完整版)高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第七版)上冊(cè)-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高等數(shù)學(xué) (同濟(jì)第七版 )上冊(cè) -知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章 函數(shù)與極限一. 函數(shù)的概念1. 兩個(gè)無(wú)窮小的比較設(shè)lim f (x) 0,lim g(x) 0且lim f (x) l g(x)1)l = 0 ，稱(chēng)f (x) 是比g(x) 高階的無(wú)窮小，記以 f (x) = 0g(x)，稱(chēng)g(x)是比 f(x) 低階的無(wú)窮小。(2)l 0，稱(chēng)f (x) 與g(x) 是同階無(wú)窮小。(3)l = 1 ，稱(chēng)f (x) 與g(x) 是等價(jià)無(wú)窮小，記以 f (x) g(x)2. 常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小當(dāng) x 0時(shí)sin x x，tan x x， arcsinx x， arccos x x， 1- cos x x2/2 ，

2、ex-1 x ，ln(1 x) x ，(1 x) 1 x求極限的方法1兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1. 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在準(zhǔn)則 2. (夾逼定理)設(shè) g(x) f (x) h(x)若 lim g(x) A,lim h(x) A，則 lim f(x) A 2兩個(gè)重要公式sinx公式 1lim 1x 0 x公式 2 lim (1 x)1/x ex03用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換 4用泰勒公式當(dāng) x 0 時(shí)，有以下公式，可當(dāng)做等價(jià)無(wú)窮小更深層次8xe1sin xcosx2x3x2!3!35xx3!5!24xx2!4!x. (x1. (2 xnxno(x ) n!n x2n 11)n(2xn2n 11)!

3、 o(x2n 1)ln(1x)33 . (1 x)( 1)2!arctan x5洛必達(dá)法則定理 1(1)2)3)2n1)n x22nn!2no(x )1)x25x5 . (nn 1 x n o(x ) n( 1).(n 1) xnn!2n 1n 1 x 2n 11) o(x )2n 1o(xn)設(shè)函數(shù) lim f (x) 0， lim F(x) 0 ；x x0x x0f(x)與F(x)在 x0的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 f (x) 存在(或?yàn)闊o(wú)窮大)，則lim f(x)x x0 F(x)f (x)存在時(shí)， lim f(x) 也存在且等于 lim f (x) x x0 F(x)x x0 F (x)

4、f (x)、 F ( x)滿足下列條件：limx x0 F (x)F (x) 0 ；f (x)limx x0 F (x)這個(gè)定理說(shuō)明：當(dāng)limx x0 F (x)lim f(x) 也是無(wú)窮大x x0 F(x) 這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的極限值f (x) 為無(wú)窮大時(shí)，limx x0 F (x)的方法稱(chēng)為洛必達(dá)( L H ospital )法則 .型未定式；當(dāng)F(x)滿足下列條件： ， lximx F(x)；x x0定理 2 設(shè)函數(shù) f (x) 、lim f(x)x x0f(x)與F(x)在 x0的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 F (x) 0； lim f (x) 存在(

5、或?yàn)闊o(wú)窮大) ，則 lim f (x)x x0 F (x) x x0 F(x)1)2)3)注：上述關(guān)于 x x0 時(shí)未定式 型的洛必達(dá)法則，對(duì)于 xf (x)limx x0 F (x)時(shí)未定式 型同樣適用 使用洛必達(dá)法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)： (1)洛必達(dá)法則只能適用于“ 0 ”和“ ”型的未定式，其它的未定式須0先化簡(jiǎn)變形成“ 0 ”或“ ”型才能運(yùn)用該法則；0(2)只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；(3)洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不 能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limx0f (x0x) f(x0)xf (x0)( 如果存在)7. 利用定積

6、分定義求極限1 n k 基本格式 lim 1 f (k) n nk 1 nf (x)dx (如果存在) 0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類(lèi)函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類(lèi)：(1)第一類(lèi)間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f (x) 的間斷點(diǎn)。如果 f (x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在， 則稱(chēng) x0是 f (x) 的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為 可去間斷點(diǎn)。 左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類(lèi)間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳 躍間斷點(diǎn)。(2)第二類(lèi)間斷點(diǎn) 第一類(lèi)間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。 常見(jiàn)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)有無(wú) 窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b上

