第六章第一節(jié)

1、第一節(jié)不等關(guān)系與一元二次不等式1 兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1) a b 0? a b.(2) a b 0? a b.(3) a b 0? a b.2 不等式的性質(zhì)(1) 對(duì)稱性： ab? bb，bc? ac；(3) 可加性： ab? a cb c；ab， cd? a cb d；(4) 可乘性： ab，c0? acbc；ab0 ， cd0? acbd；(5) 可乘方性： ab0? anbn(n N， n 1)；(6) 可開(kāi)方性： ab0? n an b(n N， n2)3 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式 0 0二次函數(shù) y ax2 bx c (a 0)的圖象一元二次方程

2、有兩相異實(shí)數(shù)根有兩相等實(shí)數(shù)根ax2 bx c 0 (a 0)x1， x2(x1 x2)x1 x2 b的根2a一元二次不等式2 bx c 0 (a 0)x|xx2baxxx 2a的解集一元二次不等式ax2 bx c 0 (a 0)x|x1 x x2?的解集 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根R?在不等式 ax2 bx c0(a 0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù) ab， a b， a1，則 ab.()(3) 一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或乘同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變()(4) 一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小()(5) 同向不等式具有可加性和可乘性()(6) 若不等式 ax2 bx c0.()(7) 若方程 ax2 bxc 0(a 0

3、)沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 則不等式 ax2 bx c0 的解集為 R.()答案 ： (1)(2)(3) (4)(5)(6) (7)2函數(shù) f(x) 3x x2的定義域?yàn)?()A 0,3B (0,3)C (， 0 3， )D (， 0) (3， )解析：選 A要使函數(shù) f(x) 3x x2有意義，則 3x x2 0，即 x2 3x0，解得 0 x 3.3若 abaB.aba bC |a|b|22D a b解析：選A11取 a 2， b 1，則 a不成立ab4若集合 A x|ax2 ax 10 且 a2 4a 0，得00 的解集是1，1，則 a b 的值是 _23解析： 由題意知 1， 1是方程 ax2 b

4、x 2 0 的兩根，2311 b，a 12，23a則112解得2. 2 3 a，b所以 a b 14.答案： 146若 13， 42，則 |的取值范圍是_解析： 4 2， 0|4， 4 | 0. 3 |3.答案 ： ( 3,3)考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用基礎(chǔ)送分型考點(diǎn) 自主練透考什么 怎么考 不等式的性質(zhì)及應(yīng)用是不等式的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，一般涉及函數(shù)、數(shù)列等知識(shí).多以選擇題形式考查，難度較小.考法 (一)比較兩個(gè)數(shù) (式 )的大小1若 aln 2， b ln 3，則 a_b(填“”或“” )23解析 ：易知 a， b 都是正數(shù)， b 2ln3 log89 1，所以 b a.a 3ln2答案 ：2已知

5、等比數(shù)列 an中，a1 0，q 0，前 n 項(xiàng)和為 Sn，則 S3與 S5的大小關(guān)系為 _a3a5解析： 當(dāng) q 1 時(shí)， S3 3， S5 5，所以 S3 S5.a3a5a3 a5當(dāng) q 0 且 q 1 時(shí)，S3S5a1 1 q3a1 1 q53 5 24a a a1q 1 q a1q 1 qq21 q3 1q5 q 144 0，q 1qqS3S5所以 a3 a5.綜上可知S3S5.a3a5答案： S3S5a3a5題型技法 比較兩個(gè)數(shù) (式 )大小的兩種方法考法 (二 )不等式的性質(zhì)3若a b 0， c d0，則一定有()A. a bdcB.a bdcabC. c dabD.c d解析： 選

6、B法一： 因?yàn)閏 d0，所以c d 0，所以 1d1 c 0.又 a b 0，所以 ad bc，ab所以 .故選 B.dc法二：c d 0? cd 0?c d 0?c d 0cd cd 1 11 1 0? 0 a ba bdc? .d cdcd ca b 0法三： 令 a 3， b 2， c 3， d 2，則 a 1， b 1，排除選項(xiàng) C、 D；cd32又 23，排除 A，故選 B.24設(shè) a， b R，則“ (a b) a0”是 “ab， cd，則 acbdB若 acbc，則 ababC若 c2c2，則 ab， cd，則 a cb d解析：選C取 a 2，b 1，c 1，d 2，可知 A

