蘇教版高中數(shù)學必修二提高 平面上兩點間的距離及點到直線的距離

1、精品文檔用心整理平面上兩點間的距離及點到直線的距離：【學習目標】1.掌握平面上兩點間的距離公式.2.掌握平面上連結(jié)兩點的線段的重點坐標公式.3.能運用距離公式和中點坐標公式解決一些簡單的問題.【要點梳理】要點一：兩點間的距離公式兩點p(x，y)，p(x，y)間的距離公式為111222pp=(x-x)2+(y-y)2.122121要點詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離來解決.另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應用，需熟練掌握.要點二：點到直線的距離公

2、式a2+b2.點p(x，y)到直線ax+by+c=0的距離為d=00ax+by+c00要點詮釋：（1）點p(x，y)到直線ax+by+c=0的距離為直線上所有的點到已知點p的距離00中最小距離；（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關系的判斷等.要點三：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；距離公式：直線ax+by+c=0與直1a2+b2.線ax+by+c=0的距離為d=2c-c21資料來源于網(wǎng)

3、絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理要點詮釋：(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離公式d=|c1-c2|+ba22時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中x，y的系數(shù)分別是相同的，才能使用此公式.【典型例題】類型一：兩點間的距離例1已知直線l過點p（3，1），且被兩平行直線l1：x+y+1=0，l2：x+y+6=0截得的線段長為5，求直線l的方程【答案】y=1或x=3【解析】設直線l與直線l1、l2分別交于點a（x1，y1）、b

4、（x2、y2），則12兩方程相減，得(x1x2)+(y1y2)=5，由已知及兩點間距離公式，得(x1x2)2+(y1y2)2=25，x+y+1=01x+y+6=02，由解得或111x-x=5x-x=0122y-y=0y-y=522，又點a（x1，y1）、b（x2，y2）在直線l上，因此直線l的斜率為0或不存在，又直線l過點p（3，1），所以直線l的方程為y=1或x=3【總結(jié)升華】從交點坐標入手，采用“設而不求”“整體代入”或“整體消元”的思想方法優(yōu)化了解題過程這種解題思想方法在解析幾何中經(jīng)常用到，是需要掌握的技能另外，靈活運用圖形中的幾何性質(zhì)，如對稱，線段中垂線的性質(zhì)等，同樣是很重要的舉一反三

5、：【變式】如圖，直線l上有兩點a、b，a點和b點的橫坐標分別為x1，x2，直線l方程為y=kx+b，求a、b兩點的距離【答案】|ab|=(1+k2)(x-x)2=1+k2|x-x|2121例2已知函數(shù)f(x)=小值時x的值x2-2x+2+x2-4x+8，求f(x)的最小值，并求取得最資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理【答案】4，103【解析】將函數(shù)表達式變形為：f(x)=(x-1)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-2)2，可以看作p（x，0）到點a（1，1）與到點b（2，2）的距離之和，即在x軸上求一點p，使|pa|+|pb|最小f(x)=x2-2x+2+x2-4x+8=(x-

6、1)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-2)2它表示點p（x，0）到點a（1，1）的距離加上點p（x，0）到點b（2，2）的距離之和，即在x軸上求一點p（x，0）與點a（1，1）、b（2，2）的距離之和的最小值由下圖可知，可轉(zhuǎn)化為求兩點a（1，1）和b（2，2）間的距離，其距離為函數(shù)f(x)的最小值f(x)的最小值為(1-2)2+(-1-2)2=10再由直線方程的兩點式得ab的方程為3xy4=0令y=0，得x=44當x=時，33f(x)的最小值為10【總結(jié)升華】本例中，由“x2-2x+2=(x-1)2+(0-1)2”與兩點間距離公式結(jié)構相似，因而可得到“f(x)”的幾何意義，利用圖形的形象直

7、觀，使問題得到簡捷的解決舉一反三：【變式】試求f(x)=(x+1)2+1+(x-2)2+4的最小值【答案】32【解析】f(x)=(x+1)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-2)2，它表示點p（x，0）到點a（1，1）的距離加上點p（x，0）到點b（2，2）的距離之和，即在x軸上求一點p（x，0）與點a（1，1）、b（2，2）的距離之和的最小值可轉(zhuǎn)化為求兩點a（1，1）和b（2，2）間的距離，其距離為函數(shù)f(x)的最小值f(x)的最小值為(-1-2)2+(-1-2)2=32類型二：點到直線的距離資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理(例已知在abc中，a（1，1），bm,m)時，ab