7、連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都 要用到。定理1(有界定理)如果函數(shù) f ( x)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)，則 f ( x)必在 a,b上有 界。定理2(最大值和最小值定理)如果函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè) 區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理3(介值定理)如果函數(shù) f ( x)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)，且其最大值和最小值 分別為M 和m ，則對(duì)于介于m和M 之間的任何實(shí)數(shù)c，在a,b上至少存在一個(gè) 使得f ( ) = c推論：如果函數(shù) f ( x)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)，且f (a)與f ( b)異號(hào)，則在 (a,b) 內(nèi)至少存在一

8、個(gè)點(diǎn) ，使得f ( ) = 0這個(gè)推論也稱(chēng)為零點(diǎn)定理一基本概念第二章 導(dǎo)數(shù)與微分1可微和可導(dǎo)等價(jià)，都可以推出連續(xù)，但是連續(xù)不能推出可微和可導(dǎo)求導(dǎo)公式三常見(jiàn)求導(dǎo)1. 復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則2. 由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)x = (t)，y = (t)確定函數(shù) y = y( x) ，其中 (t), (t)存在，且 (t) 0，則 dy (t) dx (t)3. 反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)y = f ( x)的反函數(shù)x = g( y) ，兩者皆可導(dǎo)，且 f (x) 0則 g(y)1f (x)f (g(y)(f (x)0)4. 隱函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)y = y( x)是由方程F( x, y) = 0 所確定，求 y的方

9、法如下：把F(x, y) = 0兩邊的各項(xiàng)對(duì) x求導(dǎo)，把 y 看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì) 算，然后再解出 y 的表達(dá)式(允許出現(xiàn) y 變量)5. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則 (指數(shù)類(lèi)型 如 y xsinx)先兩邊取對(duì)數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù) y。 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要用于： 冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)多個(gè)函數(shù)連乘除或開(kāi)方求導(dǎo)數(shù) (注意 定義域。 關(guān)于冪指函數(shù)y = f (x)g (x) 常用的一種方法 ,y = eg(x)lnf(x)這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。6. 求n階導(dǎo)數(shù)( n 2 ，正整數(shù))先求出 y, y, , 總結(jié)出規(guī)律性，然后寫(xiě)出 y( n) ，最后用歸納法證明。 有一些常用的初等函

10、數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)公式(1)yx (n)e,yx e(2)yx (n) a ,yx a(ln a)n(3)ysin x,y(n)sin(xn2)(4)ycosx,y(n)cos(xn2)(5)y lnx, y(n)(n11)n 1(nn1)!x第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一 . 羅爾定理設(shè)函數(shù) f (x)滿足(1)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間 ( a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3) f (a) = f (b) 則存在 ( a,b) ，使得 f ( ) = 0二 拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù) f ( x)滿足( 1)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間 ( a,b)內(nèi)可導(dǎo)； 則存在 ( a,b) ，使

11、得 f (b) f (a) f( )ba推論1若f ( x)在( a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 f (x) 0，則f ( x)在( a,b)內(nèi)為常數(shù)。 推論2若f (x) ,g(x) 在( a,b) 內(nèi)皆可導(dǎo)，且f (x) g(x)，則在(a,b)內(nèi)f (x) = g(x)+ c ，其中 c 為一個(gè)常數(shù)。三 . 柯西中值定理設(shè)函數(shù)f (x)和g(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b上皆連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間 ( a,b)內(nèi)皆可導(dǎo)；且g(x) 0則存在 (a,b)使得 gf (bb) gf(aa)gf( ) (ab)(注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形 g(x) = x 時(shí)，柯西 中值定理就是拉格

