2021_2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué)案新人教A版必修4

1、1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.能畫(huà)出正切函數(shù)的圖象(重點(diǎn))2.掌握正切函數(shù)的性質(zhì)(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.掌握正切函數(shù)的定義域及正切曲線的漸近線(易混點(diǎn))1.通過(guò)觀察正切函數(shù)的圖象獲得正切函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí)，提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng).2.通過(guò)對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)tan x圖象定義域 值域R周期奇偶性奇函數(shù)對(duì)稱中心，kZ單調(diào)性在開(kāi)區(qū)間，kZ內(nèi)都是增函數(shù)思考：正切函數(shù)圖象的對(duì)稱中心都在正切函數(shù)圖象上嗎？提示不是，在中，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，在函數(shù)圖象上，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，不在函數(shù)圖象上1函數(shù)f(x)tan的單調(diào)增區(qū)間為()A.，kZB.，

2、kZC.，kZD.，kZC令kxk(kZ)得kxk(kZ)，故單調(diào)增區(qū)間為(kZ)2函數(shù)ytan的定義域?yàn)?因?yàn)?xk，kZ，所以x，kZ，所以函數(shù)ytan的定義域?yàn)?3函數(shù)ytan 3x的最小正周期是 函數(shù)ytan 3x的最小正周期是.4函數(shù)ytan的對(duì)稱中心是 (kZ)令x(kZ)得x(kZ)，對(duì)稱中心為(kZ)有關(guān)正切函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題【例1】(1)函數(shù)y的值域是()A(1,1)B(，1)(1，)C(，1) D(1，)(2)求下列函數(shù)的定義域：y；ylg(tan x)思路點(diǎn)撥：(1)(2)中注意分母不為零且ytan x本身的定義域；中注意對(duì)數(shù)大于零從而得到定義域(1)B當(dāng)x0時(shí)，1t

3、an x0，1；當(dāng)0x時(shí)，0tan x1，1.即當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y的值域是(，1)(1，)(2)解要使函數(shù)y有意義，需使所以函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)閠an x0，所以tan x.又因?yàn)閠an x時(shí)，xk(kZ)，根據(jù)正切函數(shù)圖象，得kxk(kZ)，所以函數(shù)的定義域是.1求正切函數(shù)定義域的方法(1)求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)ytan x有意義，即xk，kZ.(2)求正切型函數(shù)yAtan(x)(A0，0)的定義域時(shí)，要將“x”視為一個(gè)“整體”令xk，kZ，解得x.2解形如tan xa的不等式的步驟提醒：求定義域時(shí)，要注意正切函數(shù)自身的限制條件1求函數(shù)y

4、lg(1tan x)的定義域解要使函數(shù)ylg(1tan x)有意義，則即1tan x1.當(dāng)x上滿足上述不等式的x的取值范圍是.又因?yàn)閥tan x的周期為，所以所求x的定義域?yàn)?正切函數(shù)奇偶性、周期性和圖象的對(duì)稱性【例2】(1)函數(shù)f(x)tan的周期為 (2)已知函數(shù)ytan，則該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為 (3)判斷下列函數(shù)的奇偶性：y3xtan 2x2x4；ycostan x.思路點(diǎn)撥：(1)形如yAtan(x)(A0)的周期T，也可以用定義法求周期(2)形如yAtan(x)(A0)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)可由x，kZ求出(3)先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱再判斷f(x)與f(x)的關(guān)系(1

5、)(2)(kZ)(1)法一：(定義法)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.法二：(公式法)f(x)tan的周期T.(2)由x(kZ)得x(kZ)，所以圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，kZ.(3)解定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是偶函數(shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，ycostan xsin xtan x，又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以它是奇函數(shù)1函數(shù)f(x)Atan(x)周期的求解方法(1)定義法(2)公式法：對(duì)于函數(shù)f(x)Atan(x)的最小正周期T.(3)觀察法(或圖象法)：

