二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見(jiàn)題型

1、精品好資料學(xué)習(xí)推薦二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見(jiàn)題型一、二次根式的定義形如（0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根號(hào),叫做被開(kāi)方數(shù).（1）二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù).據(jù)此可以確定字母的取值范圍;（2）判斷一個(gè)式子是否為二次根式,應(yīng)根據(jù)以下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)判斷:是否含有二次根號(hào)“”;被開(kāi)方數(shù)是否為非負(fù)數(shù).若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都符合,則是二次根式;若只符合其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),則不是二次根式.（3）形如（0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系數(shù),它表示的是:（0）;（4）根據(jù)二次根式有意義的條件,若二次根式與都有意義,則有.二、二次根式的性質(zhì)二次根式具有以下性質(zhì):（1）雙重非負(fù)性:0,0;（主要用于字母的求

2、值）（2）回歸性:（0）;（主要用于二次根式的計(jì)算）（3）轉(zhuǎn)化性:.（主要用于二次根式的化簡(jiǎn)）重要結(jié)論:（1）若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.若,則.應(yīng)用與書(shū)寫(xiě)規(guī)范:,0,0,0 .該性質(zhì)常與配方法結(jié)合求字母的值.（2）;主要用于二次根式的化簡(jiǎn).（3）,其中0;該結(jié)論主要用于某些帶系數(shù)的二次根式的化簡(jiǎn):可以考慮把二次根號(hào)外面的系數(shù)根據(jù)符號(hào)以平方的形式移到根號(hào)內(nèi),以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.（4）,其中0. 該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算.例1. 式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則的取值范圍是_.分析:本題考查二次根式有意義的條件,即被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù),注意分母不能為0.解:由二次根式有意義的條件可知:

3、,.例2. 若為實(shí)數(shù),且,化簡(jiǎn):.分析:本題考查二次根式有意義的條件,且有重要結(jié)論:若二次根式與都有意義,則有.解:0,01,1.習(xí)題1. 如果有意義,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.習(xí)題2. 若,則_.習(xí)題3. 要使代數(shù)式有意義,則的最大值是_.習(xí)題4. 若函數(shù),則自變量的取值范圍是_.習(xí)題5. 已知,則_.例3. 若,則的值等于 【 】（A） （B）0 （C）1 （D）2分析:本題考查二次根式的非負(fù)性以及結(jié)論:若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.解:0,0.選擇【 D 】.例4. 無(wú)論取任何實(shí)數(shù),代數(shù)式都有意義,則的取值范圍是_.分析:無(wú)論取任何實(shí)數(shù),代數(shù)式都有意義,即被開(kāi)方數(shù)0恒成立,所

4、以有如下兩種解法:解法一:由題意可知:0000,9.解法二:設(shè)無(wú)論取任何實(shí)數(shù),代數(shù)式都有意義0恒成立即拋物線與軸最多有一個(gè)交點(diǎn)0解之得:9.例5. 已知是ABC的三邊長(zhǎng),并且滿足,試判斷ABC的形狀.分析:非負(fù)數(shù)的性質(zhì)常和配方法結(jié)合用于求字母的值.解:0,0,0ABC為直角三角形.習(xí)題6. 已知實(shí)數(shù)滿足,則以的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)為 【 】（A）20或16 （B）20（C）16 （D）以上答案均不對(duì)習(xí)題7. 當(dāng)_時(shí),取得最小值,這個(gè)最小值為_(kāi).習(xí)題8. 已知,則的值為_(kāi).習(xí)題9. 已知非零實(shí)數(shù)滿足,求的值.提示:由0,且可得:0,5.例6. 計(jì)算:（1）; （2）; （3）.分析:本題

5、考查二次根式的性質(zhì):（0）.該性質(zhì)主要用于二次根式的計(jì)算.解:（1）;（2）;（3）.注意:,其中0.該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算.例7. 化簡(jiǎn):（1）; （2）; （3）.分析:本題考查二次根式的性質(zhì):.該性質(zhì)主要用于二次根式的化簡(jiǎn).解:（1）;（2）;（3）原式.注意:結(jié)論:.該結(jié)論主要用于二次根式和絕對(duì)值的化簡(jiǎn).例8. 當(dāng)有意義時(shí),化簡(jiǎn):.解:二次根式有意義03例9. 化簡(jiǎn):.分析:,繼續(xù)化簡(jiǎn)需要的取值范圍,而取值范圍的獲得需要挖掘題目本身的隱含條件:的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù).解:由二次根式有意義的條件可知:03例10. 已知,化簡(jiǎn)_.解:例11. 已知直線（是常數(shù)）, 如圖（1）,化簡(jiǎn).解:

6、由函數(shù)的圖象可知:例12. 已知在數(shù)軸上的位置如圖（2）所示,化簡(jiǎn):.解:由數(shù)軸可知:習(xí)題10. 要使,的取值范圍是_.習(xí)題11. 若,則的取值范圍是_.習(xí)題12. 計(jì)算:_.習(xí)題13. 計(jì)算:_.習(xí)題14. 若成立,則的取值范圍是_.習(xí)題15. 下列等式正確的是 【 】（A） （B）（C） （D）習(xí)題16. 下列各式成立的是 【 】（A） （B）（C） （D）習(xí)題17. 計(jì)算:_.習(xí)題18. 化簡(jiǎn):_.習(xí)題19. 若_.習(xí)題20. 已知,化簡(jiǎn)得_.習(xí)題21. 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖（3）所示,化簡(jiǎn)代數(shù)式:的結(jié)果為 【 】（A） （B）（C） （D）習(xí)題22. 化簡(jiǎn):.例13. 把中根號(hào)外的