12、朗日中值定理。 )四. 泰勒公式( 估值 求極限(麥克勞林) )定理 1(皮亞諾余項(xiàng)的 n 階泰勒公式)設(shè)f (x)在0 x 處有n 階導(dǎo)數(shù)，則有公式， 稱(chēng)為皮亞諾余項(xiàng)定理 2(拉格朗日余項(xiàng)的 n 階泰勒公式)設(shè)f (x)在包含0 x 的區(qū)間( a,b)內(nèi)有n +1階導(dǎo)數(shù)，在 a,b上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì) x a,b ，有公式，稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)上面展開(kāi)式稱(chēng)為以 0(x) 為中心的n 階泰勒公式。當(dāng)x0=0 時(shí)，也稱(chēng)為n階麥克勞林JrI 十HK+十_4i命龍-儀Cei40)J I二 +: +養(yǎng)) +*l :+ f ./,&十竊) (勺十 Elj U K T ;+ _ +:+-Jv IlN;嘗I

13、電II)1Mq vZJn(2mflgm*蘭r ;=1)UJ耳”：十 Y二69申會(huì)6UPETE OCWiJ2m 09E % T 亠 .t -07 - KT一 N TA-7uS 山0-貲0509 弱我二 巾SE U E1 + SKI 1+ l B+-l l + SM-l+l + HHi : H TT 諾皙 dmg ELIaaMI 2II)I)(ITVX + Ux?疋 口)：(T郵)30H疋mIN + :4 V +s+ MV、 / 門(mén)十；(X+1) E (1-lls)u4-E?ft) ul)0 町 實(shí) J UT厶WuKh)T:?XK4K IHVH-;-KX 丄 :-+vi+kM Jl0 Ltw Q2

14、 習(xí)k左 - 工屈J -I-Mi(qi *Ii JJVl!7 -J1 ks -HOl - b : T 二工 q -S-H + : + + 7ft4kH,丄胃；K龍十 *x;U+ M)01 dik,l I- I -5- W:-+ 丁 i 九十丘+ -l d:”+vI(J8癥)sw五導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用基本知識(shí) 設(shè)函數(shù)f (x)在x0處可導(dǎo)，且 x0為f ( x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則 f(x0) 0我們稱(chēng)x 滿足 f(x0) 0的x0 稱(chēng)為 f (x)的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)， 反之不然。極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)， 所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步去判斷。極值點(diǎn)判斷方法1. 第一充分條件f(x) 在 x0

15、 的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 f (x0) 0 ，則若當(dāng) x x0 時(shí), f (x) 0，當(dāng)x x0時(shí)，f (x) 0 ，則x0為極大值點(diǎn)；若當(dāng) x x0時(shí)， f (x) 0，當(dāng) x x0時(shí)， f (x) 0，則 x0為極小值點(diǎn)；若在 x0的兩側(cè) f ( x)不變號(hào)，則 x0不是極值點(diǎn) .2. 第二充分條件f (x) 在 x0 處二階可導(dǎo)，且 f (x0) 0，f (x0) 0，則若 f (x0) 0 ， 則 x0為極大值點(diǎn)；若 f (x0) 0，則 x0為極小值點(diǎn) .3. 泰勒公式判別法(用的比較少，可以自行百度) 二. 凹凸性與拐點(diǎn)1凹凸的定義設(shè)f ( x)在區(qū)間I 上連續(xù)，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn) 1

16、2 x , x ，恒有則稱(chēng)f (x) 在I 上是凸(凹)的。在幾何上，曲線 y = f (x) 上任意兩點(diǎn)的割線在曲線下(上)面，則 y = f (x) 是凸(凹)的。如果曲線y = f (x) 有切線的話，每一點(diǎn)的切線都在曲線之上 (下) 則 y = f (x) 是凸(凹)的。2拐點(diǎn)的定義曲線上凹與凸的分界點(diǎn)，稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)。 3凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法設(shè)函數(shù) f (x) 在( a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) f(x) ， 如果在( a,b)內(nèi)的每一點(diǎn) x，恒有 f(x) 0，則曲線 y = f ( x)在( a,b)內(nèi)是凹的；如果在( a,b)內(nèi)的每一點(diǎn) x，恒有 f(x) 0，則曲線 y = f