7、錯(cuò)誤；當(dāng) cbc? ab，故 B 錯(cuò)誤；ab222c 0， ab，故 C 正確；取a c 2， b d 1，可知 D錯(cuò)誤6已知 1x4,2 y3 ，則 x y 的取值范圍是_，3x 2y 的取值范圍是_解析： 1x4,2 y3， 3 y 2， 4x y2.由 1x4,2y3，得 33x12,42y6， 13x 2y18.答案： ( 4,2)(1,18)題型技法 不等式性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)不等式成立問(wèn)題鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件與充分、必要條件相結(jié)合問(wèn)用不等式的性質(zhì)分別判斷p? q 和 q? p 是否正確， 要題注意特殊值法的應(yīng)用

8、與命題真假判斷相結(jié)合問(wèn)題解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F (x， y) mf(x， y)由 af(x，y) b，cg(x，y)5 .3(4) 原不等式變?yōu)?(ax 1)(x 1) 0，1因?yàn)?a 0，所以 a x a(x 1) 0.所以當(dāng) a 1，即11 時(shí)，解為1a1 x .a綜上，當(dāng) 0 a1 時(shí)，不等式的解集為當(dāng) a 1 時(shí)，不等式的解集為?；1；x 1 x a當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為1 x 1.x a解題師說(shuō) 1 解一元二次不等式的4 個(gè)步驟一把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式化二計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式判三求出對(duì)應(yīng)的一元二

9、次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)求根四利用“大于取兩邊，小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集寫(xiě)2 分式不等式的解法求解分式不等式的關(guān)鍵是對(duì)原不等式進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為整式不等式(組 )求解2 4x 6， x 0，f x(1) g x 0(0(0) ；(2)f x 0( 0)? f x g x 0 0 ， g x 0.g x3 解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)(1) 二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于 0，小于 0，還是大于 0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2) 當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式與 0 的關(guān)系(3) 確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集，確定方程有兩

10、個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式?jīng)_關(guān)演練 1設(shè)函數(shù)f( x) xA ( 3,1) (3， )C ( 1,1) (3， )x 6， x f(1)的解集是 ()B ( 3,1) (2， )D (， 3) (1,3)解 析 ： 選A由 題 意 知f(1) 3 ， 故 原 不 等 式 可 化 為 x3 或x 0，x2 4x 63， 解得 3x3，所以原不等式的解集為( 3,1) (3， )，故選 A.2已知不等式 ax2 bx1 0 的解集是1， 1，則不等式 x2 bx a 0 的解集是23()A (2,3)B (， 2) (3， )11C. 3，2D. ， 1 1，32112解析：選

11、A由題意知2，3是方程 ax bx 1 0的兩根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得11b，1 11.23a23a解得 a 6，b 5，22不等式 x bx a 0 即為 x 5x 6 0，解集為 (2,3)223求不等式12x axa (a R) 的解集解： 原不等式可化為12x2 ax a20，即 (4x a)(3x a)0，a a 令 (4x a)(3x a) 0，解得 x1 4， x2 3.當(dāng) a0 時(shí)，不等式的解集為 ， a a， ；4 3當(dāng) a 0 時(shí)，不等式的解集為 ( ， 0) (0， )；當(dāng) a0 時(shí)，不等式的解集為 ，a a， .3 4考點(diǎn)三 一元二次不等式恒成立問(wèn)題題點(diǎn)多變型考點(diǎn) 追

12、根溯源一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x 軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍 .常見(jiàn)的命題角度有：1 形如 f x 0 f x 0xR 確定參數(shù)的范圍；2 形如 f x 0 x a， b 確定參數(shù)范圍；3 形如 f x 0 參數(shù) m a， b 確定 x 的范圍 .題點(diǎn)全練 角度 (一 )形如 f(x) 0(f(x) 0)(x R) 確定參數(shù)的范圍1若不等式 ( a 2)x2 2(a 2)x 40 對(duì)一切 x R 恒成立，則實(shí)數(shù) a

13、 的取值范圍是()A (，2B 2,2C ( 2,2D (，2)解析： 選C當(dāng) a 2 0，即a 2 時(shí)，不等式為40，對(duì)一切x R 恒成立當(dāng) a 2 時(shí)，則a 20， 4 a 22 16 a 2 0，即 a 20， a24， 解得 2a0， 0ax2 bxa0，0c0ax2 bxa0， 0c0ax2 bxa0 在集合 A 中恒成立，即集合 A 是不等式 f( x)0 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值 (或范圍 )(2) 轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題，即已知函數(shù) f(x)的值域?yàn)?m， n，則 f(x) a 恒成立 ? f(x)min a，即 m a； f(x) a 恒成立? f(

