談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、目錄摘要1abstrqct11引言22 方程問(wèn)題22.1 方程實(shí)根的正負(fù)情況22.2 求方程實(shí)根的個(gè)數(shù)32.3 含參數(shù)的方程33 不等式問(wèn)題43.1 無(wú)理不等式43.2 二元二次不等式組43.3 高次不等式53.4 絕對(duì)值不等式53.5 含參數(shù)的不等式64 最值問(wèn)題64.1 轉(zhuǎn)化為直線的截距64.2 轉(zhuǎn)化為直線的斜率74.3 轉(zhuǎn)化為距離75 函數(shù)問(wèn)題85.1 比較函數(shù)值的大小85.2 函數(shù)的定義域95.3 函數(shù)的值域95.4 函數(shù)求值105.5 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間115.6 函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性116解決線性規(guī)劃問(wèn)題12參考文獻(xiàn)13致謝13談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用xxx數(shù)學(xué)與信息學(xué)院數(shù)

2、學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2011級(jí) 指導(dǎo)老師:xxx摘要：數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛, 本文將例舉說(shuō)明數(shù)形結(jié)合思想方法在方程問(wèn)題，不等式問(wèn)題，最值問(wèn)題，函數(shù)問(wèn)題，線性規(guī)劃問(wèn)題等方面的實(shí)際應(yīng)用。充分說(shuō)明在解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，借助幾何圖形的直觀描述，如何使許多抽象的概念和復(fù)雜的關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng), 有利于他們解題能力的提高。關(guān)鍵詞: 數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合思想；方程問(wèn)題；不等式問(wèn)題；最值問(wèn)題；函數(shù)問(wèn)題；線性規(guī)劃問(wèn)題on the combination of application of thought in middle school

3、 mathematicsxxxcollege of mathematics and information mathematics and applied mathematicsgrade 2011 instructor: xxxabstrqct：several form combining ideas is widely used in the middle school mathematics, this article will illustrate that number form combined with the thinking and methods in the equati

4、on, inequality problem, the most value problem, function problem, the practical application of linear programming problems. full explanation in the problem solving, with the method of using the number form, with the help of a visual description of the geometry, how to make many abstract concepts and

5、 visual and simplify complex relationships. full use of in the middle school mathematics problem-solving number form combining ideas, helps to develop students thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem solving.key words: the number of combination form; several for

6、m combining ideas; equation problem; inequality problem; the most value problems; function problem; linear programming problem1引言數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為兩大部分，一部分是數(shù)，一部分是形，但數(shù)與形是有聯(lián)系的，我們通常把數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合或形數(shù)結(jié)合。其主要作用是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題

7、途徑的目的?？v觀多年來(lái)的各地的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都可起到事半功倍的效果。在解析幾何中就常常利用數(shù)量關(guān)系去解決圖形問(wèn)題。將“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形狀的性質(zhì)去解決，它往往具有直觀性，易于理解與接受的優(yōu)點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合在解題過(guò)程中應(yīng)用十分廣泛，如在解決集合問(wèn)題，求函數(shù)的值域和最值問(wèn)題，解方程和解不等式問(wèn)題，三角函數(shù)問(wèn)題，解決線性規(guī)劃問(wèn)題中都有體現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅易于直觀的尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理過(guò)程，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。下面我將就數(shù)形結(jié)合思想在方程、不等式、線性規(guī)劃中的應(yīng)用做一個(gè)系統(tǒng)的分析與總結(jié)。2 方程問(wèn)題方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)和重要的學(xué)習(xí)

8、研究對(duì)象，特別是二次方程，是方程問(wèn)題學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。而方程、不等式、函數(shù)三者之間又有密切聯(lián)系 ，這就使得這類(lèi)問(wèn)題成為應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法的良好載體。2.1 方程實(shí)根的正負(fù)情況若用代數(shù)方法研究方程根的情況,計(jì)算復(fù)雜.但如果用數(shù)形結(jié)合的方法,利用方程與函數(shù)的關(guān)系,畫(huà)出函數(shù)圖象,將方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)來(lái)處理,則形象直觀,過(guò)程明了。例1 已知二次方程有一正根和一負(fù)根,求的取值范圍.解:設(shè)因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)大于0，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，如圖1圖1所以函數(shù)與軸的交點(diǎn)落在軸兩側(cè)只需，.解之得，-或.利用函數(shù)圖像來(lái)研究二次方程，要注意拋物線開(kāi)口方向的討論。分析題意，提取作圖的限制條件，列出滿足條件的方程，