17、 ( x)在( a,b)內(nèi)是凸的 求曲線 y = f (x) 的拐點(diǎn)的方法步驟是： 第一步：求出二階導(dǎo)數(shù) f (x)；x1,x2,.xk ；，如果符號(hào)不同，該第二步：求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 第三步：對(duì)于以上的連續(xù)點(diǎn)，檢驗(yàn)各點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符 點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)； 第四步：求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)。漸近線的求法四曲率22第四章 不定積分一基本積分表：tgxdxln cosCctgxdxlnsin xCsecxdxln secxtgxCcscxdxln cscxctgxCdx22sec xdxtgx Ccosxdx22csc xdxctgx Csinxsecxtgxdx sec xCdx

18、22axdx22xax1arctg C aa 1 ln x a 2axaCxacsc x ctgxdxcsc x Cxxaa xdxCln ashxdx chx Cdx22axdx22ax1 ln a x2a a xx arcsina2I nsin n xdxx2a 2 dxx2a2 dx0a2 x2 dxCC2cosn xdx022x a2 x22chxdx shx Cdx 2 2ln( x x a ) C 22 xan 1 Innn22a2 ln(x x2 a2 ) C2axarcsin C2aC有理函數(shù)： f ( x)簡(jiǎn)單有理函數(shù)：P(x)1xf(x)P(x)x2二換元積分法和分部積分法

19、換元積分法(1)第一類(lèi)換元法(湊微分) ： f (x) (x)dx f (u)du u (x) (2)第二類(lèi)換元法(變量代換) ： f (x)dx f (t) (t)dt t 1(x) 分部積分法udv uv vdu使用分部積分法時(shí)被積函數(shù)中誰(shuí)看作 u( x)誰(shuí)看作 v( x)有一定規(guī)律。 記住口訣，反對(duì)冪指三為 u(x) ，靠前就為 u(x) ，例如 ex arcsin xdx ，應(yīng)該是 arcsinx為u(x) ，因?yàn)榉慈呛瘮?shù)排在指數(shù)函數(shù)之前，同理可以推出其他。三有理函數(shù)積分P(x)Q(x) ，其中 P(x)和Q(x) 是多項(xiàng)式 f ( x) f ( x)P(x)(x a)( x b)

20、P(x)( x a)2 b1、“拆”；2、變量代換(三角代換、倒代換、根式代換等)第五章 定積分概念與性質(zhì)1、定義：bf (x)dxanlim0f ( i ) xi0 iii12、 性質(zhì)：（10 條）( 3 )3. 基本定理x變 上 限 積 分 ： 設(shè) (x) a f(t)dt ， 則 (x) f(x) 推 廣 ： addx( x)(xx) f (t)dtf (x) (x) f (x) (x)bNL公式：若F ( x)為 f ( x)的一個(gè)原函數(shù)，則 a f (x)dx F(b) F(a) a4. 定積分的換元積分法和分部積分法二定積分的特殊性質(zhì)第六章 定積分的應(yīng)用 平面圖形的面積ba) 曲邊

21、梯形 y體的體積：Vxb f 2 (x)dxa二 體積1. 旋轉(zhuǎn)體體積：f (x),x a,x b,x軸，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)b) 曲邊梯形 yf (x), x a,x b,x 軸，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)b柱殼法）體的體積： Vy2 xf ( x)dxa三 . 弧長(zhǎng)1.直角坐標(biāo)： s a 1 f (x) 2 dx a222. 參數(shù)方程： s(t) (t) dt22極坐標(biāo)： s ( ) ( ) d第七章 微分方程概念1.微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程 . 階：微 分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) .2.解：使微分方程成為恒等式的函數(shù) . 通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常 數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 . 特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解 .(1). 變量可分離的方程g(y)dy f (x)dx ，兩邊積分 g(y)dy f (x)dx(2). 齊次型方程dy(y) ，設(shè) udxxdxx或( ) ，設(shè) v或 dyy(3). 一