灰色預測理論以及模型

1、第7章 灰色預測方法預測就是借助于對過去的探討去推測、了解未來?；疑A測通過原始數(shù)據(jù)的處理和灰色模型的建立，發(fā)現(xiàn)、掌握系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律，對系統(tǒng)的未來狀態(tài)做出科學的定量預測。對于一個具體的問題，究竟選擇什么樣的預測模型應以充分的定性分析結(jié)論為依據(jù)。模型的選擇不是一成不變的。一個模型要經(jīng)過多種檢驗才能判定其是否合適。只有通過檢驗的模型才能用來進行預測。本章將簡要介紹灰數(shù)、灰色預測的概念，灰色預測模型的構造、檢驗、應用，最后對災變預測的原理作了介紹。7.1 灰數(shù)簡介7.1.1 灰數(shù)灰色系統(tǒng)理論中的一個重要概念是灰數(shù)?；覕?shù)是指未明確指定的數(shù)，即處在某一范圍內(nèi)的數(shù)，灰數(shù)是區(qū)間數(shù)的一種推廣。灰色系統(tǒng)用灰數(shù)、灰

2、色方程、灰色矩陣等來描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的基本“單元”或“細胞”。我們把只知道大概范圍而不知其確切值的數(shù)稱為灰數(shù)。在應用中，灰數(shù)實際上指在某一個區(qū)間或某個一般的數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù)，通常用記號“”表示灰數(shù)。灰數(shù)有以下幾類：1 僅有下界的灰數(shù)有下界而無上界的灰數(shù)記為或，其中為灰數(shù)的下確界，它是一個確定的數(shù)，我們稱為的取數(shù)域，簡稱的灰域。一棵生長著的大樹，其重量便是有下界的灰數(shù)，因為大樹的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其準確的重量，若用表示大樹的重量，便有。2 僅有上界的灰數(shù)有上界而無下界的灰數(shù)記為或，其中為灰數(shù)的上確界，是一個確定的數(shù)。 一項投資工程，要有個最高投資限額，一件電器設備要

3、有個承受電壓或通過電流的最高臨界值。工程投資、電器設備的電壓、電流容許值都是有上界的灰數(shù)。3 區(qū)間灰數(shù)既有下界又有上界的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記為。海豹的重量在2025公斤之間，某人的身高在1.81.9米之間，可分別記為，4 連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值或可數(shù)個值的灰數(shù)稱為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)灰數(shù)。某人的年齡在30到35之間，此人的年齡可能是30，31，32，33，34，35這幾個數(shù)，因此年齡是離散灰數(shù)。人的身高、體重等是連續(xù)灰數(shù)。5 黑數(shù)與白數(shù)當或，即當?shù)纳?、下界皆為無窮或上、下界都是灰數(shù)時，稱為黑數(shù)。當且時，稱為白數(shù)。為討論方便，我們將黑數(shù)與白數(shù)看成特殊的

4、灰數(shù)。6 本征灰數(shù)與非本征灰數(shù)本征灰數(shù)是指不能或暫時還不能找到一個白數(shù)作為其“代表”的灰數(shù)，比如一般的事前預測值、宇宙的總能量、準確到秒或微妙的“年齡”等都是本征灰數(shù)。非本征灰數(shù)是指憑先驗信息或某種手段，可以找到一個白數(shù)作為其“代表”的灰數(shù)。我們稱此白數(shù)為相應灰數(shù)的白化值，記為，并用表示以為白化值的灰數(shù)。如托人代買一件價格100元左右的衣服，可將100作為預購衣服價格的白化數(shù)，記為。從本質(zhì)上來看，灰數(shù)又可分為信息型、概念型、層次型三類。1信息型灰數(shù)，指因暫時缺乏信息而不能肯定其取值的數(shù)，如：預計某地區(qū)今年夏糧產(chǎn)量在100萬噸以上，；估計某儲蓄所年底居民存款總額將達7000萬到9000萬，；預計

