現(xiàn)代科技綜述知識文庫：邊界元方法的數(shù)學(xué)分析

1、現(xiàn)代科技綜述系列邊界元方法的數(shù)學(xué)分析科技是人類區(qū)別于動物的重要文明之一，是人類對自然規(guī)律研究和利用的學(xué)科。本文提供對科技基本概念“邊界元方法的數(shù)學(xué)分析”的解讀，以供大家了解。邊界元方法的數(shù)學(xué)分析用邊界元方法求解偏微分方程的初值(或初邊值)問題首先要把原問題轉(zhuǎn)化為邊界上的積分方程，并把原問題的解用積分方程的解在邊界上的積分表出；然后通過對邊界(有時也包括區(qū)域)的離散化過程數(shù)值求解邊界積分方程，進而得到原問題的近似解。邊界元方法的數(shù)學(xué)分析或者稱邊界元方法的數(shù)學(xué)理論研究包括如何將邊值(或初邊值)問題轉(zhuǎn)化為邊界積分方程(簡稱為邊界歸化)；這些積分方程的性質(zhì)如何，是否適定(唯一可解性和對初邊值的連續(xù)依賴

2、性)；積分方程的離散方式；邊界單元的建立及性質(zhì)；邊界元空間(或稱邊界有限元空間)的逼近性；邊界元近似解的收斂性和誤差估計；各種提高精度的算法及其理論依據(jù)等內(nèi)容。這些研究對于改進和發(fā)展邊界元法都是至關(guān)重要的。邊界元法的一個顯著特點是原問題轉(zhuǎn)化為邊界積分方程的途徑并不是唯一的。它大體上可分為兩類。(1)廣義格林(Green)公式法(或稱直接法)。用廣義格林公式和基本解導(dǎo)出解的積分表達式，再利用已知邊界條件得到確定未知邊值函數(shù)的邊界積分方程。(2)位勢法(或稱間接法)。將邊值問題的解表成單層位勢或雙層位勢，再利用邊界條件和位勢的性質(zhì)，導(dǎo)出確定未知密度函數(shù)的邊界積分方程。利用這兩類方法，可以將用一邊值

3、問題轉(zhuǎn)化為不同形式的邊界積分方程。除在某些情況下通過一定的技術(shù)處理可能得到非奇異的積分方程外，一般情況下這些積分方程是奇異的。在邊界元法的工程應(yīng)用中，就是根據(jù)積分方程的形成方式和積分方程中未知函數(shù)有無明顯物理意義的區(qū)別把邊界積分方程區(qū)分為直接邊界積分方程和間接邊界積分方程的。從積分方程的性質(zhì)區(qū)分，可歸納為第一類或第二類弗雷德霍姆(Fredholm)積分方程，帶時間變量時為維他里弗雷德霍姆(Volterra-Fredholm)積分方程；或為弱奇異的，或柯西(Cauchy)主值型奇異的，或為哈得馬(Hadamard)有限部分型奇異的(也稱為超奇異型的)。這些積分方程的性質(zhì)很不相同，研究它們的方法也

4、迥然不同。特別提及的是在經(jīng)典的位勢理論中，總是將邊值問題轉(zhuǎn)化為第二類積分方程求解，這是因為第二類弗雷德霍姆積分方程解的適定性有成熟的理論依據(jù)，這正是古典邊界積分方程論所研究的內(nèi)容。然而這種方式要失去原問題可能具有的自伴性等有用性質(zhì)，還會相對地增加計算量。近年來，GCHsiao，JCNedelec，WLWendland等人致力于研究用第一類積分方程求解的方式，不僅在理論上論證了從弱奇異到超奇異的第一類邊界積分方程解的適定性，而且建立了切實可行的計算方法。實踐證明，第一類邊界積分方程特別適用于求解細(xì)薄區(qū)域外部或者由線、面構(gòu)成的開邊界的邊值問題，可有效地應(yīng)用于斷裂、屏障等實際問題。馮康1975年提出

