù)學論文：一題多解是新的教學理念下應提倡的學習方式

1、一題多解是新的教學理念下應提倡的學習方式 新的數(shù)學課程標準的基本理念之一是“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”，該理念以“通過多樣的學習方式，激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識”為目標。在該理念下，我認為引導學生“一題多解”，不失為一種好的學習方式?！耙活}多解”顧名思義即一個問題其解法不是唯一的，通過“一題多解”讓學生尋求不同解法的共同本質(zhì)和思考方法的共同規(guī)律，最終上升到多解歸一、多題歸一的高度，使學生掌握基本的數(shù)學方法和思想，從而提高解題能力。通過在具體的數(shù)學教學過程中提倡“一題多解”，我發(fā)現(xiàn)它從以下幾方面迎合了新的教學理念：一、“一題多解”有利于學生自

2、覺探索問題習慣的養(yǎng)成我們知道各個學習階段的知識前后都有銜接性，包括年級與年級，章與章，節(jié)與節(jié)之間，是由一個個的知識點串聯(lián)而成。在學習過程中，我們倡導學生要有整體意識，注意各知識點之間的相互聯(lián)系，通過不斷的思考和探索，使同一問題在不同的知識之間架起通向成功之路的橋梁，從而不斷擴大知識的深度和廣度。例1、已知向量.求證：方法一：題目中給出了的坐標表示，那么很容易得到向量的坐標表示，自然而然就想到了利用數(shù)量積的坐標運算來證明：， 方法二：我們知道，很多證明題的考查與相關問題的原始定義有關，所以可以考慮從數(shù)量積的定義出發(fā)。要證明，根據(jù)定義只需往證的數(shù)量積為0，而此處向量是由向量加、減運算而得，自然就想

3、到了運用向量數(shù)量積的運算律解決問題：方法三：我們發(fā)現(xiàn)方法一和方法二都是代數(shù)證法，與代數(shù)證法相對應的是幾何證法。此時我們可以引導學生能否從向量運算的幾何意義角度來考慮問題。在這種引導之下，學生經(jīng)過認真思考，自覺探索，會比較容易想到向量是以向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線。又注意到，所以平行四邊形為菱形，利用菱形的對角形相互垂直即可得證：,記則，又o,a,b三點不共線由向量加、減的幾何意義知以oa,ob為鄰邊的平行四邊形oacb是菱形，其中，。由菱形的對角線相互垂直，知。通過以上三種解法，學生可以從一道題中鞏固處理向量垂直問題的三種基本方法（即數(shù)量積的坐標運算法、數(shù)量積的定義法、向量運算的幾何意

4、義法），從而印象深刻，體會多多，進一步讓學生體會到通過認真思考，自覺探索把一道題“真正弄懂弄通”其實可以把多方面的知識聯(lián)系起來，從而收到“書越讀越薄”的效果。二、“一題多解”有利于學生發(fā)散思維的培養(yǎng)發(fā)散思維是指沿著不同的方向，不同的角度思考問題，從多方面尋找解決答案的思維模式。高中年齡段的學生常常易受定向思維的消極影響，做題時思維易陷入固定的模式，解題思路打不開，從而抑制了他們創(chuàng)新思維的熱情。針對此特點，我們教師應該主動地精選一些“一題多解”的習題，引導學生從多方面、多角度去分析問題，尋求解題思路，而不是囿于一種思路，一個角度，一條路走到黑。例2、已知集合a=-2,3，集合b=x|y=，且ab

5、=b，求實數(shù)k的取值范圍。解：a=-2,3，ab=b-2,3b又因為集合b=x|y=x| -x2+4x+k0不等式-x2+4x+k0在-2,3上恒成立。(問題分析到此，題的本質(zhì)（不等式在某一區(qū)間上恒成立）已經(jīng)挖掘出來，接下來我們可以轉(zhuǎn)而去探求解決恒成立問題有哪些方法)方法一：這是一個關于一元二次不等式的問題，在平常教學時，我們經(jīng)常引導學生要把不等式、方程與其相對應的函數(shù)聯(lián)系起來處理。所以在此處，學生通過對題意的理解可以很快地把該恒成立問題翻譯成“所對應的函數(shù)在相應區(qū)間上的最小值恒大于等于0”：令f(x)= -x2+4x+k,則只需f(x)在-2,3上的最小值f(-2)0，即k-120,求得k1