9、做到不重不漏。2.2 求方程實(shí)根的個(gè)數(shù)有些方程并不需要求出實(shí)根,只要求方程的實(shí)根個(gè)數(shù).這就沒(méi)有必要按常規(guī)方法求解.利用數(shù)形結(jié)合,將方程實(shí)根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).例2 求方程的實(shí)根個(gè)數(shù)。解：此題若直接解方程則較為困難，若利用數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾圖2何問(wèn)題，則較為簡(jiǎn)單。即求兩曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。做出函數(shù)和的圖象，從圖2中可以看出兩曲線的交點(diǎn)m只有一個(gè)，所以，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。例3 求方程的解的個(gè)數(shù).解:作出函數(shù)和的圖象。觀察圖象,兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)。所以，原方程的解有3個(gè)。圖3結(jié)合函數(shù)定義域正確畫(huà)出函數(shù)圖像時(shí)要注意交點(diǎn)，分界點(diǎn)。可結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或簡(jiǎn)單的計(jì)算、估算作出判斷。2.3

10、含參數(shù)的方程中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的是含參數(shù)的二次方程，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題最后都可轉(zhuǎn)化為二次方程問(wèn)題來(lái)處理。在對(duì)二次方程問(wèn)題的探討中,對(duì)含有參數(shù)的二次方程實(shí)根問(wèn)題代數(shù)解法討論較繁而且解題入手點(diǎn)不簡(jiǎn)明。若采用數(shù)形結(jié)合方法解決此類(lèi)問(wèn)題,則思路自然、結(jié)果簡(jiǎn)明直觀,易操作,容易理解運(yùn)用。圖4例4 集合,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:由題意得方程()等價(jià)變形為方程 在(0 ,2)中有解。設(shè), , 則的圖象為拋物線段，圖象為過(guò)定點(diǎn)(0 ,0)的直線系，其中l(wèi) 1 :為切線,切點(diǎn)為(1 ,2)。由圖4可知,直線系斜率滿足時(shí),直線系和拋物線段都相交。所以，的取值范圍是。由于方程含有參數(shù)，因此畫(huà)出的函數(shù)圖像不是靜態(tài)不變的，而是動(dòng)

11、態(tài)變化的，例如直線系，曲線系。要注意尋找分界點(diǎn)，分界直線。3 不等式問(wèn)題不等式問(wèn)題也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。不等式是解決問(wèn)題的一種有利工具，而許多復(fù)雜的不等式問(wèn)題也能通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法得到巧妙解決。3.1 無(wú)理不等式解無(wú)理不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，常規(guī)解法是平方去根號(hào)轉(zhuǎn)化為有理不等式(組)求解。但上述解法往往運(yùn)算量大，過(guò)程冗長(zhǎng)。解題中若能注意到某些代數(shù)式的功能作用，將原不等式作適當(dāng)轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合的方法，常能簡(jiǎn)化解題過(guò)程，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，提高解題效率。例5 解不等式 。 解：令 則不等式的解就是使的解在的上方的那段圖象所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，如圖5不等式的解集為。而可由解得故不等式的解集為。3.2

12、 二元二次不等式組例6 解不等式組解:先考慮相應(yīng)的方程組圖6如圖6，它們分別表示雙曲線和圓由(3)知代入(4),得。所以，原不等式的解集為或熟悉代數(shù)式結(jié)構(gòu)，巧用幾何意義。3.3 高次不等式中學(xué)數(shù)學(xué)中主要學(xué)習(xí)一次不等式與二次不等式。高次不等式需轉(zhuǎn)化為低次不等式來(lái)求解。最常用的是數(shù)軸標(biāo)根法。例7 解不等式.圖7解:因最高次項(xiàng)系數(shù)為- 1 3.5 含參數(shù)的不等式若對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論來(lái)求解，過(guò)程煩瑣.利用數(shù)形結(jié)合可大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。例9 若不等式+恒成立,求的取值范圍。解：要使不等式恒成立，只要+的最小值.考慮用絕對(duì)值的幾何意義，把+理解為到數(shù)軸上兩點(diǎn)(-1,0),(1,0)的距離的和，則較為簡(jiǎn)單。當(dāng)時(shí),

13、有+最小值2. 圖9所以的取值范圍是。與含參數(shù)的方程同理，含參數(shù)的不等式的圖像也是動(dòng)態(tài)變化的，要注意找出分界情況，當(dāng)然還需要按參數(shù)分情況作圖。4 最值問(wèn)題最值問(wèn)題若采用代數(shù)方法求解,需要大量的計(jì)算,過(guò)程冗長(zhǎng),且較難找到切入點(diǎn),一時(shí)之間難以入手，若能深刻挖掘題目的幾何意義將問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化,往往能簡(jiǎn)化過(guò)程,取得良好的解題效果。4.1 轉(zhuǎn)化為直線的截距將所求問(wèn)題看作直線的截距，即求滿足題目條件的直線系何時(shí)取得最值。例10 已知,求的最大值和最小值。解:已知等式可化為,它表示以為圓心，2為半徑的圓，可看作是直線的截距。當(dāng)取得最值時(shí),直線恰是圓的切線。從而由距離公式可得:解得. 故 u max=5+2,