14、x)max a，即 n a.角度 (三 ) 形如 f(x) 0(參數(shù) m a， b)確定 x 的范圍3對(duì)任意 m 1,1，函數(shù) f (x) x2 (m 4)x 42m 的值恒大于零，求x 的取值范圍2解：由 f(x) x (m4)x 4 2m令 g(m) (x 2)m x2 4x 4.由題意知在 1,1上， g(m)的值恒大于零，g 1 x 2 1 x2 4x 40，所以g 1 x 2 x2 4x 40，解得 x3.故當(dāng) x ( ， 1) (3， )時(shí)，對(duì)任意的m 1,1，函數(shù) f(x)的值恒大于零題型技法 一元二次不等式在參數(shù)某區(qū)間上恒成立確定變量x 范圍的方法解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為

15、主元，誰(shuí)是參數(shù)一般情況下，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)即把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解沖關(guān)演練 1若不等式 2kx2 kx30 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立，則 k 的取值范圍為 ()8A ( 3,0)B 3,0)C 3,0D ( 3,0解析：選D當(dāng) k 0 時(shí)，顯然成立；2 3當(dāng) k 0 時(shí)，即一元二次不等式 2kx kx 80 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立，k0，則解得 3k0. k2 4 2k 3 0，823綜上，滿足不等式 2kx kx 0 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立的 k 的取值范圍是 ( 3,082若不等式x2 mx 10 對(duì)于任意

16、x m， m 1都成立，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是_解析： 由題意，得函數(shù) f (x) x2 mx 1 在 m，m 1上的最大值小于0，又拋物線 f( x) x2 mx 1 開(kāi)口向上，所以只需f m m2 m2 10，f m 1 m 12 m m1 10，2m2 10，2即解得2 m0.2m2 3m0，答案 ：2 2， 0(一 )普通高中適用作業(yè)A 級(jí) 基礎(chǔ)小題練熟練快1已知 a1 (0,1)，a2 (0,1)，記 M a1a2，N a1 a2 1，則 M 與 N 的大小關(guān)系是()AM NCM ND不確定解析： 選BM N a1a2 (a1 a2 1) a1a2 a1 a2 1 (a1 1)(a2

17、 1)，又 a1 (0,1)， a2 (0,1) ， a1 10， a2 10，即 M N 0， MN.2若角 ， 滿足 2，則 的取值范圍是 ()A. 3 3B.32，2， 02C. 0，3D.2 ， 02解析：選B ，2，233 ，2 2 .2又 ， 0 ，從而32 0.3已知不等式 x2 2x 30 的解集為 A，不等式 x2 x 60 的解集為 B，不等式 x2 ax b0 的解集為 A B，則 a b 等于 ()A 3B 1C 1D 3解析： 選 A 由題意得， A x| 1x3，B x| 3x2，所以 A Bx| 1x2，由根與系數(shù)的關(guān)系可知a，則 3.1b2ab4若 m 0， n

18、 0 且 m n0，則下列不等式中成立的是()A n m n mB nm mnC m n m nD m n n m解析：選 D法一：(取特殊值法 )令 m 3，n2 分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)， 可知 D 正確法二 ： m n 0?m n?n m，又由于 m 0 n，故 m n n m 成立5 (2018 廣東清遠(yuǎn)一中一模)若關(guān)于 x 的不等式 axb0 的解集是 ()A (， 1) (3， )B (1,3)C ( 1,3)D (， 1) (3， )解析：選 C關(guān)于 x 的不等式ax b0 的解集是 (1， )，即不等式 axb 的解集是 (1， )， a b0 可化為 (x 1)(x 3)0，解得

19、1x01122a 0b； ln aln b .ba babab其中正確的不等式的序號(hào)是 ()ABCD解析：選 C法一： 因?yàn)?1a 1， b 2.顯然 |a| b 1 2 10，a 0 ，所以錯(cuò)誤，綜上所述，可排除 A 、B、 D，故選 C.法二： 由110，可知 ba0.ab11中，因?yàn)?a b0 ，所以 abab，故正確；中，因?yàn)?ba a0，故 b|a|，即 |a| b0 ，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎a0 ，又11，則1111，故正確； 0，所以 aba bbab中，因?yàn)?baa20，而 y ln x 在定義域 (0， )上為增函數(shù)，所以ln b2ln a2，故錯(cuò)誤由以上分析，知正確。7不等式