7、因式移到根號(hào)內(nèi),結(jié)果是 【 】（A） （B） （C） （D）分析:本題實(shí)為二次根式的化簡(jiǎn):某些二次根式在化簡(jiǎn)時(shí),把根號(hào)外的系數(shù)移到根號(hào)內(nèi),可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的,但要注意根號(hào)外面系數(shù)的符號(hào).有如下的結(jié)論:,其中0.解:由二次根式有意義的條件可知:.選擇【 D 】.習(xí)題23. 化簡(jiǎn)得_.三、二次根式的乘法 一般地,有:（0,0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的條件:0,0.即參與乘法運(yùn)算的每個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)均為非負(fù)數(shù);（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的計(jì)算;（3）兩個(gè)帶系數(shù)的二次根式的乘法為:（0,0）;（4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:（0,0）公式的逆用主要用于二次根

8、式的化簡(jiǎn).注意公式逆用的條件不變.例14. 若成立,則 【 】（A）6 （B）06（C）0 （D）為任意實(shí)數(shù)分析:本題考查二次根式乘法公式成立的條件:（0,0）解:由題意可得:解之得:6.選擇【 A 】.例15. 若成立,則的取值范圍是_.分析:本題考查二次根式乘法公式逆用成立的條件:（0,0）解:由題意可得:解之得:1.例16. 計(jì)算:（0）.解:（0）.習(xí)題24. 計(jì)算:_.習(xí)題25. 已知,則有 【 】（A） （B）（C） （D）習(xí)題26. 化簡(jiǎn)的結(jié)果是_.四、二次根式的除法 一般地,有:（0,）（1）以上便是二次根式的除法公式,要特別注意公式成立的條件;（2）二次根式的除法公式用于二次

9、根式的計(jì)算;（3）二次根式的除法公式可寫(xiě)為: （0,）;（4）二次根式的除法公式可逆用,即有:（0,）公式的逆用主要用于二次根式的化簡(jiǎn),注意公式逆用的條件不變.五、最簡(jiǎn)二次根式 符合以下條件的二次根式為最簡(jiǎn)二次根式:（1）被開(kāi)方數(shù)中不含有完全平方數(shù)或完全平方式;（2）被開(kāi)方數(shù)中不含有分母或小數(shù).注意:二次根式的計(jì)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式.六、分母有理化 把分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程,叫做分母有理化.如對(duì)進(jìn)行分母有理化,過(guò)程為:;對(duì)進(jìn)行分母有理化,過(guò)程為:.由舉例可以看出,分母有理化是借助于分?jǐn)?shù)或分式的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)的.例17. 計(jì)算:（1）; （2）; （3）.解:（1）;（2）;（3）.例18. 化簡(jiǎn)

10、:（1）; （2）; （3）（）.解:（1）;（2）;（3）注意:隨著學(xué)習(xí)的深入,在熟練時(shí)某些計(jì)算或化簡(jiǎn)的環(huán)節(jié)可以省略,以簡(jiǎn)化計(jì)算.例19. 式子成立的條件是_.分析:本題求解的是的取值范圍,考查了二次根式除法公式逆用成立的條件:（0,）.解:由題意可得:解之得:.例20. 計(jì)算:（1）; （2）; （3）.解:（1）;（2）;（3）解法1:.解法2:.二次根式的乘除混合運(yùn)算例21. 計(jì)算:（1）; （2）.解:（1）原式（2）原式.習(xí)題27. 下列計(jì)算正確的是 【 】（A） （B）（C） （D）習(xí)題28. 計(jì)算:_.習(xí)題29. 計(jì)算:_.習(xí)題30. 直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_.習(xí)題31. 如果,

11、那么下面各式:; ; .其中正確的是_（填序號(hào)）.習(xí)題32. 若,則化簡(jiǎn)的結(jié)果是_.習(xí)題33. 計(jì)算:（1）; （2）.例22. 先化簡(jiǎn),再求值:,其中.解:當(dāng)時(shí)原式.習(xí)題34. 先化簡(jiǎn),再求值:,其中.習(xí)題35. 先化簡(jiǎn),再求值:,其中.習(xí)題36. 下列根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是 【 】（A） （B） （C） （D）例23. 觀察下列各式:（1）請(qǐng)利用上面的規(guī)律直接寫(xiě)出的結(jié)果;（2）請(qǐng)用含（為正整數(shù)）的代數(shù)式表示上述規(guī)律,并證明;（3）計(jì)算:.分析:本題考查分母有理化.解:（1）;（2）;（3）原式習(xí)題37. 化簡(jiǎn):.七、同類二次根式 如果幾個(gè)最簡(jiǎn)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同,那么它們是同類二次根式.同類二次根式的判斷方法:（1）先化簡(jiǎn)二次根式;（2）看被開(kāi)方數(shù)是否相同;（3）定結(jié)果:若相同,則它們是同類二次根式;若不相同,則不是.同類二次根式的合并方法: 幾個(gè)同類二次根式相加減,將它們的系數(shù)相加減,二次根式保持不變.八、二次