14、 u min=5-2.圖10將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線系的截距，注意找出直線與曲線相切的情況。4.2 轉(zhuǎn)化為直線的斜率例11如果實(shí)數(shù)滿足方程，求的最大值。解:不妨設(shè)點(diǎn)在圓上，圖11圓心為,半徑等于,則所求表示的是點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率。當(dāng)與圓相切，且切點(diǎn)落在第一象限時(shí)，有最大值，即有最大值。因?yàn)?所以=1，=。將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線的斜率問(wèn)題，要注意將原式正確變形，不同的變形，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像也不同。注意找出相切的情況。 4.3 轉(zhuǎn)化為距離將所求問(wèn)題通過(guò)變形、構(gòu)造等方法巧妙地轉(zhuǎn)化為距離。即求點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與直線距離和與差。結(jié)合幾何知識(shí)，不難求得結(jié)果。若是直接采用代數(shù)方法求解，計(jì)算復(fù)雜，往往事倍功半。例12當(dāng)s

15、和t取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，求的最小值.解: 分析可知，式子可以看成是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)距離的平方，有下面兩個(gè)函數(shù)：圖12， 故所以所以例13 解： 第一象限的部分（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，（如圖13） 圖13相切于第一象限時(shí)，u取最大值所以結(jié)合函數(shù)圖像找出最大或最小距離，利用幾何知識(shí)加以判斷。5 函數(shù)問(wèn)題函數(shù)問(wèn)題與函數(shù)圖象密切相關(guān).結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)圖象，容易理解題意，求解過(guò)程簡(jiǎn)單，結(jié)果直觀形象。5.1 比較函數(shù)值的大小函數(shù)解析式形式多樣，函數(shù)值形式也多樣。作出函數(shù)圖像，在圖像上找出與函數(shù)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，是最簡(jiǎn)便快捷的解題方法，且結(jié)果直觀。例14 比較三個(gè)數(shù)的大小0.32,20.3.解:這三個(gè)數(shù)看成三個(gè)函數(shù):,

16、圖14在時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像,從圖像可以直觀地看出當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)的位置, 從而可得出結(jié)論: 比較不同名的函數(shù)值大小較為困難。若采用代數(shù)方法需有較強(qiáng)的公式變形技巧及運(yùn)算技巧。將函數(shù)值在圖像上表示出來(lái)，能避免大量的計(jì)算。尤其是解選擇題的快捷途徑。5.2 函數(shù)的定義域例15 求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，必須有：即. 在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出和的圖象.找出公共區(qū)間()。圖15待添加的隱藏文字內(nèi)容15.3 函數(shù)的值域例16若橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)。圖16解： 所以例17 設(shè)四面體的四個(gè)面的面積分別為s1，s2，s3，s4記它們中的最大者為s，令，則

17、的取值范圍為_(kāi)。取特殊情況圖17頂點(diǎn)m0時(shí)，2（即點(diǎn)m落到底面上）.故的取值范圍為。5.4 函數(shù)求值許多看似復(fù)雜的函數(shù)求值問(wèn)題，其實(shí)都可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型得到巧妙解答。例18 如果三個(gè)正數(shù)滿足, ， , 的值為_(kāi). 解： 分析可得： 構(gòu)造直角三角形：結(jié)構(gòu)上：圖18 同理有： 形上覓數(shù)：sabc= sabf+sacf+ sbfc5.5 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)圖像最為直觀形象地反映函數(shù)的單調(diào)性。例19 設(shè)函數(shù)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間并說(shuō)明在各個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，=當(dāng)時(shí)，=即 作出函數(shù)圖象.如圖19所示圖19單調(diào)區(qū)間為-3,-1),-1,0),0,1),1,3.由圖可知:函數(shù)在-3,

18、-1),0,1)上為減函數(shù),在-1,0),1,3上為增函數(shù)。5.6 函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性質(zhì)：“偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)?！奔霸鰷p性質(zhì)畫(huà)出圖像求解，不僅有助于全面分析解決問(wèn)題，而且能提高解題效率。例20 設(shè)定義在上的偶函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:利用偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，以及偶函數(shù)的定義:=，有.畫(huà)出圖象,根據(jù)已知條件,得圖20 解得:-1。利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性對(duì)畫(huà)出函數(shù)的精確圖，粗略圖有很大幫助。6解決線性規(guī)劃問(wèn)題線性規(guī)劃問(wèn)題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問(wèn)題。例21 已知且,求的范圍。分析:此題可利用代數(shù)方法中換元法去求解, 這里用數(shù)形結(jié)合法來(lái)解決。圖21解：在平面坐標(biāo)系中作出直線 ，, , ,則和表示平面上的陰影部分(包括邊界) ,如圖21所示，令 ,則，顯然 為直線系 在y軸上截距2倍的相反數(shù),易看出,直線 過(guò)陰影最左邊的點(diǎn) a 時(shí), 取最小值 5 ；過(guò)陰影最右邊的點(diǎn) 時(shí), m 取最大值10。即 的范圍是。該題是用數(shù)形結(jié)合思想解決具有約束條件的函數(shù)的最值問(wèn)題。參考文獻(xiàn)：1張愛(ài)平.談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用j.陜西教育（教育），2014，3：44.2候祥偉.例談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用j.高中數(shù)理化，2014，13：4950.3張耀美.例談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用