5、西安地區(qū)5月份最高氣溫不超過36，。這些都是信息型灰數(shù)。由于暫時缺乏信息，不能肯定某數(shù)的確切取值，而到一定的時間，通過信息補充，灰數(shù)可以完全變白。2概念型灰數(shù)，也稱意愿型灰數(shù)。指由人們的某種觀念、意愿形成的灰數(shù)。如某人希望至少獲得1萬元科研經(jīng)費，并且越多越好，；某工廠廢品率為1%，希望大幅度降低，當然越小越好，。這些都是概念型灰數(shù)。3層次型灰數(shù)，由層次的改變形成的灰數(shù)。有的數(shù)，從系統(tǒng)的高層次，即宏觀層次、整體層次或認識的概括層次上看是白的，可到低層次上，即到系統(tǒng)的微觀層次、分部層次或認識的深化層次則可能是灰的。例如，一個人的身高，以厘米度量是白的，若精確到萬分之一毫米就成灰的了。7.1.2 灰

6、數(shù)白化與灰度有一類灰數(shù)是在某個基本值附近變動的，這類灰數(shù)白化比較容易，我們可以其基本值為主要白化值。以為基本值的灰數(shù)可記為或，其中為擾動灰元，此灰數(shù)的白化值為。如今年的科研經(jīng)費在5萬元左右，可表示為，或，它的白化值為50000。對于一般的區(qū)間灰數(shù)，我們將白化值取為：，定義7.1 形如，的白化稱為等權白化。定義7.2 在等權白化中，取而得到的白化值稱為等權均值白化。當區(qū)間灰數(shù)取值的分布信息缺乏時，常采用等權均值白化。定義7.3 設區(qū)間灰數(shù)，當時，稱與取數(shù)一致，當時，稱與取數(shù)非一致。在灰數(shù)的分布信息已知時，往往采取非等權白化。例如某人2000年的年齡可能是40歲到60歲，是個灰數(shù)。根據(jù)了解，此人受

7、初、中級教育共12年，并且是在60年代中期考入大學的，故此人的年齡到2000年為58歲左右的可能性較大，或者說在56歲到60歲的可能性較大。這樣的灰數(shù)，如果再作等權白化，顯然是不合理的。為此，我們用白化權函數(shù)來描述一個灰數(shù)對其取值范圍內(nèi)不同數(shù)值的“偏愛”程度。對概念型灰數(shù)中表示意愿的灰數(shù)，其白化權函數(shù)一般設計為單調(diào)增函數(shù)。 一般來說，一個灰數(shù)的白化權函數(shù)是研究者根據(jù)已知信息設計的，沒有固定的程式。函數(shù)曲線的起點和終點一般應有其含義。如在外貿(mào)談判中，就有一個由灰變白的過程。開始談判時，甲方說我的出口額至少要5億元，乙方說我的進口額不大于3億。則成交額這一灰數(shù)將在3億與5億間取值，其白化權函數(shù)可將

8、起點定為3億，終點定為5億?；叶燃礊榛覕?shù)的測度?；覕?shù)的灰度在一定程度上反映了人們對灰色系統(tǒng)之行為特征的未知程度。在實際應用中，我們會遇到大量的白化權函數(shù)未知的灰數(shù)，例如由一般灰色系統(tǒng)之行為特征預測值構成的灰數(shù)，就難以給出其白化權函數(shù)。我們認為，灰數(shù)的灰度主要與相應定義信息域的長度及其基本值有關。如果考慮一個4000左右的灰數(shù)，給出其估計值的兩個灰數(shù)和，顯然比更有價值，亦即比灰度小，若再考慮一個基本值為4的灰數(shù)，給出灰數(shù)，雖然與的長度都是4，但比的灰度小是顯而易見的。7.2 灰色預測的概念7.2.1 灰色系統(tǒng)及灰色預測的概念1 灰色系統(tǒng)基本概念灰色系統(tǒng)產(chǎn)生于控制理論的研究中。若一個系統(tǒng)的內(nèi)部特征