20、|x(x 2)|x( x 2)的解集是 _解析 ：不等式 |x(x 2)|x(x 2)的解集即x(x 2)0 的解集，解得 0x2，故不等式的解集為 x|0x2答案 ： x|0x218若 0a0的解集是 _解析： 原不等式為 (x a)1xa 0，由 0a1，得 a1a， ax1a.答案： x ax1aab119已知 a b 0，則 b2a2與a b的大小關(guān)系是 _a b11a b b a1 1a b a b 2解析： 2 222 (ab) 2 22 2.b aabbabaa b a b 0， (a b)2 0，a ba b 20.22a bab11 b2 a2 a b.ab1 1答案： 22

21、b a a b10若不等式 x2 ax 40 的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 _解析： 不等式 x2 ax 40，即 a216. a4 或 a 4.答案： (， 4) (4， )B 級(jí) 中檔題目練通抓牢1如果 a， b， c 滿足 cba，且 acacB c(b a)022D ac(a c)0C cb ab解析：選C由題意知 c0，則 A、 B、 D 一定正確；當(dāng)b 0 時(shí)， C 不正確2若不等式f(x) ax2 x c0 的解集為 x| 2x0 在區(qū)間 1,5上有解，則a 的取值范圍是_解析 ：由 a2 80，知方程 x2ax 2 0 恒有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程

22、x2 ax 2 0 必有一正根、一負(fù)根于是不等式在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5) 0，解得 a23，故 a 的取值范圍為23， .55答案 ： 235，6已知 f(x) 3x2 a(6 a)x 6.(1) 解關(guān)于 a 的不等式 f (1)0 ；(2) 若不等式 f(x) b 的解集為 ( 1,3)，求實(shí)數(shù) a， b 的值解： (1) f(x) 3x2 a(6 a)x 6， f(1) 3 a(6 a) 6 a2 6a 3，原不等式可化為 a2 6a 30，解得 3 2 3a3 2 3.原不等式的解集為a|3 2 3ab 的解集為 ( 1,3)等價(jià)于方程3x2 a(6 a)x 6 b 0 的

23、兩根為 1,3， 1 3 a 6 a ，3等價(jià)于6 b 133 ，a3 3，解得b 3.7已知函數(shù)f (x) x2 2ax 1 a， a R.f x(1) 若 a 2，試求函數(shù) y x ( x0) 的最小值；(2) 對(duì)于任意的 x 0,2，不等式 f(x) a 成立，試求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解： (1)依題意得 y f x x2 4x 1 x 1 4.xxx因?yàn)?x0，所以 x1 2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，即 x 1 時(shí)，等號(hào)成立所以 y 2.xxf x所以當(dāng) x 1 時(shí)， y的最小值為2.(2) 因?yàn)?f(x) a x2 2ax 1，所以要使 “? x 0,2，不等式f(x) a 成立 ” ，只要

24、 “ x2 2ax 1 0 在 0,2上恒成立 ”不妨設(shè) g(x) x2 2ax 1，則只要 g(x) 0 在 0,2上恒成立即可g 0 0，所以g 2 0，00 1 0，即44a 1 0，解得3a4.則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為3， 4.C 級(jí) 重難題目自主選做1若不等式x2 (a 1)x a 0 的解集是 4,3的子集，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是()A 4,1B 4,3C 1,3D 1,3解析：選 B原不等式為 (x a)(x 1) 0，當(dāng) a1 時(shí)，不等式的解集為 a,1，此時(shí)只要a 4 即可，即4 a1 時(shí)，不等式的解集為 1， a，此時(shí)只要 a 3 即可，即 1a 3.綜上可得 4 a 3.2

25、不等式 x2 8y2 y(x y)對(duì)于任意的 x，y R 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 _解析： 因?yàn)?x2 8y2 y(x y)對(duì)于任意的 x， y R 恒成立，所以 x2 8y2 y(x y) 0 對(duì)于任意的 x， y R 恒成立，即 x2 yx (8 )y2 0 恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，22222 y 4( 8)y y ( 4 32) 0，所以 ( 8)( 4) 0，解得 8 4.答案： 8,4(二 )重點(diǎn)高中適用作業(yè)A 級(jí) 保分題目巧做快做1已知 a1 (0,1)，a2 (0,1)，記 M a1a2，N a1 a2 1，則 M 與 N 的大小關(guān)系是()AM NCM ND不確定解析： 選BM N a1a2 (