5、利用格林函數(shù)將邊值問題歸化為邊界上含有發(fā)散積分的有限部分的超奇異積分方程的思想。此后，處理這種超奇異積分方程的數(shù)值方法被稱為正則邊界元法(因為通過格林函數(shù)得出邊界積分方程的方式是直接的，與有限元公式的耦合最為自然，故又稱為自然邊界元)。正則邊界歸化要求區(qū)域幾何形狀比較規(guī)則，然而它和有限元耦合就可適用于求解任意形狀區(qū)域的問題。將原問題轉(zhuǎn)化為邊界積分方程過程中，要不可避免的使用基本解或格林函數(shù)。有時也采用修正格林函數(shù)或近似基本解的技術(shù)以克服邊界歸化中的困難。注意到原始邊值的可解性與歸化得到的邊界積分方程的可解性并不總是一致，邊界元方法的數(shù)學(xué)分析的首要任務(wù)就是論證邊界歸化的合理性。MCostabel

6、、EStephan和WLWendland等人最早用擬微分算子理論統(tǒng)一研究各種形式的奇異邊界積分方程，他們指出這些積分方程如果納入擬微分算子的框架，都可以歸結(jié)為邊界上的強橢圓擬微分算子，由Garding不等式便知這些算子可分解為正線性算子與緊線性算子之和，而這恰好是迦遼金(Galerkin)法收斂的充要條件，從而為用Galerkin法求解邊界積分方程建立起一套進行誤差估計的程式。JCNedelec等人一直用變分方式建立邊界積分方程的解與原問題的廣義解之間的聯(lián)系，并在適當(dāng)?shù)目臻g中討論區(qū)域上的廣義解與其在邊界上的跡之間的對應(yīng)，通過Lax-Milgram定理得出用Galerkin法求解邊界積分方程的適

7、定性及斂速估計。近年來，對在非光滑邊界或開邊界上的積分方程的研究、對非光滑邊界條件或非線性邊界條件問題的研究也都有許多成果，并對邊界元解在非光滑處的奇異性和相應(yīng)的技術(shù)處理方法上給出了理論分析。在工程應(yīng)用中，常用配置法求解邊界積分方程。配置法比迦遼金法計算簡單，但理論分析比較困難。對于第2類邊界積分方程，可借助經(jīng)典配置法理論給出誤差估計。關(guān)于光滑曲線上的第一類邊界積分方程的奇數(shù)階樣條函數(shù)配置法，Arnold等將它等價于某一迦遼金法，得到其收斂結(jié)果。一些人根據(jù)定義在閉曲線上的函數(shù)可表成實軸上的周期函數(shù)，且邊界積分算子可化為具周期核函數(shù)的卷積算子與光滑核的算子之和的特點，提出了許多精度高且計算量小的

8、算法，例如迦遼金配置法、快速傅里葉變換算法、樣條三角函數(shù)迦遼金法、積分配置法等。對曲面上的邊界積分方程的數(shù)值方法的理論分析更為困難些，例如，對三維問題用配置法解第一類方程的收斂性就沒有證明。目前，橢圓邊值問題的邊界元法的數(shù)學(xué)分析已相當(dāng)深入，有限元法的一些理論和技巧已移植到邊界元法中，如自適應(yīng)算法、hp方法、外推法、高精度組合方法等。用邊界元法求解變分不等式問題，用邊界元法求解奇異懾動問題，在區(qū)域分解算法中應(yīng)用邊界元法，邊界元與有限元或其它數(shù)值技術(shù)的耦合，無論在算法上或理論上的研究，都有所發(fā)展?！緟⒖嘉墨I】： 1 Nedelec J C, et al. Comput. Methods Appl

9、Mech Engi, 1976,8:6180 2 Hsiao G C, et al. Math Anal Appl, 1977,58:449481 3 Feng Kang. Proc J Intern Congress Math, Warsaw, 1983,8 (16-24): 14391453 4 Arnold D N, et al. Math Comput,1983,41:349381 5 Wendland W L. The Mathematics of Finite Elements and Applications Ed.Whiteman,Academic Press Lindon 1985,193277 6 Costable M, et al. J.Reine