9、是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是充足完全的，我們稱之為白色系統(tǒng)。若一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息是一無所知，一團漆黑，只能從它同外部的聯(lián)系來觀測研究，這種系統(tǒng)便是黑色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)介于二者之間，灰色系統(tǒng)的一部分信息是已知的，一部分是未知的。區(qū)別白色和灰色系統(tǒng)的重要標志是系統(tǒng)各因素間是否有確定的關系。在工程技術、社會、經(jīng)濟、農(nóng)業(yè)、生態(tài)、環(huán)境等各種系統(tǒng)中經(jīng)常會遇到信息不完全的情況。比如：農(nóng)業(yè)方面，農(nóng)田耕作面積往往因許多非農(nóng)業(yè)的因素而改變，因此很難準確計算農(nóng)田產(chǎn)量、產(chǎn)值，這是缺乏耕地面積信息；生物防治方面，害蟲與天敵間的關系即使是明確的，但天敵與餌料、害蟲與害蟲間的許多關系卻不明確，這是缺乏生物間的關聯(lián)信息；一項土

10、建工程，盡管材料、設備、施工計劃、圖紙是齊備的，可是還很難估計施工進度與質(zhì)量，這是缺乏勞動力及技術水平的信息；一般社會經(jīng)濟系統(tǒng)，除了輸出的時間數(shù)據(jù)列（比如產(chǎn)值、產(chǎn)量、總收入、總支出等）外，其輸入數(shù)據(jù)列不明確或者缺乏，因而難以建立確定的完整的模型，這是缺乏系統(tǒng)信息；工程系統(tǒng)是客觀實體，有明確的“內(nèi)”、“外”關系（即系統(tǒng)內(nèi)部與系統(tǒng)外部，或系統(tǒng)本體與系統(tǒng)環(huán)境），可以較清楚地明確輸入與輸出，因此可以較方便地分析輸入對輸出的影響，可是社會、經(jīng)濟系統(tǒng)是抽象的對象，沒有明確的“內(nèi)”、“外”關系，不是客觀實體，因此就難以分析輸入（投入）對輸出（產(chǎn)出）的影響，這是缺乏“模型信息”（即用什么模型，用什么量進行觀測

11、控制等信息）。信息不完全的情況歸納起來有：元素（參數(shù)）信息不完全；結(jié)構信息不完全；關系信息（特指“內(nèi)”、“外”關系）不完全；運行的行為信息不完全。一個商店可看作是一個系統(tǒng)，在人員、資金、損耗、銷售信息完全明確的情況下，可算出該店的盈利大小、庫存多少，可以判斷商店的銷售態(tài)勢、資金的周轉(zhuǎn)速度等，這樣的系統(tǒng)是白色系統(tǒng)。遙遠的某個星球，也可以看作一個系統(tǒng)，雖然知道其存在，但體積多大，質(zhì)量多少，距離地球多遠，這些信息完全不知道，這樣的系統(tǒng)是黑色系統(tǒng)。人體是一個系統(tǒng)，人體的一些外部參數(shù)（如身高、體溫、脈搏等）是已知的，而其他一些參數(shù)，如人體的穴位有多少，穴位的生物、化學、物理性能，生物的信息傳遞等尚未知道

12、透徹，這樣的系統(tǒng)是灰色系統(tǒng)。 顯然，黑色、灰色、白色都是一種相對的概念。世界上沒有絕對的白色系統(tǒng)，因為任何系統(tǒng)總有未確知的部分，也沒有絕對的黑色系統(tǒng)，因為既然一無所知，也就無所謂該系統(tǒng)的存在了。2. 灰色系統(tǒng)的特點 灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小樣本”、“貧信息”不確定型系統(tǒng)的研究對象。（1）用灰色數(shù)學來處理不確定量，使之量化。 在數(shù)學發(fā)展史上，最早研究的是確定型的微分方程，即在拉普拉斯決定論框架內(nèi)的數(shù)學。他認為一旦有了描寫事物的微分方程及初值，就能確知事物任何時候的運動。隨后發(fā)展了概率論與數(shù)理統(tǒng)計，用隨機變量和隨機過程來研究事物的狀態(tài)和運動。模糊數(shù)學則研究沒有清晰界限的