8、c的面積s最大？，c（4，2）（1m4），求m為何值【答案】94【解析】以ac為底，則點b到直線ac的距離就是ac邊上的高，求出s與m之間的函數(shù)關系式a（1，1），c（4，2），|ac|=(4-1)2+(2-1)2=10又直線ac的方程為x3y+2=0，點b(m,m)到直線ac的距離d=|m-3m+2|10，m-11s=|ac|d=|m-3m+2|=2213212241m4，1131m2-m-，22232111320m-，s=-m-，2424239當m-=0，m=時，s最大249故當m=時，abc的面積最大4【總結(jié)升華】利用兩點間距離公式求出三角形的一邊長，再利用點到直線的距離公式求出這邊上的

9、高，從而求出三角形的面積，這是在解析幾何中求三角形面積的常規(guī)方法，應熟練掌握，但應注意的是點到直線的距離公式中帶有絕對值符號，因此在去掉絕對值符號時必須對它的正負性進行討論舉一反三：【兩直線的交點與點到直線的距離381525要點（二）中的例1】【變式1】l過點m(-2,1)，且與點a(-1,2)，b(3,0)的距離相等，求直線l的方程【答案】y=1x+2y=0【解析】法一：直線l過ab的中點（1，1），所以l的方程為y=1資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理直線l/ab，則設l的方程為y-1=k(x+2)則k=-1，所以l的方程為：x+2y=02法二：由題意知直線l的斜率存在，設l的

10、方程為y-1=k(x+2)，則a、b兩點到直線l的距離|k-1|1+k2=|5k+1|1+k2解得：k=0,k=-12所以l的方程為：y=1和x+2y=0【變式2】若點p（a，b）在直線x+y+1=0上，求a2+b2-2a-2b+2的最小值【答案】322例4已知直線l1：2x+y4=0，求l1關于直線l：3x+4y1=0對稱的直線l2的方程【答案】2x+11y+16=03x+4y-1=02x+y-4=0【解析】解法一：由，得直線l1與l的交點為p（3，2），顯然px-2348，解得b,-32+x0+40+y0-1=0也在直線l2上在直線l1上取一點a（2，0），又設點a關于直線l的對稱點為b（

11、x0，y0），則y-040=05522故由兩點式可求得直線l2的方程為2x+11y+16=0解法二：設直線l2上一動點m（x，y）關于直線l的對稱點為m(x,y)，則x-x3x+xy+y25，解得y=y-y4=3+4-1=02225x=7x-24y+6-24x-7y+8顯然m(x,y)在l1上，故27x-24y+6-24x-7y+8+-4=0，即2x+11y+16=0，2525資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用【答案】（1）（2，5）（2）11,26精品文檔用心整理這便是所求的直線l2的方程【總結(jié)升華】求一條直線關于另一條直線的對稱直線的基本途徑是把它轉(zhuǎn)化為點關于直線對稱的問題，即在其上取一點（或

12、兩點），求出它們關于直線的對稱點坐標，再由兩點式即可求得所求的直線方程一般地，當對稱軸的斜率為1時，求p（x0，y0）的對稱點q，只需由對稱軸方程解出x，再用y0代替y，即得到對稱點的橫坐標，類似地，可得到縱坐標舉一反三：【變式】（1）求點p（x0，y0）關于直線xy+c=0的對稱點坐標；（2）求直線l1：ax+by+c=0關于直線l2：x+y3=0的對稱直線l3的方程【答案】（1）（y0c，x0+c）；（2）bx+ay3a3bc=0例5在直線l：3xy1=0上求一點p，使得：（1）p到a（4，1）和b（0，4）的距離之差最大；（2）p到a（4，1）和c（3，4）的距離之和最小77【解析】設b

13、關于l的對稱點為b，ab與l的交點p滿足（1）；設c關于l的對稱點為c，ac與l的交點p滿足（2）事實上，對（1），若p是l上異于p的點，則）|pa|-|pb|=|pa|-|pb|ac|=|pa|+|pc|（1）如圖1所示，設點b關于l的對稱點b的坐標為（a，b），akbbk=-1，即3b-4=-1，l,，且在直線l上，又由于bb的中點坐標為a+3b12=0ab+4223ab+4-1=0，即3ab6=022解得a=3，b=3，b（3，3）資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理于是直線ab的方程為y-1x-4=3-13-4，即2x+y9=0（2）如圖2所示，設c關于l的對稱點為c，求出c

