圓與方程知識(shí)點(diǎn)整理

1、最新整理關(guān)于圓與方程的知識(shí)點(diǎn)整理22一、標(biāo)準(zhǔn)方程1.求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一一關(guān)鍵是求出圓心a, b和半徑r待定系數(shù)：往往已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo)，例如教材Ri9 例 2利用平面幾何性質(zhì)往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交 相切：利用到圓心與切點(diǎn)的連線垂直直線 相交：利用到點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理方程形式x22.特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法（無(wú)需記，關(guān)鍵能理解） 條件 圓心在原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)22.2ca b 0圓心在x軸上y2r2圓心在y軸上x(chóng)2圓心在x軸上且過(guò)原點(diǎn)圓心在y軸上且過(guò)原點(diǎn)b2與x軸相切b2與y軸相切與兩坐標(biāo)軸都相切般方程DxEy0 D2E2 4F 0a221. AxBy2CxyDxEy

2、0表示圓方程則CD202E 4AF 047最新整理2.求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法：如教材Pi22 例 r43.D2 E2 4F 0?？捎脕?lái)求有關(guān)參數(shù)的范圍三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d r點(diǎn)在圓外1. 判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離 d與半徑r的大小關(guān)系 d r 點(diǎn)在圓內(nèi)；d r 點(diǎn)在圓上；2. 涉及最值：（1 ）圓外一點(diǎn)B，圓上一動(dòng)點(diǎn) P，討論P(yáng)B的最值P，討論P(yáng)BminpBmaxPA的最值BN| |BC| rBM| |BCpA iminpA1 maxANAMd為圓心到直線的距離） 沒(méi)有公共點(diǎn) 只有一個(gè)公共點(diǎn) 有兩個(gè)公共點(diǎn)AC)P思考：過(guò)此 A點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直四、直線與圓的位置關(guān)系1. 判

3、斷方法（1）相離（2）相切（3）相交 這一知識(shí)點(diǎn)可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的范圍2. 直線與圓相切（1 ）知識(shí)要點(diǎn)切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長(zhǎng)等I與圓C相切意味著什么？主要元素：?jiǎn)栴}：直線圓心C到直線I的距離恰好等于半徑r （2 ）常見(jiàn)題型一一求過(guò)定點(diǎn)的切線方程切線條數(shù)條；點(diǎn)在圓內(nèi)一一無(wú)點(diǎn)在圓外一一兩條；點(diǎn)在圓上一-求切線方程的方法及注意點(diǎn) i）點(diǎn)在圓外如定點(diǎn)P x0, y0，圓：xr2， xoa 22 2y。b r 第一步：設(shè)切線I方程y y0Xok不存在時(shí)，應(yīng)補(bǔ)上千萬(wàn)不要漏了!第二步：通過(guò)dr k，從而得到切線方程 特別注意：以上解題步驟僅對(duì) k存在有效，當(dāng)如：過(guò)點(diǎn)P

4、1,1作圓x2 y24x 6y 120的切線，求切線方程.答案：3x 4y 10和X 1ii）點(diǎn)在圓上21）若點(diǎn)x0, y0在圓xy2 r2上，則切線方程為 x0x y0y r2會(huì)在選擇題及填空題中運(yùn)用，但一定要看清題目2 2 22）若點(diǎn)x0, y0在圓x a y b r上，則切線方程為x0 a x ay0b y br2非常重要的第一步就是一一判斷點(diǎn)與圓的位置碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化，然后運(yùn)用上述結(jié)果 由上述分析，我們知道：過(guò)一定點(diǎn)求某圓的切線方程， 關(guān)系，得出切線的條數(shù).求切線長(zhǎng)：利用基本圖形,AP求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程CP2 r2ACkACkAPAP3.直線與圓相交

5、（1）求弦長(zhǎng)及弦長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題 垂徑定理及勾股定理一一常用弦長(zhǎng)公式：I Ji卩X1 X2J 1 k2X1 X2 24x1x2 （暫作了解，無(wú)需掌握）（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）:直線過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi)（3）關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題2例：若圓x 3 y2r上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線 4x 3y 2 0的距離為1，則半徑r的取值范圍是答案：4,64.直線與圓相離會(huì)對(duì)直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數(shù)時(shí)） 五、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1.若圓x2y2m21 x 2my m 0,關(guān)于直線x y 10，則實(shí)數(shù)m的值為答案：3 （注意:2 2m 1時(shí)，D E 4F 0，故舍去）最新整理以AB為直徑的圓經(jīng)

6、過(guò)原點(diǎn),若存在，寫(xiě)出直線 l的方程，若不存在，說(shuō)明理由變式：已知點(diǎn)A是圓C : x2 y2 ax4y 50上任意一點(diǎn),A點(diǎn)關(guān)于直線x 2y 10的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圓C上，則實(shí)數(shù)a2 22.圓 x 1 y 31關(guān)于直線xy 0對(duì)稱(chēng)的曲線方程是變式：已知圓C1: x, 21與圓C2: x 22y 41關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則直線l的方程為23.圓 x 3 y1關(guān)于點(diǎn)2,3對(duì)稱(chēng)的曲線方程是4.已知直線I : yb與圓C :2 2x y 1,問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)b使自A 3,3發(fā)出的光線被直線l反射后與圓C相切于點(diǎn)24工?25 25若存在，求出b的值；若不存在，試說(shuō)明理由六、最值問(wèn)題 方法主要有三種:(1)數(shù)形結(jié)合;(