6、觀察函數(shù)的圖象，看自變量間隔多少，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)2判定與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的方法先求函數(shù)的定義域，看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若其不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f(x)與f(x)的關(guān)系提醒：ytan x，xk(kZ)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，kZ.2判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)tantan.解(1)由得f(x)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)(2)函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(x)tantantantanf(x)，所以函數(shù)是奇函數(shù).正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用探究問(wèn)題1正切函數(shù)ytan x在其定義域內(nèi)是否為

7、增函數(shù)？提示：不是正切函數(shù)的圖象被直線xk(kZ)隔開(kāi)，所以它的單調(diào)區(qū)間只在(kZ)內(nèi)，而不能說(shuō)它在定義域內(nèi)是增函數(shù)假設(shè)x1，x2，x1x2，但tan x1tan x2.2如果讓你比較tan與tan的大小，你應(yīng)該怎樣做？提示：先根據(jù)正切函數(shù)的周期性把兩角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再由正切函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較【例3】(1)不通過(guò)求值，比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大小：tan 與tan；tan與tan.(2)求函數(shù)y3tan的單調(diào)區(qū)間思路點(diǎn)撥：(1)(2)解(1)因?yàn)閠antan，tantan，又0，ytan x在內(nèi)單調(diào)遞增，所以tantan，即tantan.因?yàn)閠antan，tantan，又0，yt

8、an x在內(nèi)單調(diào)遞增，所以tantan，所以tantan，即tantan.(2)y3tan3tan，由k2xk，kZ得，x，kZ，所以y3tan的減區(qū)間為，kZ.1將本例(2)中的函數(shù)改為“y3tan”，結(jié)果又如何？解由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，函數(shù)y3tan的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)2將本例(2)中函數(shù)改為“ylg tan”，結(jié)果又如何？解因?yàn)楹瘮?shù)ylg x在(0，)上為增函數(shù)，所以函數(shù)ylg tan x的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)ytan x(tan x0)的單調(diào)遞增區(qū)間，令k2xk(kZ)，得x(kZ)，故ylg tan的增區(qū)間為，kZ.1求函數(shù)yAtan(x)(A0，0，且A，都是

9、常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法(1)若0，由于ytan x在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kxk，kZ，解得x的范圍即可(2)若0，可利用誘導(dǎo)公式先把yAtan(x)轉(zhuǎn)化為yAtan(x)Atan(x)，即把x的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得x的范圍即可2運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的步驟(1)運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)(2)運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增區(qū)間；yAtan(x)(A0，0)只有減區(qū)間1正切函數(shù)的圖象正切函數(shù)有無(wú)數(shù)條漸近線，漸近線方程為xk，kZ，相鄰兩條漸近線之間都有一支正切曲線，且單調(diào)遞增作正

10、切曲線簡(jiǎn)圖時(shí)，只需先作出一個(gè)周期中的兩條漸近線x，x，然后描出三個(gè)點(diǎn)(0,0)，用光滑的曲線連接得到一條曲線，再平移至各個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可2正切函數(shù)的性質(zhì)(1)正切函數(shù)ytan x的定義域是，值域是R.(2)正切函數(shù)ytan x的最小正周期是，函數(shù)yAtan(x)(A0)的周期為T(mén).(3)正切函數(shù)在(kZ)上遞增，不能寫(xiě)成閉區(qū)間正切函數(shù)無(wú)單調(diào)減區(qū)間1下列說(shuō)法正確的是()A正切函數(shù)的定義域和值域都是RB正切函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)C函數(shù)y|tan x|與ytan x的周期都是D函數(shù)ytan|x|的最小正周期是Cytan x的定義域?yàn)?，所以A錯(cuò)；由正切函數(shù)圖象可知B錯(cuò)；畫(huà)出ytan x，y|tan x|和ytan|x|的圖象可知C正確，D錯(cuò)誤，因?yàn)閥tan|x|不是周期函數(shù)2在下列函數(shù)中同時(shí)滿足：在上遞增；以2為周期；是奇函數(shù)的是()Aytan xBycos xCytan Dytan xCA，D的周期為，B中函數(shù)在上遞減，故選C.3函數(shù)y|tan x|在上的