13、事物，如兒童和少年之間沒有確定的年齡界限加以截然劃分等，它通過隸屬函數(shù)來使模糊概念量化，因此能用模糊數(shù)學來描述如語言、不精確推理以及若干人文科學?；疑到y(tǒng)理論則認為不確定量是灰數(shù)，用灰色數(shù)學來處理不確定量，同樣能使不確定量予以量化。1，2，3 不確定量 量化（用確定量的方法研究） 1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計； 2、模糊數(shù)學； 3、灰色數(shù)學（灰色系統(tǒng)理論）（2）充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運動規(guī)律。 研究灰色系統(tǒng)的關鍵是如何使灰色系統(tǒng)白化、模型化、優(yōu)化。 灰色系統(tǒng)視不確定量為灰色量。提出了灰色系統(tǒng)建模的具體數(shù)學方法，它能利用時間序列來確定微分方程的參數(shù)?；疑A測不是把觀測到的數(shù)據(jù)序列視為一個隨機過程，而

14、是看作隨時間變化的灰色量或灰色過程，通過累加生成和累減生成逐步使灰色量白化，從而建立相應于微分方程解的模型并做出預報。這樣，對某些大系統(tǒng)和長期預測問題，就可以發(fā)揮作用。（3）灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng)。 灰色預測模型只要求較短的觀測資料即可，這和時間序列分析，多元分析等概率統(tǒng)計模型要求較長資料很不一樣。因此，對于某些只有少量觀測數(shù)據(jù)的項目來說，灰色預測是一種有用的工具。3灰色預測灰色系統(tǒng)分析方法是通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，即進行關聯(lián)度分析，并通過對原始數(shù)據(jù)的生成處理來尋求系統(tǒng)變動的規(guī)律。生成數(shù)據(jù)序列有較強的規(guī)律性，可以用它來建立相應的微分方程模型，從而預測事物未來的發(fā)展趨

15、勢和未來狀態(tài)。灰色預測是用灰色模型gm(1,1)來進行定量分析的，通常分為以下幾類：(1) 灰色時間序列預測。用等時距觀測到的反映預測對象特征的一系列數(shù)量（如產(chǎn)量、銷量、人口數(shù)量、存款數(shù)量、利率等）構造灰色預測模型，預測未來某一時刻的特征量，或者達到某特征量的時間。(2) 畸變預測（災變預測）。通過模型預測異常值出現(xiàn)的時刻，預測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。 (3) 波形預測，或稱為拓撲預測，它是通過灰色模型預測事物未來變動的軌跡。 (4) 系統(tǒng)預測，是對系統(tǒng)行為特征指標建立一族相互關聯(lián)的灰色預測理論模型，在預測系統(tǒng)整體變化的同時，預測系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的變化。上述灰預測方法的共同特點是：（1）允

16、許少數(shù)據(jù)預測；（2）允許對灰因果律事件進行預測，比如l 灰因白果律事件 在糧食生產(chǎn)預測中，影響糧食生產(chǎn)的因子很多，多到無法枚舉，故為灰因，然而糧食產(chǎn)量卻是具體的，故為白果。糧食預測即為灰因白果律事件預測。l 白因灰果律事件 在開發(fā)項目前景預測時，開發(fā)項目的投入是具體的，為白因，而項目的效益暫時不很清楚，為灰果。項目前景預測即為灰因白果律事件預測。（3）具有可檢驗性，包括：建模可行性的級比檢驗（事前檢驗），建模精度檢驗（模型檢驗），預測的滾動檢驗（預測檢驗）。7.2.2 預備知識生成數(shù)分為累加生成數(shù)（ago）與累減生成數(shù)（iago）(1) 累加生成數(shù) 1-ago指一次累加生成。記原始序列為生成序

