2021年小學奧數2-2-3,不定方程與不定方程組．教師版

1、不定方程與不定方程組 教學目標 利用整除及奇偶性解不定方程 不定方程的試值技巧 學會解不定方程的經典例題 知識精講 一、知識點說明 歷史概述 不定方程是數論中最古老的分支之一古希臘的丟番圖早在公元世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元世紀的張丘建算經中的百雞問題標志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究宋代數學家秦九韶的大衍求一術將不定方程與同余理論聯系起來 考點說明 在各類競賽考試中，不定方程經常以應用題的形式出現，除此以外，不定方程還經常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數論問題等壓軸大題之中在以后初高中

2、數學的進一步學習中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學生學會利用不定方程這個工具，并能夠在以后的學習中使用這個工具解題。二、不定方程基本定義 1、定義不定方程（組）是指未知數的個數多于方程個數的方程（組）。2、不定方程的解使不定方程等號兩端相等的未知數的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。3、研究不定方程要解決三個問題判斷何時有解；有解時確定解的個數；求出所有的解 三、不定方程的試值技巧 1、奇偶性 2、整除的特點（能被2、3、5等數字整除的特性） 3、余數性質的應用（和、差、積的性質及同余的性質） 例題精講 模塊一、利用整除性質解不定方程 【例 1】 求方程 2x3y8

3、的整數解 【考點】不定方程 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 方法一由原方程，易得 2x83y，x4y，因此，對y的任意一個值，都有一個x與之對應，并且，此時x與y的值必定滿足原方程，故這樣的x與y是原方程的一組解，即原方程的解可表為，其中k為任意數說明 由y取值的任意性，可知上述不定方程有無窮多組解 方法二根據奇偶性知道2x是偶數，8為偶數，所以若想2x3y8成立，y必為偶數， 當y0，x4；當y2，x7；當y4，x10，本題有無窮多個解?！敬鸢浮繜o窮多個解 【鞏固】 求方程2x6y9的整數解 【考點】不定方程 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因為2x6y2(x3y)，所以，不論x

4、和y取何整數，都有2|2x6y，但29，因此，不論x和y取什么整數，2x6y都不可能等于9，即原方程無整數解 說明此題告訴我們并非所有的二元一次方程都有整數解?！敬鸢浮繜o整數解 【例 2】 求方程4x10y34的正整數解 【考點】不定方程 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因為4與10的最大公約數為2，而2|34，兩邊約去2后，得 2x5y17，5y的個位是0或5兩種情況，2x是偶數，要想和為17，5y的個位只能是5，y為奇數即可；2x的個位為2，所以x的取值為1、6、11、16 x1時，172x15，y3， x6時，172x 5，y1， x11時，172x17 22，無解 所以方程有兩組

5、整數解為【答案】 【鞏固】 求方程3x5y12的整數解 【考點】不定方程 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由3x5y12，3x是3的倍數，要想和為12（3的倍數），5y也為3的倍數，所以y為3的倍數即可，所以y的取值為0、3、6、9、12 y0時，125y12，x4， x3時，125y1215，無解 所以方程的解為【答案】 【鞏固】 解不定方程（其中x,y均為正整數） 【考點】不定方程 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 方法一2x是偶數，要想和為40（偶數），9y也為偶數，即y為偶數，也可以化簡方程，知道y為偶數，所以方程解為【答案】 模塊二、利用余數性質解不定方程 【例 3】 求不

6、定方程的正整數解有多少組？ 【考點】不定方程 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 本題無論或是，情況都較多，故不可能逐一試驗檢驗可知1288是7的倍數，所以也是7的倍數，則是7的倍數 設，原方程可變?yōu)?，可以?，2，3，16由于每一個的值都確定了原方程的一組正整數解，所以原方程共有16組正整數解 【答案】16組 【例 4】 求方程3x5y31的整數解 【考點】不定方程 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一利用歐拉分離法，由原方程，得 x，即 x102y，要使方程有整數解必須為整數 取y2，得x102y10417，故x7，y2 當y5，得x102y101022，故x2，y5 當y8，得

7、x102y10163無解 所以方程的解為方法二利用余數的性質 3x是3的倍數，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根據這個情況用余數的和與乘積性質進行判定為取y1，2y2，2302（舍） y2，2y4，4311（符合題意） y3，2y6，632（舍） y4，2y8，8322（舍） y5，2y10，10331（符合題意） y6，2y12，1234（舍） 當y6時，結果超過31，不符合題意。所以方程的解為【答案】 【鞏固】 解方程，（其中x、y均為正整數） 【考點】不定方程 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一，4y是4的倍數，和89除以4余1，所以7x除以4余1（74

8、3），可以看成3x除以4余1，根據這個情況用余數的和與乘積性質進行判定為（x13） x1，3x3，343（舍） x2，3x6，642（舍） x3，3x9，941（符合題意） x4，3x12，1240（舍） x5，3x15，1543（舍） x6，3x18，1842（舍） x7，3x21，2141（符合題意） x8，3x24，2440（舍） x9，3x27，2743（舍） x10，3x30，3042（舍） x11，3x33，3341（符合題意） x12，3x36，3640（舍） 所以方程的解為方法二利用歐拉分離法，由原方程，的取值為4的倍數即可，所以方程的解為【答案】 模塊三、解不定方程組 【例 5】 解方程 （ 其中a、b、c均為正整數 ） 【考點】不定方程 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據等式的性質將第一個方程整理得，根據消元的思想將第二個式子擴大4倍相減后為，整理后得，根據等式性質，為偶數，20為偶數，所以為偶數，所以為偶數，當時，所以，當時，所以無解。所以方程解為 【答案】 【例 6】 解不定方程 (其