7、2)代換；(3)參數(shù)方程1.已知實(shí)數(shù)x , y滿足方程x22y 4x 10，求:(1) 一y一的最大值和最小值;x 5(2) y x的最小值；一一截看作斜率(線性規(guī)劃)(3) x2 y2的最大值和最小值兩點(diǎn)間的距離的平方2.已知 AOB中，QB 3，|OA 4 AB|5，點(diǎn)P是 AOB內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以| PA，|卩目，| Pq為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！23.設(shè)P x, y為圓x1上的任一點(diǎn)，欲使不等式x yc 0恒成立，則c的取值范圍是.答案:1(數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可!七、圓的參數(shù)方程r cosr2八、相關(guān)應(yīng)用1.若直線mx2ny范圍是2

8、 22.已知圓C : x y2xrsin為參數(shù)a r cosb rsin為參數(shù)R)，始終平分圓x2 y2 4x2y 40的周長(zhǎng)，貝U m n的取值4y0 ,問(wèn)：是否存在斜率為 1的直線l，使I被圓C截得的弦為 AB ,最新整理提示：X1X2 y1 y20或弦長(zhǎng)公式d J1 k2XiX2 .答案：x y 10 或 x y3.已知圓C : x 31，點(diǎn) A 0,1 ,B 0,1，設(shè)P點(diǎn)是圓C上的動(dòng)點(diǎn),PA2 IPB2,求d的最值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).4.已知圓C : x 125，直線I :2m 1 x m 1 y 7m 4 0 (1) 證明：不論 m取什么值，直線l與圓C均有兩個(gè)交點(diǎn);(2) 求其中弦

9、長(zhǎng)最短的直線方程 .5.若直線y Xk與曲線xy2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則 k的取值范圍.226.已知圓X yx 6y m 0與直線x 2y 3 0交于P, Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使OPOQ，若存在，求出m的值;若不存在，說(shuō)明理由九、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法(d為圓心距)(1)d1外離(2) d1外切(3) r1r2r1 r2相交(4)dr1r2內(nèi)切(5) d1r2內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方程o圓 C1 : xy2 D1X EF1圓C2:X2D2xE2yF20，則 D1 D2X E1 E2 yF1F20為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說(shuō)明:若G與C2相切，則表示其中一條公

10、切線方程;若G與C2相離，則表示連心線的中垂線方程3圓系問(wèn)題2(1)過(guò)兩圓C1 : x yD1X2F10 和 C2: x2y D2X E2y F2 0交點(diǎn)的圓系方程為D1X 巳丫 F1x2D2x E2y F20說(shuō)明：1)上述圓系不包括C2 ；2)1時(shí)，表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程(公共弦)過(guò)直線AxBy圓X2 y2 Dx Ey F 0交點(diǎn)的圓系方程為Dx Ey FAxBy(3)有關(guān)圓系的簡(jiǎn)單應(yīng)用(4 )兩圓公切線的條數(shù)問(wèn)題相內(nèi)切時(shí)，有一條公切線；相外切時(shí)，有三條公切線；相交時(shí)，有兩條公切線；相離時(shí)，有四條公切線十、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）：略通過(guò)已知條件直接得出某種等量關(guān)系,利用這種等量關(guān)

11、系，建立起動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式（2 ）直接法： 軌跡方程.例：過(guò)圓X2y21外一點(diǎn)A 2,0作圓的割線,求割線被圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程分析：lOPlAP2 QA（3 ）相關(guān)點(diǎn)法（平移轉(zhuǎn)換法）：一點(diǎn)隨另一點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)動(dòng)點(diǎn) 主動(dòng)點(diǎn) 特點(diǎn)為：主動(dòng)點(diǎn)一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運(yùn)動(dòng)2例1.如圖，已知定點(diǎn) A 2,0，點(diǎn)Q是圓x1上的動(dòng)點(diǎn),AOQ的平分線交 AQ于M，當(dāng)Q點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程. 分析：角平分線定理和定比分點(diǎn)公式 .例2.已知圓O : x22y 9，點(diǎn) A 3,0 ， B、c是圓O上的兩A卜動(dòng)點(diǎn)，A、B、C呈逆時(shí)針?lè)较蚺帕?且 BAC亍，求ABC的重心G的軌跡方程.法1： QBACBC|為定長(zhǎng)且等于343XaXbXc3XbXc設(shè) G x, y，則yByc3取BC的中點(diǎn)為xEyE3434qoe2 |ce|2 |oc2，2Xe2yEL （ 1）最新整理1Xb XcXe2XbXc3 2xeyB yc yE hyc32yEXe故由（1）得:3x法2:（參數(shù)法）設(shè) B 3cos , 3sinC 3cosx, yXa3x 3232y氣,3sin，則XbXcyAyByc33,寧，由BOCBAC則3 3cos 3cos3sin參數(shù)法