6、2.方法二：當關于某一變量的不等式出現(xiàn)參數(shù)時，我們經(jīng)常采用的一種方法是把變量與參數(shù)分離開來，即所謂的“分離常數(shù)”，這樣與方法一類似我們又可以轉(zhuǎn)化為另一不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題：即kx2-4x在x-2,3時恒成立，則只需k大于等于g(x)= x2-4x在-2,3上的最大值g(-2),而g(-2)=12，故k12.-2y3ox方法三：與方法一、二一樣都把該問題與相應的一元二次函數(shù)聯(lián)系起來，但是函數(shù)可以有其直觀的表現(xiàn)形式：圖像，所以我們可以讓學生利用構造函數(shù)，然后數(shù)形結合，把不等式恒成立的本質(zhì)用圖像的方式直觀地表示出來：指定區(qū)間上的函數(shù)圖像恒在x軸上方或在端點處與x軸相交，思考到此，學生的思維已經(jīng)很

7、開闊，自然而然，又把圖像語言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，問題得以順利解決：令h(x)= -x2+4x+k,要使得h(x)0在 -2,3上恒成立， 數(shù)形結合知只需h(-2)0且h(3)0，求得k12.以上三種解法，從題目的表面看根本掛不上勾，但是只要學生認真分析，就可以透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，從而通過解決恒成立問題的多種方法來解決本問題。三、“一題多解”有利于“分層教學”的落實“分層教學”是針對學生知識、能力結構和學習需要的不同類型而分群體選擇不同的教學目標和內(nèi)容，實施不同的教學方式，從而讓不同層次的學生得到充分發(fā)展的一種教學模式。這就要求我們根據(jù)不同學生的能力傾向以及學習成

8、績狀況分層要求，使“學優(yōu)生吃飽，學困生吃好”，而“一題多解”有助于這一目標的實現(xiàn)。例3、已知偶函數(shù)f(x)的定義域為(-2,2)，且f(x)在上單調(diào)遞減，若f(1-a)f(a)，求實數(shù)a的取值范圍。方法一：通過對多個條件的綜合理解并結合圖像絕大多數(shù)同學都可以發(fā)現(xiàn)，自變量越接近0其函數(shù)值越大，把這句話結合題意翻譯出來就產(chǎn)生了簡單易懂的方法一：根據(jù)題意，自變量x越接近0，相應函數(shù)值就越大，故只需0a1-a2，解得 -1a0.5故-1a0.5即為所求。方法二：方法一通過對題意的分析和理解，避開了分類討論。但是“分類討論”作為一種重要的數(shù)學思想，同時又是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的

9、思想與歸類整理的方法，它能揭示數(shù)學對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學生總結歸納數(shù)學知識，使所學知識條理化。然而在更多的情況下分類討論卻是不可避免的，所以對于一部分“學優(yōu)生”來講還應要求他們利用分類討論來求解，以鞏固他們用分類討論來解決問題的步驟和基本原則：根據(jù)題意，可分1-a與a同時非負、同時非正、一正一負（包括端點）四種基本情況進行討論(1).當0a1-a2時，解得0a0.5；(2).當-21-aa0時，無解；(3).當1-a0,a0時，只需0a-(1-a)0時，只需0-a1-a2，解得 1a0綜上可知，-1a0.5即為所求。通過這兩種不同方法的訓練，既調(diào)動了“學困生”學習的積極性，又鞏固了“學優(yōu)生”分類討論的解題思想，滿足了不同層次學生學習的要求。當然要求學生“一題