17、列為上標“”表示原始序列，上標“”表示一次累加生成序列。其中，(2) 累減生成數(shù)(iago) 是累加生成的逆運算。記原始序列為，對做一次累減生成，則得生成序列，其中，規(guī)定。累加生成與累減生成之間的關系如下圖所示： 1-ago iago 關聯(lián)度為了定量地研究兩個事物間的關聯(lián)程度，人們提出了各種形式的指數(shù)，如相關系數(shù)和相似系數(shù)等等。這些指數(shù)大多以數(shù)理統(tǒng)計原理為基礎，需要足夠的樣本個數(shù)或者要求數(shù)據(jù)服從一定的概率分布。在客觀世界中，有許多因素之間的關系是灰色的，分不清哪些因素之間關系密切，哪些不密切，這樣就難以找到主要矛盾和主要特性?；乙蛩仃P聯(lián)分析，目的是定量地表征諸因素之間的關聯(lián)程度，從而揭示灰色系

18、統(tǒng)的主要特性。關聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)分析和預測的基礎。關聯(lián)分析是一種相對性的排序分析。從思路上來看，源于幾何直觀。如圖7.1所示的a、b、c、d四個時間序列，曲線a與b比較平行，我們就認為a與b的關聯(lián)程度大。曲線c與a隨時間變化的方向很不一致，認為a與c的關聯(lián)程度較小。曲線a與d相差最大，則認為兩者的關聯(lián)程度最小。將曲線a與b、c、d的關聯(lián)程度分別記為rab，rac，rad，則它們之間有如下排序關系：rab，rac，rad，相應的序列rab，rac，rad稱為關聯(lián)序。 x a b c d t 圖7.1 時間序列的幾何關聯(lián)性由此可見，關聯(lián)分析實質(zhì)上是一種曲線間幾何形狀的分析比較，即幾何形狀越接近，則

19、發(fā)展變化趨勢越接近，關聯(lián)程度越大；反之亦然。關聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關聯(lián)程度的方法。計算關聯(lián)度需先計算關聯(lián)系數(shù)。（1） 關聯(lián)系數(shù)的計算設參考序列為比較序列為 關聯(lián)系數(shù)定義為： (7.2.1)式中，為第k點與的絕對差； 為兩級最小差，其中是第一級最小差，表示在序列上找各點與的最小差；為第二級最小差，表示在各序列中找出的最小差基礎上尋求所有序列中的最小差；是兩級最大差，其含義與最小差相似。 p稱為分辨率，一般采用。對單位不一，初值不同的序列，在計算關聯(lián)系數(shù)之前應首先進行初值化，即將該序列的所有數(shù)據(jù)分別除以第一數(shù)據(jù)，將變量化為無單位的相對數(shù)值。（2） 關聯(lián)度的計算關聯(lián)系數(shù)只表示了各個時刻參考序列

20、和比較序列之間的關聯(lián)程度，為了從總體上了解序列之間的關聯(lián)程度，必須求出它們的時間平均值，即關聯(lián)度。因此，計算關聯(lián)度的公式為： (7.2.2)另外，定量地表征灰色系統(tǒng)諸因子之間關聯(lián)程度的指數(shù)有兩種，按其計算方法的差異，分別稱為絕對值關聯(lián)度和速率關聯(lián)度。以上我們所介紹的是絕對值關聯(lián)度的概念和計算，有關速率關聯(lián)度的問題，在此不作詳述。7.3 灰色預測模型7.3.1 gm（1,1）模型1gm(1,1)模型令為gm(1,1)建模序列，為的1-ago序列，,令為的緊鄰均值（mean）生成序列=0.5+0.5則gm(1,1)的定義型，即gm(1,1)的灰微分方程模型為 (7.3.2)模型符號含義為 g m