14、的坐標為,ac和l交點坐標為p,故p點坐標為11,【答案】p59,、q0,x-2y+2=024解由l的直線方程與ab的直線方程組成的方程組得x=2，y=5，即l與ab的交點坐標為（2，5），所以p（2，5）32455ac所在直線的方程為19x+17y93=011267777【總結(jié)升華】由平面幾何知識（三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對值小于第三邊）可知，要在直線l上求一點，使這點到兩定點a、b的距離之差最大的問題，若這兩點a、b位于直線l的同側(cè)，則只需求出直線ab的方程，再求它與已知直線的交點，即得所求的點的坐標；若a、b兩點位于直線l的異側(cè)，則先求a、b兩點中某一點（如a）關于直線

15、l的對稱點a，再求直線ab的方程，再求它們與直線l的交點即可對于在直線l上求一點p，使p到平面上兩點a、b的距離之和最小的問題可用類似方法求解舉一反三：【變式】已知點m（3，5），在直線l：x2y+2=0和y軸上各找一點p和q，使mpq周長最小7242【解析】由點m(3,5)及直線l，可求得點m關于l的對稱點m(5,1)同樣容易求得1點m關于y軸的對稱點m(-3,5)據(jù)m及m兩點可得到直線mm的方程為21212x+2y-7=0，x+2y-7=059解方程組，得交點p,，令x=0，得到mm與y軸的交點127q(0,)2資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理類型三、兩平行直線間的距離例6求

16、直線l:2x+3y-1=0與l:4x+6y-5=0的正中間平行直線方程.12【答案】4x+6y-7=0.2【解析】直線l的方程化為4x+6y-2=0.設正中平行直線的方程為4x+6y+c=0，142+62=，即|c+2|=|c+5|，解得c=-.所以正中間平行直線方程為42+62則|-2-c|-5-c|724x+6y-7=0.2【總結(jié)升華】先化一次項系數(shù)為相同，巧設正中間平行直線方程，利用兩組平行線間距離相等而求.結(jié)論：兩條平行直線l:ax+by+c=0，l:ax+by+c=0的正中平行直線1122方程為ax+by+(c+c)/2=0.12例7兩條互相平行的直線分別過點a（6，2）和b（3，1

17、），并且各自繞著a、b旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d（1）求d的變化范圍；（2）當d取最大值時，求兩條直線的方程【答案】（1）(0,310；（2）3x+y20=0和3x+y+10=0【解析】（1）當兩條直線的斜率不存在時，即兩直線分別為x=6和x=3，則它們之間的距離為9當兩條直線的斜率存在時，設這兩條直線方程為l1：y2=k(x6)，l2：y+1=k(x+3)，即l1：kxy6k+2=0，l2：kxy+3k1=0k2+1=d=|3k-1+6k-2|3|3k-1|k2+1，即(81d2)k254k+9d2=0kr，且d0，d0，=5424(81d2)(9d2)0，即0d310且d9綜合可知

18、，所求的d的變化范圍為(0,310（2）由右圖可知，當d取最大值時，兩直線垂直于abab=2-(-1)而k1=，6-(-3)3所求的直線的斜率為3故所求的直線方程分別為y2=3(x6)和y+1=3(x+3)，即資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理3x+y20=0和3x+y+10=0【總結(jié)升華】在尋求問題的解的過程中，作圖是非常重要的，它既可以給人以直觀的感覺，又是解題的方法的再現(xiàn)，這說明數(shù)形結(jié)合可優(yōu)化思維過程舉一反三：【變式】已知直線l1：2xy+a=0（a0），直線l2：4x+2y+1=0和直線l3：x+y1=0，且l1與l2的距離是7105【答案】（1）a=3（2）p,918（1）求a的值；（2）能否找到一點p，使得p點同時滿足下列三個條件：p是第一象限的點；p2點到l1的距離是p點到l2的距離的1；p點到l1的距離與p點到l2的距離之比是25若能，求p點坐標；若不能，請說明理由137【解析】（1）直線l2即2x-y-12=0，l1與l2的距離d=1|a-(-)|222+1=7510解得a=3（2）能找到點p，使得p點同時滿足三個條件設點p(x,y)，若p點滿足條件，00則p點在l1、l2平行的