21、（1， 1） grey model 1階方程 1個變量 式中稱為發(fā)展系數(shù)，為灰色作用量。設為待估參數(shù)向量，即，則灰微分方程(7.3.2)的最小二乘估計參數(shù)列滿足 =其中=， =稱 (7.3.3)為灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。如上所述，則有1） 白化方程的解也稱時間響應函數(shù)為2） gm(1,1)灰色微分方程的時間響應序列為+，3） 取，則+，4） 還原值上式即為預測方程。有關建模的問題說明如下：1 定原始序列中的數(shù)據(jù)不一定要全部用來建模，對原始數(shù)據(jù)的取舍不同，可得模型不同，即和不同。2 模的數(shù)據(jù)取舍應保證建模序列等時距、相連，不得有跳躍出現(xiàn)。3 一般建模數(shù)據(jù)序列應當由最新的數(shù)據(jù)及其相鄰

22、數(shù)據(jù)構成，當再出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時，可采用兩種方法處理：一是將新信息加入原始序列中，重估參數(shù)；二是去掉原始序列中最老的一個數(shù)據(jù)，再加上最新的數(shù)據(jù)，所形成的序列和原序列維數(shù)相等，再重估參數(shù)。7.3.2 gm（1,1）模型檢驗gm(1,1)模型的檢驗分為三個方面：殘差檢驗；關聯(lián)度檢驗；后驗差檢驗。1 殘差檢驗殘差大小檢驗，即對模型值和實際值的殘差進行逐點檢驗。首先按模型計算，將累減生成，最后計算原始序列與的絕對殘差序列，及相對殘差序列，%并計算平均相對殘差給定，當，且成立時，稱模型為殘差合格模型。2 關聯(lián)度檢驗關聯(lián)度檢驗，即通過考察模型值曲線和建模序列曲線的相似程度進行檢驗。按前面所述的關聯(lián)度計算方法，計

23、算出與原始序列的關聯(lián)系數(shù)，然后算出關聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗，關聯(lián)度大于0.6便是滿意的。3 后驗差檢驗后驗差檢驗，即對殘差分布的統(tǒng)計特性進行檢驗。（1） 計算出原始序列的平均值：= （2） 計算原始序列的均方差：=（3） 計算殘差的均值：=（4） 計算殘差的均方差：=（5） 計算方差比c：（6） 計算小殘差概率：p令=0.6745，即p。若對于給定的，當時，稱模型為均方差比合格模型；如對給定的，當時，稱模型為小殘差概率合格模型。表7.1 后驗差檢驗判別參照表模型精度0.950.800.700.65勉強合格0.65不合格若相對殘差、關聯(lián)度、后驗差檢驗在允許的范圍內(nèi)，則可以用所建的模型進行預測，否則應進行

24、殘差修正。7.3.3 gm（1,1）模型應用實例例7.1 某大型企業(yè)1999年至2004年的產(chǎn)品銷售額如下表，試建立gm(1,1)預測模型，并預測2005年的產(chǎn)品銷售額。年份199920002001200220032004銷售額(億元)2.673.133.253.363.563.72解：設=2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72第1步 構造累加生成序列=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第2步 構造數(shù)據(jù)矩陣和數(shù)據(jù)向量，第3步 計算=第4步 得出預測模型0.043879=2.925663=69.345766.6757（=2.67；=66.6757

25、）第5步 殘差檢驗(1)根據(jù)預測公式，計算，得2.67，5.78，9.03，12.43，15.97，19.68，19.69(=0,1, ,6)(2)累減生成序列，=1,2, ,62.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71原始序列：2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72(3)計算絕對殘差和相對殘差序列絕對殘差序列：0，0.02，0，0.04，0.02，0.01相對殘差序列：0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%相對殘差不超過1.19%，模型精確度高。第6步 進行關聯(lián)度檢驗(1) 計算序列與的絕對殘差序列(k)0,0.02,0,0.04,0.02,0.01min(k) = min0,0.02,0,0.04,0.02,0.01=